2022年新高考数学抢分攻略：03 三角函数与解三角形（解析）

03三角函数与解三角形

高考预测

题型预测选择题、填空题、解答题☆☆☆☆☆

考向预测三角函数与解三角形综合

应试攻略

（1）在三角函数的图象与性质中，求3的值是高考命题中的一个热点，与其有关的问题灵活多样，涉

及的知识点多，历来是复习的难点.（2）三角函数的图象与性质是高考考查的热点内容之一，且在多选题

中出现频率较高，主要考查内容有：三角函数的奇偶性、周期性、单调性、图象的对称性、平移变换等.在

考查时经常与三角恒等变换相结合，解题时要充分利用三角函数的图象及性质，利用数形结合、函数与方

程思想等进行求解.（3）数学开放题是高考的一种新题型，此类问题的核心是培养学生的创造意识和创新

能力，激发学生独立思考和创新的意识.开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性

以及解决问题过程中的多角度思考.解三角形是开放性命题的热点之一.

1.从考点频率看，三角函数的图像与性质、解三角形中的结构不良题是高频考点、必考点，所以必须

完全掌握。

2.从题型角度看，可以是选择题、填空题或者解答题，分值20分左右，着实不少！

e知识必备

课程标准命题解读

1.借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会考查形式：一般为一个选择题或一个填空题和

引入弧度制的必要性.一个解答题

2.用几何直观和代数运算的方法研究三角函数考查内容：三角函数的定义、图象与性质、同

的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）角三角函数基本关系、诱导公式、三角恒等变

值等性质.换、正弦定理、余弦定理.

3.探索和研究三角函数之间的一些恒等关系.备考策略：（1）熟练应用同角三角函数基本关系

4.利用三角函数构建数学模型，解决实际问题.式、诱导公式、三角恒等变换公式化简、求值.

5.能用余弦定理，正弦定理解决简单的实际问⑵重视对三角函数图象和性质的研究，注意将

题.问题和方法进行归纳、整理.

⑶加强正弦、余弦定理应用方面的训练.

核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算.

1.角的概念

!按旋转方向不同分为正右、强鱼、零角.

(1)分类1按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(2)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S={616=

a+kS60。，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

2.弧度的定义和公式

⑴定义:长度等于坐径近的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示.

(2)公式

①弧度与角度的换算：360°=区rad,180°=匹rad.

②弧长公式：l=aR.

③扇形面积公式：S扇形=g/R和S

说明：②③公式中的a必须为弧度制.

3.三角函数的概念

(1)定义：设a是一个任意角，a£R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,即y=sina；

②把点P的横坐标光叫做a的余弦函数，记作cosa,即x=cosa；

③把点P的纵坐标与横坐标的比值；叫做a的正切，记作tana,即:=tana(x#0).

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.

(2)三角函数定义的推广：设点P(x,y)是角a终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|,

VXV

则sina=；,cosa=~,tana=#xW0).

(3)三角函数值在各象限内的符号.(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)

"""

++—+—+

O*O*Ox

--++

sinacowatana

4.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1(aR).

(2)商数关系：tana=；那：,工也+,,AGZ).

提醒：(1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注

意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号.

(2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化.

(3)掌握变形公式：sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a,sina=tanacosa(a埠+k7t,k.WZ)

.tan2a1

sm2a=7T麻？cos2a=不命

5.诱导公式

sin(a+k2;t)=sina,

公式一cos(a+Z?27i)=cosa,

tan(a+Z:-27c)=tana,其中kRZ

sin(7i+a)=­sina,

公式二cos(兀+a)=­cosa,

tan(7c+a)=tana

sin(—<x)=­sina,

公式三cos(—«)=cosa,

tan(—a)=­tana

sin(7i—a)=sina,

公式四COS(TT-a)=­cosa,

tan(n—a)=~tana

sin(>a)

=cosa,

公式五

,=sina

cosl2-°

sin(]+a)

=cosa,

公式六

色上)

cosl2+«=­sina

提醒：(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”"偶”指的是"k5+a(kez)”中的

k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.若k是奇数，则正、余弦互变;

若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“W+a(kGZ)”中，将a看成锐角时,

7T

“k-]+a(kGZ)”的终边所在的象限.

⑵利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤：

月利用诱导-魔力利用诱导累叫利用诱导公式回

|角函M公式三或一一|角函履|公式一一|角函1|二或四或五或六T角函数I

也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐”.

6.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

在正弦函数产sin[0,2扪的图象上，五个关键点是：(0,0),住1),(兀,0),停一1),

(2兀，0).

