上海市2022届高三年级上册一模暨春考模拟卷（一）数学试题

绝密★启用前［4,6］上的解析式是

V3x+y<>4V3

上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷10.已知x,yeR,且满足,若存在OwR使得xcose+（y-2）sine=2成立，则

（一）数学试题y>0

点PQ,y）构成的区域面积为

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将

11.正三棱锥P-48c的所有棱长均为1,L,M,N分别为棱PAP8,尸C的中点，则该正三棱锥

答案正确填写在答题卡上的外接球被平面LMN所截的截面面积为.

一、填空题

12.设々力>0,满足：关于x的方程屈+疝工l=b恰有三个不同的实数解与马,与，且

1.已知集合U=Wx2-8x-9VO,xeZ},4=卜卜=J-d+8x+9,yez},则Q,A=.

x、〈x2<X3=b,则4+b的值为.

2.已知一个关于x、1的二元一次方程组的增广矩阵是1,且/+〃+5・2”-助，

二、单选题

I。>b）

13.是的（）

则x+y=_:

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

3.i是虚数单位,若复数（1-2i）（a+i）是纯虚数，z=x+ai（xeR）,则目的取值范围为—

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2

人若代二卜，则-----------14.下面是关于复数2=一「的四个命题：

-1+1

①同=2；②z2=2i;③z的共辄复数为1+i；④z的虚部为T.

5.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，若男生甲和女生乙不同时参加，

则事件发生的概率为（结果用数值表示）.其中正确的命题（）

6.已知圆锥的母线长为5,侧面积为20产，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为A.②③B.①②C.②④D.③@

15.将函数y=sin（2x-彳）图象上的点P（f/）向左平移$（5>0）个单位长度得到点P,若P，

34

位于函数）=犬的图象上，则（）

7.若二项式+的展开式中式的三次项的系数是168,贝”皿（〃+/+/+…+优）=0112

>/3n

一

A.，=彳，5的最小值为gB.t,26-

直

冗

的最小值为？，

C.r=g,sD.r2-3

8.己知椭圆*•+9=1（。>°）的焦点6、4,抛物线产=2px的焦点为r，若即=3房,

16.在平面直角坐标系中，定义在平血=网{1卜一/1」%一％1}为两点4%耳）、

若ZN/-p2恒成立，贝g的取值范围为；

8g,%）的“切比雪夫距离”，又设点尸及/上任意一点Q,称4P，。）的最小值为点尸到

9.设/"）是定义在R上以2为周期的奇函数，当汇引0,1］时，f（x）=log式.丫+1）,则函数/（x）在

直线/的“切比雪夫距离”，记作以尸、0,给出下列三个命题：20.己知下表为函数/(X)=混+s+d部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关

①对任意三点A、B、C,都有d(GA)+d(C,BRd(A3)；

函数值取非整数值时，取值精确到0.0L

②已知点P(3,l)和直线/:2x-y-l=0,则d(p,/)=；；

X0.61-0.59-0.56-0.3500.260.421.573.27

③定点£(一。，0)、玛《,0),动点P(iy)满足|d(P，E)-d(尸，玛)1=2。(2c>Zz>0),

则点P的轨迹与直线N=Z(左为常数)有且仅有2个公共点；

/(X)0.070.02-0.03-0.2200.210.20-10.04-101.63

其中真命题的个数是

A.0B.1C.2D.3据表中数据，研究该函数的一些性质；

三、解答题

17.在AABC中，sinA=：f.求cos8+VJcosC的取值范围.(1)判断函数“力的奇偶性，并证明；

18.如图，在四棱锥尸一ABCD中，底面43co为直角梯形，BC//AD,AB±BC,ZADC=45°,

(2)判断函数/(外在区间［0.55,0.6］上是否存在零点，并说明理由;

PA_L平面A3C£>,AB=AP=l,AD=3.

(3)判断〃的正负，并证明函数“力在Ho.435］上是单调递减函数.

21.对于数列A：q,%,«3(^GN,z=1,2,3),定义“丁变换”：丁将数列A变换成数列3：

片,%,其中a=同一qj(i=l,2),且-4.这种T变换“记作3=T(A).

