湖南省长沙市老梁仓第六中学2021年高三数学理联考试卷含解析

湖南省长沙市老梁仓第六中学2021年高三数学理联考

试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

.1

1.将函数丫=5徐(x+-6)图象上各点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右

K

平移万个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()

nJTJrn

A.x=-4B.x=-2C.x=8D.x=4

参考答案：

B

【考点】函数y=Asin(wx+<t>)的图象变换.

【专题】三角函数的图像与性质.

【分析】根据函数丫=八5行(3X+0)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结

论.

.1

【解答】解：将函数y=sin(x+~6)图象上各点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不

71

变)，可得函数丫=$门(2x+-6)的图象，

K7T71

再向右平移互个单位，那么所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-至)+E]=sin

71

(2x-2)=-cos2x,

k-

故最后所得函数的图象的一条对称轴方程为2x=k”，即x=T,kez,

结合所给的选项可得只有B满足条件，

故选：B.

【点评】本题主要考查函数y=Asin(3x+@)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称

性，属于中档题.

参考答案:

C

3.已知抛物线C：X'=23p>0）的焦点为凡抛物线上一点满足网=6,则

抛物线C的方程为（）

A.V=21B.J=4rc,V=8xD,丁=161

参考答案:

D

/(A)=

4.已知函数a\x<1,在R上为减函数，则实数a的取值范围是（)

A.（0.1）D.

参考答案:

B

略

5.设双曲线叫的离心率为百,且直线“=-'7（c是双曲线的

半焦距）与抛物线>''=4x的准线重合，则此双曲线的方程为

B.2412

参考答案:

D

由己知，，■收邺=&

①

抛物线y=4x的准线方程为x=-l,由题意，T=-1,1=。，②

w_已=[

由①②，解得a=4，c=3,所以b=J^此双曲线的方程为彳-不=.选0.

6.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为

个位数，则这组数据的平均数和方差分别是

887

9I34203

A.915.5B.915

C.925.5D.925

参考答案：

A

7.函数/(力症"18^)的定义域为()

A.(0,3)B.(l,+oo)C.(1,3)D.[1,3)

参考答案：

D

8.已知向量；=(-2])工=(-3口，则占在2方向上的投影为()

A.-石B.35C.-2D.2

参考答案:

9.己知。力€K且a>b,则下列不等式中成立的是

PB,-MW©

参考答案：

D

略

]

10.函数y=l-x的图象与函数y=2sinnx,（-2WxW4）的图象所有交点的横坐标之和

等于（）

A.8B.6C.4D.2

参考答案：

A

【考点】数列与函数的综合；数列的求和.

]

【分析】函数yi=l-x与yz=2sinnx的图象有公共的对称中心（1,0）,作出两个函数的

图象，利用数形结合思想能求出结果.

]

【解答】解：函数y,=Lx,

yz=2sinnx的图象有公共的对称中心（1,0）,

作出两个函数的图象，如图，

当1VXW4时,yi<0

而函数y?在（1,4）上出现L5个周期的图象，

3_”工

在（1,万）和（万，I）上是减函数；

a"z

在（5,2）和（2,4）上是增函数.

•••函数y,在（1,4）上函数值为负数，

且与y2的图象有四个交点E、F、G、H

相应地，y,在（-2,1）上函数值为正数，

且与yz的图象有四个交点A、B、C、D

且:XA+XH=XB+XG=XC+XF=XD+XE=2,

故所求的横坐标之和为8.

故选：A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

II.数列（4）的前n项和为其，若数列的各项按如下规律排列:

112123123412

1

「

一

「

一

一

----(一

,33444555，5

2月«

有如下运算和结论:

3

」"=一，

①8

②数列•出+%为+%+。6历+。8+%…是等比数列；

TJ』

③数列勺.%+与.为+的+<36.的+。8+09+。加.…的前n项和为,4

&<10,凡.1210.则收=2

④若存在正整数k,使

其中正确的结论有（填写序号）。

参考答案：

①③④

略

12.已知向量》=(1,2),q=(x,3),若D_Lq,则|p+q|=

参考答案：

5M

【考点】平面向量的坐标运算.

【分析】可得二・10,解得x.再利用向量模的计算公式即可得出.

【解答】解：Vplq,=x+6=0,解得x=-6.

Ao+q=(-5,5).

・・・D+q|=V(-5)2+52=5®.

故答案为：5®

【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，考查了推理能力与计

算能力，属于基础题.

13.已知数列｛%｝满足：(a=LZ…)，若巧=3,则

'=__________________

参考答案：

4

_33_3._3

试题分析：因，=3,故当勺时；也=3即可,5时即一二,所以

".用当外>也时,公+2=3,%=1,即例>1时尸1+2=1可得卬=一】<1,不成立，所以

33

a,=——

4,应填4.

考点：分段数列的通项及运用.

2

£(\x+l,x>0

f(x)=<

14.已知函数I】x<0，则满足不等式f(1-x?)>f(2x)的x的范围

是.

参考答案：

(-1,V2-1)

考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法.

专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用.

分析：由题意f(x)在［0,+8)上是增函数，而XV0时，f(x)=1,故满足不等式f

,1-X2>2X

(1-X2)>f(2x)的X需满足11-x2>0,解出X即可.

1~x2〉2x广，厂、

,(-1,V2-1)

解答：解：由题意，可得I1-x>0

故答案为：(一1，V2-D

点评：本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解

决问题的能力.

15.如果在一周内(周一至周日)安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂，每天最多只安排

一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有

种(用数字作答).

参考答案：

360

试题分析：第一步安排甲学校，由于甲学校连续参观两天，所以只能有6种不同的按排

方法；

第二步按排余下的三所学校，由于这三所学校均只参观一天，所以有6种不同的按排方

法；

由分步计数原理得共有不同的安排方法有6d=6x5x4x3=360种.

