天津蓟县许家台中学2022年高二数学理联考试卷含解析

天津蓟县许家台中学2022年高二数学理联考试卷含解

析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.等比数列的前n项和E=则。等于()

A.3B.1C.0D.?1

参考答案：

D

2.复数z满足方程z=(z-2)i,则z=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

参考答案：

B

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.

【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解.

【解答】解：•.•复数z满足方程z=(z-2)i,

.\z=zi-2i,.'.z(1-i)=-2i,

-2i-2i(l+i)-2i2-2i

.*.z=l-i=(l-i)(1+i)=l-i2=2=1-i.

故选：B.

3.已知圆°(x-2y+(y-3『=l,则圆心坐标是()

A(2.3)BC.(-2,3)D(2.-3)

参考答案：

A

略

4.已知二次函数人“=肃+&+C的导数为/（X）,/（•）＞•,对于任意实数X都有

朋

〃x）三。，则/（。）的最小值为（）.

5

A.3B.2C.2

3

D.2

参考答案：

C

/(x)=2ax+4(/(0)=4>0

由/⑴：：0可知：a>b,A-b14ac-9,

故bb,

故选c.

/=《xeZ

5.已知集合4贝！MCIB=()

(x|-l<x<2)

AB.{-1,0,1,2)C.{-2,-1,0,1,2)D.{0,1,2)

参考答案:

B

【分析】

首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合A,B,之后根据交集的定义写出

Ar\R.

【详解】：

A=\x^Z[W»。}=■Z|-2K4}={一1AL2A4}

集合I

»=3-24*42)则f={T3|故选B

【点睛】：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素

确定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果.

2

6.若双曲线71

的一条渐近线与直线3丫一，+1=°平行,则此双曲线的离心率是

（A）出(B)2班(c)3

（D）Vio

参考答案：

D

7.设曲线＞=""如＞°）上任一点处的切线斜率为，（X）,则函数/=2/（甘的部分图

参考答案：

A

对'E、】nx求导可求得屋।

vX3：IXImxiCMSx,

函数:n:"、、、、的定义域是R,定义域关于原点对称，

令以x）mx'csx,

在xIrnxA＜NXI丁\：7,

,八mxl0s工是奇函数，函数图象关于原点对称，排除C选项和B选项,

X

0"x'一।

当.:时，、m,、小,排除D选项，故选A.

8.若正方形ZB。。的边长为1,则在正方形dBC。内任取一点，该点到点人的距离小于1

的概率为（）

Xn£2

A.4B.6c.xD.«

参考答案：

A

9.已知xwK,奇函数/CO-P-G1-改+c在口.★。）上单调，则字母。•瓦。应满足的

条件是（）.A.u=c=°，b43；B.a=c=°，b23

C.J&0,c=0,b2=D.a20,C=0243

参考答案：

A

略

10.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中

QA=OB=1,则原平面图形的面积为

A.1B.\2C.2D.2

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第〃

（n>3）行左起第3个数为o

1

23

456

78910

1112131415

16171819202i

参考答案：

-A+6

2

【分析】

根据题意先确定每行最后一个数，再求结果

1+2-fr3+,•,+———5

【详解】依排列规律得，数表中第”-1行最后一个数为2

(R-D”I3_A?—»+6

第R(RN3)行左起第3个数为24=~2—.

【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题.

12..如果10N的力能使弹簧压缩1cm,那么把弹簧压缩10cm要做的功为

J.

参考答案：

5

13.已知函数f(x)=x?+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线1与直线x+3y-2=0垂

直，则b=.

参考答案：

1

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】求出导数，求出切线的斜率，化简求解即可.

【解答】解：函数f(X)=x2+bx可得f(x)=2x+b,

函数的图象在点A(1,f(1))处的切线1与直线x+3y-2=0垂直，

可得：2+b=3,解得b=l.

故答案为：1.

14.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a,那么

这个球的表面积是.

参考答案：

3m2

15.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，

等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始

也

正方形的边长为2,则最小正方形的边长为.

参考答案：

1

32

16.已知球的半径y=3,则它的体积

参考答案：

36,

17..如图，分别沿长方形纸片A8CQ和正方形纸片EFG〃的对角线AC,EG剪开，拼成如

图所示的平行四边形KLMN,且中间的四边形ORQP为正方形.在平行四边形KLMN内随

机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

参考答案:

2

【分析】

设正方形的边长为。，正方形°次。尸的边长为“，分别求出阴影部分的面积和平

行四边形皿小的面积，最后利用几何概型公式求出概率.

【详解】设正方形邱由的边长为a,正方形a°P的边长为*,在长方形4BCD中，

BC=NQ=a+工Ah-MQ=a—x

故平行四边形KU®的面积为S=（a.*_©.d+J=2i\

阴影部分的面积为a）,所以在平行四边形KLMN内随机取一点，则此点取自阴影部分的

D『1

P=,=一

概率是2a72

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.假设某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料:

X23456

y2.23.85.56.57.0

n___

£xiyi_nxy

i=l

n-2

△£Xj92-nxA_A_

参考公式：b=i=l,a-y-bx

试求：（1）y与x之间的回归方程；

（2）当使用年限为10年时，估计维修费用是多少？

参考答案：

【考点】线性回归方程.

【分析】（1）根据所给的数据，做出变量x,y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归

方程的系数b,在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值.