继续对数列8进行“7变换”，得到数列C：6,Q，依此类推，当得到的数列各项均为0

时变换结束.

(1)求点。到平面P8c的距离；

(1)试问A：2,6,4经过不断的“7变换”能否结束？若能，请依次写出经过“丁变换”得

(2)求二面角3-PC-O的平面角的余弦值.

到的各数列；若不能，说明理由；

19.已知点冗、居依次为双曲线C:二-4=1(。>0">0)的左、右焦点，且1开21=6,B,(0,-Z?),

6Tb-(2)设A：%,%，%，3=T(A).若B：b,2,«(«>/?),且8的各项之和为2012.求。，

B式0力).bi

(1)若。=百，以1=(3,-4)为方向向量的直线,经过用，求今到/的距离；(3)在(2)的条件下，若数列5再经过Z次“r变换”得到的数列各项之和最小，求女的最小

值，并说明理由.

UUUUUU

(2)若双曲线C上存在点人使得2P=-2,求实数。的取值范围.

参考答案

1.{-1,6,7,8,9)

通过解一元二次不等式，求解函数值域，结合xeZ,yeZ,用列举法表示集合U,A,再结合补集

的定义，即得解

由题意，x2-8x-9=a-9)(x+l)<0.-.-l<A：<9,又xwZ

.”={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

又y=V-X2+8X+9=7-U-4)2+25

由于04-(x-4)、25425..04J-(x-4>+2545，又yeZ

.-M={0,1,2,3,4,5}

故”={-1,6,7,8,9}

故答案为：{—1,678,9}

2.-3

根据增广矩阵可求出x,y,再由/+从+5424-4。求出。力，即可求解.

[x-y=a

由题意可知八，

[y=b

解得x=a+b,y=b,

又因为/+〃+542a-46,

所以(a-l)2+3+2)2W0,

故a=1,6=-2,

即x+y=a+2Z?=l-4=-3,

故答案为：-3

3.[2,+00)

由(1-2i)3+i)=(a+2)+(l-2n)i为纯虚数，可得a=—2,则目=6+422,即得解

由题意，(l-2i)(a+i)=(a+2)+(l-2a)i为纯虚数，

(a+2=0

故《a=-2

/.z=x—2i

.\|Z|=V^2+4>2,BP|Z|G[2,+OO)

故答案为：[2,+8）

4.4点或20

根据行列式及对数的运算法则、性质求解.

噫犬-111.

因为-42尸，

所以1210g2*—4|=|21og2京X=1,

即10g2t=±g=±l°g2^，

解得x=4>/2或x=2应，

故答案为：4人或2人

5.0

26

根据组合知识计算总的取法，再由间接法求出男生甲和女生乙不同时参加的取法，根据古典概型求

解即可.

13人中任选6人参加有C2种，再除去甲乙2人同时参加的情况有-C：种，

C6-「4「4

由古典概型可知尸=q1=1-滴=5__2A

26-26

故答案为：321

26

「25

6.—

2

7T7T

圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于彳时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于7时，母线夹角

22

TT

为§时截面面积最大.

设圆锥的底面半径为r,则S11s=5万厂=2。万，

.*.r=4,

，圆锥的高/7=疹7=3，

4

设轴截面中两母线夹角为2。，则tan6=§>l,

.t0>一,2。>—,

42

TT

所以当两母线夹角为5时，过此圆锥顶点的截面面积最大，

最大面积为S=；/2sin]=gx52=T.

