《如何求极限》课件

《如何求极限》ppt课件目录contents极限的定义极限的求解方法极限的应用特殊函数的极限极限的注意事项01极限的定义函数极限的描述性定义当自变量趋近某一值时，函数值趋于某一确定值。函数极限的精确定义对于任意小的正数$varepsilon$，存在某个正数$delta$，当$0<|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-L|<varepsilon$。函数极限的定义03极限的局部性函数在某点的极限只与该点附近的函数值有关，而与远离该点的函数值无关。01极限的唯一性若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯一的。02极限的保号性若函数在某点的极限大于0，则函数在该点的值也大于0；反之亦然。极限的性质123函数在某点的极限存在，则该点附近必须存在定义。函数在某点的极限存在，则该点附近的变化趋势必须确定。函数在某点的极限存在，则该点附近的函数值必须收敛。极限存在的条件02极限的求解方法方法概述通过因式分解、约分、有理化等代数手段，化简函数，从而找到极限。适用范围适用于能通过代数手段化简的极限问题。实例求lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)，可通过因式分解化简为lim(x→2)(x+2)=4。代数法030201在一定条件下，对函数的分子分母分别求导，并取极限。方法概述适用范围实例适用于0/0型或∞/∞型的极限问题。求lim(x→0)sinx/x，使用洛必达法则得到lim(x→0)cosx=1。030201洛必达法则方法概述在一定条件下，将无穷小量替换为等价的无穷小量。适用范围适用于与无穷小量有关的极限问题。实例求lim(x→0)(1-cosx)/x^2，使用等价无穷小代换法得到lim(x→0)x^2/2=0。等价无穷小代换法01方法概述利用泰勒公式展开函数，并取极限。02适用范围适用于需要展开到高阶的极限问题。03实例求lim(x→0)(1-x)^(1/x)，使用泰勒公式展开得到lim(x→0)e^(-1)=1/e。泰勒公式法03极限的应用在连续复利中的应用连续复利公式通过极限的概念，推导出了连续复利公式，该公式描述了在连续复利情况下，本金在无限时间内的增长情况。连续复利的应用连续复利公式在金融、投资等领域有广泛应用，如计算投资回报、评估资产增长等。瞬时速度是物体在无限短时间内的平均速度，通过极限的概念，可以推导出瞬时速度的公式。瞬时速度在弹性碰撞中，两个物体在碰撞后的速度与碰撞前的速度之比是一个常数，这个常数可以通过极限的概念来推导。弹性碰撞在物理中的应用在经济学中，无穷大和无穷小的概念被用来描述经济现象的极限情况，如无穷大收入和无穷小收入。边际分析是经济学中一个重要的分析方法，它涉及到对经济变量变化趋势的极限情况的考虑，如边际成本和边际收益。在经济学中的应用边际分析无穷大和无穷小的概念04特殊函数的极限无穷大与无穷小是极限概念中的重要概念，它们描述了函数在某个点或某个变化过程中的行为。无穷大是指函数在某点处的值趋向于正无穷或负无穷，而无穷小则是指函数在某点处的值趋向于0。无穷大与无穷小之间存在密切关系，例如在求极限时，有时需要利用它们的性质进行转化和化简。无穷大与无穷小的关系指数函数与幂函数的极限指数函数是指数为其自变量的函数，常见的形式为a^x（a>0且a≠1）。02幂函数是指数为其自变量的函数的指数的函数，常见的形式为x^a。03在求指数函数与幂函数的极限时，需要了解它们的性质和变化规律，例如指数函数的单调性、幂函数的收敛性等。01对数函数的极限性质与指数函数类似，例如对数函数的单调性、收敛性等。在求对数函数的极限时，需要了解对数函数的性质和变化规律，以便进行正确的计算和推理。对数函数是指数函数的反函数，常见的形式为log_a(x)（a>0且a≠1）。对数函数的极限05极限的注意事项在求极限的过程中，需要注意初始值的选择。不同的初始值可能导致极限值不同，因此需要选择合适的初始值以获得正确的极限结果。初始值问题在选择初始值时，应遵循一些原则，如选择易于计算或观察的值，避免选择会导致复杂计算或无法确定极限值的初始值。初始值选择原则初始值问题VS无穷小量是指在某个过程中逐渐趋近于零的量。在求极限的过程中，有时需要比较不同无穷小量的阶数，以确定它们对极限值的影响。无穷小量阶数的比较比较无穷小量的阶数可以帮助我们更好地理解极限的行为。例如，当两个无穷小量是同阶时，它们对极限值的影响是等效的；当它们的阶数不同时，高阶无穷小量对极限值的影响更大。无穷小量的概念无穷小量的比较极限具有四则运算性质，即对于两个函数的极限，它们的基本运算性质（加、减、乘、除）仍然适用。这使得我们在求极限时可以运用这些性质简化计算。在应用极限的四