探究高考数列通项的求法(全文)

精品文档-下载后可编辑探究高考数列通项的求法(全文)数列在高中数学中占有非常中重要的位，对通项公式的探究是高考考查数列的主要命题点，它能考查观察、归纳、猜想、推断能力，特别是有递推关系确定数列的通项、更具有新颖、灵活等特点，求数列的通项公式是历年高考命题的重点和热点。现主要以近年高考题为例，分析求数列通项公式的常用方法，以便在高考复习阶段，做到知己知彼、有的放矢，提高复习效率。

类型1：已知数列类型，利用定义求解

例1：（2022年福建卷）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3。

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{an}的前k项和sk=-35，求k的值。

例2：（全国卷文科)设等比数列{an}的前n项和为sn,已知a2=6,6a1+a3=30求an和sn。

【点评】利用定义求数列的通项公式，需要知道数列的类型，即等比数列或等差数列，以及等差数列或等比数列的性质。

类型2：已知数列{an}的前n项和sn

求其通项，可用公式，ans1sn-sn-1求解

例3：湖北已知数列{an}的前项n和sn为，且满足：工a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1)。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若存在K∈N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差数列，判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2是否成等差数列，并证明你的结论。

【点评】数列的通项an与前n项和sn的关系需注意当n≥2时求出an也适合n=1时的情形，可直接写成an=sn-sn-1否则分段表示。

类型3：可转化为等差数列或等比数列求通项

例4：（2022年全国）设数列{an}满足a1=0，且■-■=1.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=■,记Sn=■bk,证明：Sn

解：（I）由题设■-■=1，

即(■)是公差为1的等差数列。

又■=1,故■=n，所以an=1-■.

类型4：由递推关系确定数列的通项公式

1.累加法

例5：（2022年四川）数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*).若则b3=-2，b10=12，则a8=

（A）0（B）3（C）8（D）11

【点评】数列的递推关系形如an+1=an+f(n),其中{f(n)}前有限n项可求和。此种类型的数列求通项时，常常是相邻两项作差，然后对差式求和，这是求通项公式的一种重要方法。

2.累乘法

已知数列{an}中，a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2),则数列的通项为（）。

解析：原递推公式即为■=■(n≥2),所以■=■，■=■，■=■，■=■…■=■(n≥2)，各式左右两边分别相乘得■=■(n≥2)，

解得an=■(n≥2),又a1=1适合上式，所以数列{an}的通项公式为an=■.

【点评】：数列的递推关系形如an+1=g(n)an，其中{g(n)}的前n项的乘积容易化简。此数列求通项公式的方法用累乘法。

3.换元构造新数列

例6：（2022年广东）设b>0，数列{an}满足a1=b,an=■(n≥2),

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，2an≤bn+1+1

【点评】第（1）问递推公式的特征，应该把an与n结合在一起，从而与an-1和n-1结合的式子相对应，故可对条件给出的等式两边取倒数，便可通过换元构造新的递推数列，并利用构造法转化为转化为转化为类似等差或等比数列的通项公式求解。