故答案为:

7.1或T

利用二项式定理展开式公式可得("=27T/C；1-2r,令7—2r=3可得X的三次项的系数为:

2y/、婿=168,解得由等比数列前n项和公式，以及当〃一私时，°"-0,

4

1加仿+/+苏+…+〃")=lim四一叫二，-,代入即得解

〃+o'7“一田(\-a)[-a

由二项式定理展开式公式可得展开式的通项公式为：

rr2r

Tr+I=C；(2x)=(q)=i-aC^-,

令7-2『=3可得：r=2,则x的三次项的系数为：27-2a2xC^,

据此可得：27%2*盘=168,解得：a2=l

4

故当”时，an->0

则lim(a+“2+〃3---卜/)=limf——々

7

，f'"-个\-aJ\-a

当a=—时、lim(a+a2+/+…+4)=1

2〃T8''

当a=_g时，lim^a+a2+a3H--Fa")=-g

故答案为：1或

8.[l,+oo)

由辟=3/，可得椭圆焦点在x轴上，用坐标表示群=3用可得/-p2=],即得解

由题意秆=3布，故月、6、尸三点共线，即椭圆焦点在x轴上，a>l

故椭圆的焦点为月(-7«2-1,0),6(Va2-1,0)，抛物线的焦点F(5，0)

用坐标表示肝=3%，有g+>/7^T,0)=3(>/7二T-与0)

可得〃=即“2—p2=l

i^z>a2-p2=l

即z的取值范围为[1,+8)

故答案为：[l,+°o)

q外)=[/。处"+3)”[4,5)

一[-log2(7-x),xe[5,6]

根据函数的周期及函数为奇函数，分段求解函数的解析式即可.

因为Ax)是定义在R上以2为周期的奇函数且xeOll时，/(x)=log2(x+l),

设xw[4,5),则工一4£[。,1),

所以/(3)=/(%-4)=叫2(工一3),

设xw[5,6],贝!]x-6e[-l,0],-(X-6)G[0,1],

故f(x)=f(x-6)=-f[-(x-6)]=-log2(6-x+1)=-log2(7-x).

综上可得，函数"X/、)在「[4,6r]上的解析式是/小、)=]_£式(x7-3，),x)心e[4[,5,)6]

■us士dcl\体g2(x+3),xe[4,5)

故答案为‘〃力|丁蒜7一九邛同

10.5>/3--

3

29

转化xcos8+(y_2)sin(9=2为sin(a+，)=------,即~——<1,QPx2+(y-2)2>4,

Jx+(y-2)-Jx?+(y-2)2

则对应的区域为以C(0,2)为圆心，r=2的圆的外部，用三角形面积减去区域内弓形的面积即可

作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB,

若存在。eR使得xcos6+(y-2)sin6=2成立,

22

则Jx+(y-2)]文^=cos「+)2sin，=2

7.1次+(-2)2々+(.2)2J

^xy-Z

企sina=.।|i|i|cosa=…]

“2+(k",二J「+(kJ?'

则方程等价为Jf+gysin(a+。)=2,

2

即sin(a+O)=

Jf+(y_2)2

"存在6eR使得xcos6+(y—2)sine=2成立,

2

<l,BP%2+(y-2)2>4,

yjx2+(y—2)2

则对应的区域为以C(0,2)为圆心，厂=2的圆的外部，即如图所示的阴影部分

y=46二昼,即8(2,2①

由，解得

一丫=0

A(4,0),则三角形OAB的面积S=；x4x2石=46,

直线y=gx的倾斜角为

TT7T

则NAO3=—，;.NCOB=-

36

取。为直线y="r交圆所得弦的中点，则8,08

“后一泻

.-.CD=1,00=73

10jr12元Ajr—

因此三角形OAB区域内的弓形面积为：-X—x22--x2x2xsiny-y-^

故阴影部分面积为：4^-(y-^)=5^-y

故答案为：5G--

11.

3

结合已知条件计算出正三棱锥外接球球心的位置，得到球心到两个面的距离相等，即可计算出截面

面积.

解：由条件知平面LMN与平面ABC平行，且点P到平面LMMA8C的距离之比为1:2.设H为正

三棱锥尸-ABC的面ABC的中心，尸”与平面LWV交于点K,则P”_L平面ABC,PK_L平面LWN,

故PK」PH.

2

正三棱锥P-ABC可视为正四面体，设0为其中心(即外接球球心)，则0在P”上，且由正四面

体的性质知=结合可知OK=OH,即点0到平面LMMABC等距.这表明

42

正三棱锥的外接球被平面LMN,ABC所截得的截面圆大小相等.从而所求截面的面积等于的

外接圆面积，即万/半〕=：.