在余弦函数y=cosx,X©[0,2兀]的图象上，五个关键点是：(0,1),g,0),(兀，-1),[,，0),

(2TI,1).

7.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

卜尸

15力庵

图象

定义卜xdR,且%wz}

RR

域

值域[—1,1][—1,1]R

最小

正周2兀2兀71

期

奇偶

奇函数偶函数奇函数

性

单调兀在[2E,2E+扪上

在2E-2E在&兀一,，&兀+上

性递减；在[2&兀一兀，

+引TT上单调递增；2E]上单调递增单调递增

伏eZ)

在2E+],

31

2E+1兀上单调递

减(ZGZ)

对称(E+5，0)(%eZ)仔」Q)(MZ)

(E,0)他GZ)

中心

对称兀

x=E+/(Z£Z)x=kTt(kCZ)无

轴

提醒：(1)求函数y=Asin(o)x+(p)的单调区间时，应注意3的符号，只有当3>0时，才能把cox

+(p看作一个整体，代入y=sint的相应单调区间求解.

(2)表示单调区间时，不要忘记kez.

8.常用结论

JT

(1)若y=Asin(cox+s)为偶函数，则有3=E+/伏eZ)；若y=Asin(cox+s)为奇函数，则有

S=At(%eZ).

(2)若y=Acos((yx+9)为偶函数，则有s=E(%WZ)；若y=Acos((wx+9)为奇函数，则有夕

兀

=&兀+](%£Z).

(3)若y=Atan(Gx+9)为奇函数，则有夕=依(左£2).

9.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(a±0=sinacos£±cosasin6.

(2)cos(ct土夕)=cos0cos£干sinasin

c、,[ana±tan£

(3)tan(z6c±mp)=;二.

-'1+tanatan£

10.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa.

(2)cos2a=cos2(x—sin2a=2COS2«-1=1-2sin2a.

…-2tana

(3)tan2a=~-----.

'71—tan2a

11.常用公式

3一4八八一o1+cos2a、1—cos2a

(1)降暴扩角公式：cos2a=-----2-----，sin2a=-----耳---.

(2)升幕公式：1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a

(3)公式变形:tana±tan/?=tan(a±/?)(1+tana-tan夕).

22

(4)辅助角公式：asmx+bcosx=yja+bsin(x+(p)f

—一.ba

其中sm：=cos(p=r^—75.

y]a+by]a+b

12.常见的配角技巧

.,八、c八ca+Ba-Ba+B,a-Ba—B

2i=(a+夕)+(Q一夕)，a=(a+£)—£,§=-——―~,a=-5-+-5-，-5-

萌)•

13.函数y=Asin(o)x+s)的有关概念

振幅周期频率相位初相

y=Asin(3x+0)

_2兀

T=—CDx+(p

(A>0,tw>0)AcoJ~T~2n(p

14.用“五点法”画函数了=羔皿(①x+s)一个周期内的简图

用“五点法”画函数产Asin(0x+s)(A>O,cy>O)一个周期内的简图时，要找五个关键点,

如下表所示：

匹3兀

a)x-\-(p0n2兀

2~2

71(pR一(P3R_(p2兀一『

X

co2cocoCD2coCDCD

y=Asin(①x+g)0A0-A0

15.由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(tyx+s)(A>0,①>0)的图象的两种方法

方法一方法二

|画出片sinx的图象卜—骤一|画出片sinx的图象

1

向左切>0)或平移期个单位横坐标变为原来的J倍

向右®<0)长度

17

|得到y=sin(x+彷的图象卜一骤—T得到y=sins•的图象

2

平移则个单位

横坐标变为原来的B倍向左(9>0)或

向右®<0)长度3

国

|得到y=sin(的图象H—骤―H得到y=sin(cur+9)的图象|

3

纵坐标变为原来的4倍纵坐标变为原来的4倍

国

|得至W=4sin(5+0)的图象p*—骤—H得到y=4sin(sx+p)的图象|

4

16.明确以下两个关系

(1)函数的周期与图象的对称性之间的关系.

①正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是3周期，相邻的对称

中心与对称轴之间的距离是(周期.

②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是g周期.

(2)对称轴(对称中心)与函数值的关系.

在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y=/(x)=Asin((wx+3),g(x)=Acos(tyx

+(p),尤=xo是对称轴方程％Qo)=±4g(祀尸±A；(xo.O)是对称中心力(xo)=O,g(xo)

=0.

17.余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两

倍.即

层二小十片一2bccosA,

：2=12+d一2accosB,

<?=42+〃2—2a/cosC.