故答案为:360.

考点：排列组合.

sin(8+90°)+cos8

16.已知角。的终边过点(4,-3),则tank,sin8-cos(8-180°)

参考答案:

_3_

~4,8.

【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义.

【分析】直接利用任意角的三角函数的定义即可求解tan。，利用诱导公式，同角三角函

数基本关系式化简所求即可计算得解.

【解答】解：..•角0终边上一点P(4,-3),

__3

...由三角函数的定义可得tan。=7,

sin(8+90°)+cos8_____cos8+cos82

/.sin6~cos(9_180°)=sin6~(~cos9)=tan9+1=8,

_3,

故答案为：~4,8.

17.不等式I*—61Tx—4|〈二的解集为o

参考答案：

{x|0<x<3}

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数外0=工*0/+6、*,曲线/=/(/)过点P(1,0),且在P点处的切线斜

率为2.

(I)求实数区5的值；

(II)设函数虱。=/W-2x+2,求函数g(*)的最大值.

参考答案：

五X)=].lot._

(I)X2分

心。】“=0

由已知可得7(1)=2

a=-1

《

解得”=3........................6分

（II,）£*）=/1工）-2工+2=-，-曰3触工+2,X€（0L4CD）

建*）=-2x-l+-=-（不712r”）

XX..................

人火工）=峭k1机=-2倍去）

令

列表分析函数g（a在区间（°・♦"））上的单调性如下：

X(OJ)1（E）

+0-

单调递增极大值单调递减

二函数g（x）的最大值为g0）=°............12分

19.已知函数/㈤4ah*THaM1+”，aeR

（1）当。=1时，求不等式的解集；

⑵若任意工疝,力，使得炉02恒成立，求实数〃的取值范围.

参考答案：

H、

（1）1」（2）a，l或aW-l.

【分析】

（1）把a的值代入不等式中，去掉绝对值符号，利用分类讨论的思想去掉绝对值的解集

即可。

⑵经分析，要使任意*'卬1,使得炉”1=2恒成立，则

（1-fllBx）（14atai）＜0,分离参数a,即可求出a的范围。

【详解】解⑴当时，/（工）=1｝工一1|一1｝工+1|21.

①当即0<JC<*T时，则-Inx+l+Jnic+lNl,

得2N1,所以0<X<，T

②当一iVlnxvl,即时，则-Inx+l-liix-lNl,即一21BXA1,

i1

解得0<x4*’，所以/工工4・’.

③当InxNl,即i2“时，则bijc-l-加x-lil,

解得一2»1,所以工七，

0.31

综上，不等式的解集为iJ

(2)已知任意*e[='],使得巩讣2恒成立，

由II“■/一1]TabrQ"hl1-A4T“qQaln目♦(1+oia©|=2

可知，当且仅当Q-amxNQ+dbQK。时等号成立.

11

由此可得1一"必'工40,即记丘，当x=e时，取得最大值L

即解得a>l或aW-l.

【点睛】本题考查绝对值不等式的求法：利用零点分段讨论法解不等式，以及函数恒成立

的问题，属于中档题。

20.如图，在四棱锥A-BCOE中，△/1£)£是边长为2的等边三角形，平面AOEJ•平面

1

BCDE,底面BCOE是等腰梯形，DE\\BC,DE=2BC,BE=DC=2,80=2拈，点M

是边。E的中点，点N在BC上，且BN=3。

B

(I)证明：BZXL平面AMN；

(II)设BZ)riMN=G,求三棱锥A-8GN的体积。

参考答案:

(I)•・•△//)££*边加阳.AI0DE晌中起.；.4MIDE

KflMADEl-f向BCDE.f微ADEC\f倒BCDE■DE

:,AM1TlMBCDE.,.AM1HD.........3分

vA/D=WF-1.AV-3.DEf/BC.DE»*BC,

MDlLcN.：.四边形MNCD是平行四边形，MNIICD

又BD=2』,BC=4.CD=2.BD^CD1=BC'.ABD1CD,

BD1MN且/MDMV=Af.二即，平面4MN...........................6分

(n)ft](I)知4MJ.平面8C£>E./A/为三棱锥/-8GN的高.

•••△/DE是边长为2的等边三角形.，4W=JL.........................8分

易知GN=3C£>=3,

42

又」I(I)如BDXMN.BG=y/B^-NG2=—

2

c1vr134丫39G

,的22228

„1_।MA9

心此出/M=5X-^-X>/3=-12分

21.在平面直角坐标系中，已知向量；=GJ-&)1=(Hj+物(kwR),

a16,动点M(xj)的轨迹为T.

(1)求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状;

k=]_

(2)当一5时，已知点3(0,-我)，是否存在直线/：y=丁+加，使点B关

于直线/的对称点落在轨迹T上?若存在，求出直线，的方程，若不存在，请说明理

由.

参考答案：

解：⑴VaLb④)&»+应)=0

得*?+/-2=。即匕’+/=2--------------------------------------------------------2分

当上=0时，方程表示两条与X轴平行的直线；・

3分

当k=1时;方程表示以原点为圆心，以立为半径的圆；--------------------

————4

当左＞0且上Hl时，方程表示椭圆；----------------------------------------

—5分

当上＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线

------6分

左」T-+^=1

⑵当2时，动点M的轨迹7的方程为42----------------------------------

-7分

设满足条件的直线？存在，点B关于直线上的对称点为"'（%•%）,则由轴对称的性

儿+短=.1%-0=幺+-

质可得：为22

解得：%=-&-肛％=内，-----------------------------------------------

一10分

（一4