故答案为：—

关键点点睛：解答本题的关键是确定正三棱锥外接球的球心位置，在解答此类题目时要注意几何体

的特征，还可以考虑一些特殊位置等.

12.144.

令f=x+g将方程根的问题转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行计算，即可得到结

2

果.

解：令，=x+],则关于t的方程=6恰有三个不同的实数解f,=玉+=1，2,3).

由于即出+后

为偶函数，故方程/(，)=〃的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而

必有6=/(0)=痴.以下求方程/")=后的实数解.

当时，/(r)=0?+J|7?=而正干4衣■，等号成立当且仅当r=0；当时•，/«)

单调增，且当f=当寸/心=而；当时，/⑺单调减，且当，=-当时

82o

从而方程/⑴=疝■恰有三个实数解G=-k山=04=。.

OO

由条件知6=工3=2，结合6=0^得a=128.

2o

于是。+6=也=144.

8

故答案为：144

关键点点睛：要求解方程的根，关键是转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行求解，考

查转化能力.

13.D

由2,41Ox40,结合充分条件、必要条件的定义，即可判断

由题意，2*410x40

故推不出“2*41”，即充分性不成立；

“2、41”也推不出，即必要性不成立

故是“2、41”的既不充分也不必要条件

故选：D

14.C

z=.=>|z|=.=^==V2,z2=(1+1)2=2z,,

—l+i—l+iJ2

22(-1-z)

2=——：=-------二一1一〃.彳=一1+、z的虚部为_1.所以选②④，选C.

-1+z2

15.A

由题意得，f=sin(2x?-g=g,

可得咋\1)；

因为P'位于函数丫=《112》的图象上

所以s£n|2s)=cos2s=：

可得2sM+2k7v,$=土:+卜7r

7T

s的最小值为一，故选A.

6

【名师点睛】

三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩.特别注意：①平移变

换时，当自变量X的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数

名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.

16.D

设A(x””),B(XB，yll),C(xc,yc),由题意可得：

4/(CM)+^(C,B)=max(|x/l-xc|,|y/l-yc|}+max{|xfl-xc|,|yfi-yc|)

XXXxxx

^\A-C\+\B-c\^\A~B\y

同理可得：d(C,A)+d(C,B)>\yA-，则:

d[C,A)+d(C,B)>max{|x4-xB|,|yA-yfi|}=,

命题①成立；

设点Q是直线y=2x-l上一点，且Q(x,2x-1),可得"(P.Q)=max{|x-3|,|2-2邓，

由|x-3闫2-24解得-IVxM：,即有d(P.Q)=|x-3|,当z=；时取得最小值g；

由|x-3|<|2-2乂，解得x>\或xvT,即有d(P,Q)=|2x-2|,

"(P.Q)的范围是(3,+8)呜,+8)=(*+8),无最小值.

4

综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为

说法②正确.

定点片(―G。)、鸟(c,0),动点P(x,y)满足|d(P，K)-d(P,/Q|=2a(2c>加>0),则:

|max||x+c|,|y||-max{|x-c|,|y|}|=2a,

显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x》0,y50.

⑴当时，有k+dTx-d卜幼，得:；

|x-c|>y11[0<y<tz-c

|x+c|<y

⑵当《「时，有0=2a,此时无解；

■

x+c>y

⑶当《时，有x+c-y=2a,avx；

x-c<y

则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.

结合图象可知，点p的轨迹与直线y=&(4为常数)有且仅有2个公共点，命题③正确.

综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3.

本题选择D选项.

点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此

新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.

对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基

础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

17.(0,l]U(2诉

由已知条件得到角A的值，分类讨论两种情况，然后结合两角和的正弦公式逆用求得取值范围.

解：记/=cosB+-JlcosC.

由条件知4=1或4=芋.

44

当4=工时，B=--C,其中0<C<阳，此时

444

/=cos[充-c1+&cosC=sinC+cosC=sine(0,1]

当4=至时，B=--C,其中0<C<X,此时

444

f=cos(5-。)+&cosC=sinC+~~~cosC=A/5sin(C+cp),

其中夕=arctan3.