余弦定理的推论：

b2-\-c2—cr

cosA=..~'2bT..

cr+c2—^

cosB—

2cle

C『+〃2—c2

cosC=lab-

18.正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即焉=系=焉=2上其中R

是三角形外接圆的半径.

正弦定理的变形公式：

(l)67=2/?sinA,b=2Rs\nB,c=2RsinC.

a.八。c

(2)sinA=2R，sin?R,sinC=2R

(3)Q:b:c=sin，：sinB:sinC・

19.三角形的面积公式

(l)S=^ah(h表示边a上的高).

(2)S=?bcsinA=gacsinB=gabsinC.

(3)S=%(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).

20.常用结论

在AABC中，常用以下结论：

(1)ZA+ZB+ZC=7T.

(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

A+BCA+

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；tan(A+B)=—tanC；sin--=cos'；cos-5

C

=sin

(5)tan/I+tanB+tanC=tanAlanBtanC.

(6)A>BO«>/?<4sinA>sinB<4cosA<cosB.

21.仰角和俯角

意义图示

1/视线

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方

篦卜——水平线

的角叫他身，在水平线下方的角叫俯角.线角

、视线

22.方位角

意义图示

dt

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B西-----

点的方位角为a.

23.方向角

意义图示

相对于某一正方向的水平角

北

(1)北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向；

北偏东目标

(2)北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向；

东

(3)南偏西等其他方向角类似.

24.坡角与坡度

意义图示

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角e

为坡角)；

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡_________E

/

度).坡度又称为坡比.

1.应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，

也可以通过“配凑”法利用基本不等式求最值.

2.三角函数定义的应用策略

(1)已知角a终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.

(2)已知角a的终边所在的直线方程(注意分为两条射线)，可先设出终边上一点的坐标，求出此

点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解.

(3)已知角a的某个三角函数值，求角a终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两

个量列方程求参数值

3.利用“切弦互化”的技巧

(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一为正切的表达式，进行求值.

常见的结构：

①sina,cosa的齐次式(乜口asin2a+bsinacosa+ccos2a);

…、、、(，asina+bcos

②sina,cosa的齐次分式［如诉不而

(2)切化弦：利用公式tana=蓝器，把式子中的正切化成正弦或余弦.一般单独出现正切、余

切时，采用此技巧.

4.“sina土cosa,sinacos关系的应用

sinaicosa与sinacosa通过平方关系联系到一起，即(sinaicosa)2=l±2sinacosa,sinacosa

=(sma+”-l,sinacosa=l—(sin：cosa)2因此在解题时已知一个可求另外两个.

5.求三角函数的值域(最值)常见的三种类型

(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(cox+(p)+c的形式，再求值域(最值).

⑵形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最

值).

⑶形如y=asinxcosx+"(sinx土cosx)+c,的三角函数，可先设f=sinx土cosx,化为关于/■的二

次函数求值域(最值).

6.已知三角函数解析式求单调区间的方法

(1)代换法：将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调

性列不等式求解.

(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间.

7.已知三角函数的单调区间确定参数①的取值范围的步骤

首先，明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集：

其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系求解；

另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.

8.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法

求三角函数图象的对称轴及对称中心，需先把所给三角函数式化为y=Asin(3x+(p)或y=

Acos(cox+(p)的形式，再把o)x+q)整体看成一个变量z.若求f(x)=Asin(cox+(p)(o)WO)图象的对

TT

称轴，则只需令z=cox+(p=/+k兀(k£Z),解出x;若求f(x)=Asin(3x+(p)(o#0)图象的对称中

心的横坐标，则只需令z=cox+(p=k兀(kez),解出x.

9.已知三角函数值求角的解题步骤

(1)根据条件确定所求角的范围；

(2)确定待求角的某种三角函数值，为防止增解，最好选取在上述范围内单调的三角函数；

(3)结合三角函数值及角的范围求角.

10.应用角的变换求值策略

解决此类问题应明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角

的变换技巧，及半角与倍角的相互转化,如：2a=(a+夕)+(a—£),a=(a+』)一£=(a—尸)+

B，40°=60°-20°,仔+a)+仔-a)q5=24等.

11.三角恒等变换综合应用的解题思路

⑴将f(x)化为asinx+bcosx的形式.

(3)和角公式逆用，得f(x)=/a2+b2sin(x+(p)(其中(p为辅助角).

(4)利用f(x)=(a2+b2sin(x+(p)研究三角函数的性质.

(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.

12.由图象确定函数y=Asin((yx+s)+8(A>0,①>0)的解析式的步骤

.M—mM+m

(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=——,B=——.

2兀

(2)求co,确定函数的周期T,则8=亍.