（2）根据第一问做出的a,b的值，写出线性回归方程，当自变量为10时，代入线性回

归方程，求出维修费用，这是一个预报值.

【解答】解：（1）根据题表中数据作散点图，如图所示：

r

8

7

6

5

4

3

2

1

0

6一8

从散点图可以看出，样本点都集中分布在一条直线附近，因此y与x之间具有线性相关关

系.利用题中数据得：

x=5C2+3+4+5+6)=4,

y=5(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5,

n

£

i=lXiyi=2X2.2+3X3.8+4X5.5+5X6.5+6X7.0=112.3,

5

£2

i=lxi=22+32+42+52+62=90,

112.3-5X4X5

x*9

所以b=90-5X42=1.23,

-z*-

a=y-bx=0.08,

...线性回归方程为y=l.23x+0.08.

(2)当x=10时，y=1.23X10+0.08=12.38(万元)，

即当使用10年时，估计维修费用是12.38万元.

19.已知数列｛aj满足：ai=l,a2=2,且a”i=2a0+3ai(n22,n£N+).

(I)设b„=a"i+a"(nGN),求证｛bj是等比数歹！J；

(ID(i)求数列｛a.｝的通项公式；

XJ.117.

(ii)求证：对于任意nWN'都有a】+22+...+%-1+a2n<W成立.

参考答案：

【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式.

【专题】等差数列与等比数列.

【分析】(I)利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比

数列.

(ID(i)根据(I)的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式.

(ii)首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明.

【解答】证明：(I)已知数列｛aj满足:apl,&=2,且a田=2a.+3a…(n》2,nWfO.

则：an+i+a„=3(a„+a„-i)

%+1+an

=3(常数)

即:an+an-l

所以：bn,

数列｛b.｝是等比数列.

(II)(i)由于数列｛b.｝是等比数列.

8nH+/_3n-I

则：a2+al

整理得:an*l+an=3"

所以：%「享L0-.)

_32｝.1

则：(n「是以(&14)为首项，-1为公比的等比数列

-二=(1-马(-1尸1

所以：n44

32(-I)”一】

a二

求得：n4

_3nf(-l)n-1

(ii)由于：3rl4,

J_______4

所以：不=37(-1严1

1二4

则：(1)当n为奇数时，an3n+l,

1_4

当n为偶数时，an3n-1,

11114444

aa2

所以：l2a2n=3+13-i…+32k-l+]+3"-i

工工J_1i—

<1+2+8+16+…=1+2+2

年

所以：nGk时，对任意的k都有a2a2n-la2n。恒成立.

【点评】本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等比数列，利用构造数列的方法来

求数列的通项公式，放缩法的应用.

20.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形,四=2止2,»F//A»,EFLFB,

4BFC=9N,BmFC,〃为比的中点.(1)求证：FH〃平面EDB-,(2)求证：/CL平面

EDB；(3)求四面体A颇■的体积.

参考答案：

⑴证，设4C与BD交手点G・则G为4。的中盘,'^EG,GH.由于目为BC的中点,故

GHH-AB.

—2

又EF”？AB.四边形&FG方为万ri四证巳

-2

BGI/FH,而EGu平面EDAFH”平毛BDB

(IDQ*由四边用ADCD为正方网,WABXK.

XCT//AB.'.EFXBC.fWTL"、1F_L平.IFA.FH

4ABX/W又“-2,，中点..：P•.2

:.PHJL平KLSCO

APH^ACyLPHHBG,ACBQ.IU-&JcBD=G

二AC上平■M8D8-

(EI>■，：bJ.e."FC=3.；.BFXc^DBF

;核为四BF・

吗

略

21.如图，三棱锥A-BCD中，z^ABC和ABCD所在平面互相垂直，且AB=CD=4,AC=4次，

CD=4«,ZACB=45°,E,F分别为MN的中点.

(1)求证：EF〃平面ABD；

(2)求二面角E-BF-C的正弦值.

参考答案：

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定.

【分析】(1)连接E,F,由E,F分别为AC,CD的中点，结合三角形中位线定理可得

EF/7AD,再由线面平行的判定可得EF〃平面ABD；

(2)由已知求解三角形可得ABJ_BC,结合aABC和ABCD所在平面互相垂直可得人8_1平

面BCD,取BC中点G,过点G作BF的垂线GH,点H为垂足，则NEHG为二面角E-BF-C

的平面角，求解直角三角形得答案.

【解答】(1)证明：连接E,F,

VE,F分别为AC,CD的中点,；.EF〃AD,

又AD?平面ADB,EF?平面ADB,，EF〃面ABD；

(2)解：取BC中点G,过点G作BF的垂线GH,点H为垂足，

VAB=4,AC=4g，ZACB=45°,

由AB2=AC2+BC2-2AC?BC?cos450,得16=32+BC2-8BC,即BC=4.

/.AB2+BC=AC2,即AB1BC,

又平面ABC_L平面BCD,且平面ABCCl平面BCD=BC,

...AB_L平面BCD,则EG_L平面BCD,EG±BF,

又GH_LBF,...BF，平面EGH,则BF_LEH,即/EHG为二面角E-BF-C的平面角.

VBD=4,BC=4,CD=W3,1丽声.

则/CBF=60°,.*.GH=2Xsin600=43.

./皿EG22M

RtAEGHGHV33.

Dl

22.在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为y2（t为参数），若以原点0为

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为P=4cos。，设M是圆C

上任一点，连结0M并延长到Q,使OM|=|