注意到函数g(x)=6sin(x+e)在上单调增，在^-夕，手上单调减，又

L，」L，4_

g(o)=^^>2=g(?),g(]-e)=6，故/c(2,逐].

综上所述，/=cosB+ecosC的取值范围是(0JU(2,6].

关键点点睛：解答本题的关键是熟练运用两角和正弦公式，需要注意对角A的分类讨论.

18.(1)也(2)-2夜

211

(1)建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，由点面距离的向量公式即得解；

(2)计算平面PCD的法向量，结合(1)中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解

(1)由题意，R4,平面ABCD,BC//AD,ABLBC,

AB±AD

以A为坐标原点，48,4。,AP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系

则P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,3,0),

设平面PBC的一个法向量为5=(x,y,z),

丽=(1,0,-1),BC=(0,2,0),CD=(-1，1，0),

n-PB=x-z=0

取x=l,得5=(1,0,1),

n-BC=2y=0

\n-CD\_V2

点D到平面PBC的距离d=Li

H一2

(2)由(1)可得平面PBC的一个法向量为元=(1,0,1),

设平面PCD的一个法向量为而=(a,b,c),

PC=(1,2,-1),CD=(-1,1,0),

in-PC=a+2b-c=0

取。二1得加=(1,1,3)，

inCD=-a+b=O

设二面角B-PC-D的平面角为a,由图得二面角为钝角

mn4-201

故cosa=一|

丽||初一722II

(1)由题意知，c=3,a=不，根据a,。,c的关系求出方，根据向量的共线定理设出直线方程

l-.4x+3y+m=0,再代入点与，求出直线方程，根据点到直线的距离公式计算距离；(2)设出点

P(x,y),根据数量积公式得V+y2=2,再根据点尸(x,y)在双曲线上得y2=%-凡联立求

解以后根据国之“代入不等式求范围即可.

(1)依题意，6=J^=2,则双曲线C:三-±=1,耳(0,-2),乙(3,0),

54

设直线/:4x+3y+m=0,将用(0,-2)代入解得：加=6,

此时/:4x+3y+6=0,F冽/的距离为"弋；

(2)设双曲线上的点P(x,y)满足西•呵=-2,即，+/=6-2,

r22f2h22

又r--=1=>y2=—rx2-b2f(1H"--)x2=2b2—2,即七/=2//-2,

ab~aaa

：22a之，且c?=9,/.2h2-2>9^>,

又因为bvc=3,.•.实数b的取值范围是［亨,3).

解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x或丫建立一元二次方程，然后借

助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系或者不等关系求解.

20.(1)奇函数，见解析；(2)存在，理由见解析；(3)。<0,见解析

(1)通过代入(0,0)点解得d=O,再利用奇偶性的定义即可判断出奇偶性.

(2)根据零点判断法则，f(x)为连续函数，只需在区间内寻找符号相反的两个值即可.

(3)根据(1)与(2)可知，f(x)为奇函数且在［0.55,0.6］上存在零点.由此可判断/(x)在［-0.6,-0.55］

也存在零点，即可设两个零点为“与-m,并代入点建立包含“与"?的不等式，即可判断〃的符号.利

用。的符号采用定义法证明"X)单调性，即证明

(1)因为/(())=(),所以"=O,f(x)=ax3+ex,由/(-x)=-/(x),

所以f(x)为奇函数.

(2)由已知可得/(0.59)=-/(-0.59)<0,/(0.56)=-/(-0.56)>0,所以在［0.55,0.59］,所以

/(x)在［0.55,0.6］上存在零点.

(3)因为/3在［0.55,0.6］上存在零点，"，=+5是奇函数，所以f(x)在［-0.6,-0.55］上存

在零点一加，

所以/(X)=ax{x-m){x+m),

/(0.57)=a•1.57•(1.57—加)(1.57+ni)<0

而1.57—相>0,1.57+6>0,所以av0

因为f(X)在［0.55,0.6］上存在零点，

所以0.554^^40.6,^e［-0.36,-0.3025］.

设<x2<-0.35

/Uo)一/(x,)=a(x2一玉)(为2++Z?+上)，