(3)求勺，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点在递增区间上还是在递减区

间上)或把图象的最高点(最低点)的坐标代入.

②五点法：确定(p值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.

13.三角函数图象和性质综合问题的解题策略

(1)图象变换问题.

先根据和差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin（（ox+（p）+t或余弦型函

数y=Acos（（ox+（p）+t的形式，再进行图象变换.

（2）函数性质问题.

求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：

27r

①利用公式T=管（8>0）求周期.

②根据自变量的取值范围确定wx+（p的取值范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域

或最值.另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值.

③根据正弦、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin（（ox+（p）+t或y=Acos（cox+（p）+

7的单调区间.

14.利用正、余弦定理解三角形的策略

（1）已知三角形的两边和其中一边的对角解三能形，可用正弦定理，也可用余弦定理.用正

弦定理时，需判断其解的个数；用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.

（2）三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两

边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大南进行

判断.结合图象求解较为直观易解.

6判断三角形形状的常用途径

通过正弦定理、余弦定理化

角为边，通过代数恒等变换，

求出边与边之间的关系进行

判断

通过正弦定理、余弦定理化

边为角，利用三角恒等变换

得出三角形内角之间的关系

进行判断

16.判断三角形的形状的注意点

在判断三角形的形状时，一定要注意三角形的解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另夕卜,

在变形过程中，要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.在等式变形时，一般两边不

要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.

17.求解三角形面积问题的方法技巧

（1）若三角形中已知一个角（角的大小或该角的正、余弦值），结合题意求解这个角的两边或该角

的两边之积，代入公式求面积.

（2）若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积.

总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.18.含参数的能成立（存在型）问题的解题方

法

典例剖析

一、多选题命题热点之三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质是高考考查的热点内容之一，且在多选题中出现频率较高，主要考

查内容有：三角函数的奇偶性、周期性、单调性、图象的对称性、平移变换等.在考查时经常

与三角恒等变换相结合，解题时要充分利用三角函数的图象及性质，利用数形结合、函数与方

程思想等进行求解.

例1、（多选题）对于AABC,有如下判断，其中正确的是（）

A.若sin2A=sin2B,则△ABC必为等腰三角形

B.若A>B,则sinA>sinB

C.若a=5,b=3,B=60。，则符合条件的△ABC有两个

D.若siMA+siMB-sin2c<0,则△ABC必为钝角三角形

【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

运用正弦函数的图象和性质得到24=28或2A+23=7T,得到4=8或4+3=],可以判定4运用正

弦定理可以判定8,C,运用正余弦定理可以判定。.

【解答】

解：在△48C中，

A.若sin24=sin2B,0<2.4<2TT,0<2B<2TT,

贝i]2A=2B或2A+23=Jr,

所以力=8或'+/?=£,

所以△48C为等腰三角形或直角三角形，故A错误:

B.A>根据大角对大边，得到Q>b,

再由正弦定理得到sinA>sinB,故8正确；

C.a=5,b=3,B=60°,

3_5

由正弦定理得:

sin60°sin/'

解得sin4=忘>1,故A无解，

故符合条件的AyIBC为0个，故C错误;

D因为sin?A+sin2B—sin2C<0

由正弦定理得到。22

2+b-c<0,

所以皿c=*<0,

所以C为钝角，则△ABC必为钝角三角形，故。正确.

故选BD.

例2、（多选题）在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知c=2,若sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,

则下列说法正确的是（）

A.C=5B.AGf-,-'）

3\6,2j

C.B€（0噂D.a+b6（2s/3,4]

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，余弦定理，函数y=4sin（3x+w）的性质，解三角形的应用问题，也考查了运算求解

能力，是中档题.

由正弦定理可得。2+人2一帅=©2,利用余弦定理求出cosC和C的值，判断4正确;由三角形内角和定理，结

合题意求出8、4的取值范围，判断B正确，C错误;由正弦定理求出a+b的取值范围，判断。正确.

【解答】

解：锐角△4BC中，sin2?l+sin2B-sin^sinB=sin2C,

由正弦定理可得：a2+b2-ab=c2,所以a?+所一c?=ab;

ab1

由余弦定理可得COSC=a.*--=一,

2ab2

又ce(o&,所以C=g,选项A正确；

由三角形内角和定理知，4+8=拳所以8=与一月；

又所以?一4<三，解得4>?所以选项8正确；

同理，8€©谭)，所以选项C错误；

由正弦定理得a+b=肃⑸必+sinB)

=詈(sin/+sinB)

=竽[sinA+sin(y-A)]

=#(I，由4+YcosA)

=4sin(4+-),

6

由4E第9得等，

所以a+b€(2百,4],选项。正确.

故选：ABD.

例3、(多选题)对于函数f(x)=sin(3x-9,(3>0),下列结论正确的是()

A.若f(x)2f(一弓)恒成立，则3的最小值为2

B.当3=2时，[1^-3101+用,kez是单调增区间

C.当3=2时，f(x)的图象关于(*,0)对称

D.当3=2时，f(x)的图象可由y=cos(2x-》的图象向右移三个单位得到

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查三角函数丫=4§讥(3¥+伊)的图象与性质，属于中档题.

结合正弦函数的图象与性质，逐一选项进行验证即可.

【解答】

解:对于4因为f(x)2/(-勺恒成立，所以/(一力=$in(一常一白=一1,

1818In.5

所以一卷一[=—J+2AFkeZ,

io<52

又3>0,所以3的最小值为3.故A错误；

对于B,当3=2时，/(x)=sin(2x-g),由一1+2k?r42x-+2k;r.k€Z可得

s2«52

——+A'TTxy—+k?r,k€Z,故8正确；

对于C,当3=2时,，/(x)=sin(2x-^),由2工一J=krr,k&Z,可得工=—4--,k&Z,当卜=-1时，

x=-p故/⑶的图象关于(一，0)对称，故C正确；

对于C，将y=cos(2x-g)的图象向右移三个单位得到

o3

V=工一1=cos(2x_,_；)=co福-(2x-^)]=sin(2x-；),故。正确.

二、多选题命题热点之解三角形

以三角形为载体，以正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形

问题是多选题中的一类热点题型，主要考查内容有正弦定理、余弦定理、三角形面积的计算、

三角恒等变换和三角函数的性质.解题时通常交替使用正弦定理、余弦定理，利用函数与方程

思想等进行求解.

例1、(多选题)对于△ABC,有如下命题，其中正确的有()

A.若sin2A=sin2B,则团ABC是等腰三角形

B.若团ABC是锐角三角形，则不等式sinA>cosB恒成立

C.若5皿2人+$皿28+852(：<1,则回ABC为钝角三角形

D.若AB=显,AC=1,B=30°,则回ABC的面积为⑨或型

42

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题主要考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于中档题.

根据正余弦定理依次讨论各选项即可得答案.

【解答】

解：对于4选项，由sin24=sin2B,

得24=2B或24+2B=乃，

故团4BC是等腰三角形或直角三角形，故不正确;

对于B选项，由锐角三角形得/+8冶，得”4冶一8,

故根据正弦函数性质得sin">sin仁—8)=cosF,故命题成立;

对于C选项，•・•sin2A+sin2B+cos2C<1,

:.sin2/l+sin2^<1—cos2C=sin2C,

由正弦定理得M+b2<c2,

所以角。为钝角，

所以团4BC为钝角三角形，故C正确；

对于。选项，・・・48=遮，AC=1,B=30°,

.万ABsinBV3

:，sine=---A-C---=—2»

5LAB>AC,

AC=60。或120。，

•••A=90°或30°,

D

•••SAABC=^AB-AC-sin/1=•或手，故正确•

故选：BCD.

例2、（多选题）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法中正确的是（）

A.若A>B,则sinA>sinB

B.若sin2A=sin2B,则A=B

C.若a?+b2<c2,则AABC为钝角三角形

D.若bcosC+ccosB=asinA,贝！］AABC为直角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理及余弦定理，考查分析能力，属于基础题.

结合正弦定理和余弦定理以及大边对大角，逐一分析求解即可.

【解答】

解：

对于4因为4>8,所以由正弦定理有a>b,又在三角形中，大边对大角，所以sinA>sinB,所以4正

确；

对于若sin24=sin2B,则有24=28或24=TT-2B,即4=8或故8不正确；

对于C,因为a2+b2<c2,所以由余弦定理有cosC=3W<0,又0<。<兀，所以C为钝角，所以C

2ab

正确；

对于。，设三角形的外接圆半径为R,由正弦定理有a=2Rsim4得，

bcotiC+ccosB=2RsinBcosC+2/?sinCD=+C）=2/?sin.4,

所以asinA=2Rsin4贝iJa=2R,

则乙4=90°,则44BC为直角三角形,故。正确；

故选ACD.

例3、（多选题）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且（a+b）:（a+c）:（b+c）=9:10:11,

则下列结论正确的是（）

A.若c=6,则△ABC外接圆半径为随

7

B.△ABC的最大内角是最小内角的2倍

C.△ABC是钝角三角形

D.sinA:sinB:sinC=4:5:6

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及二倍角公式，属于中档题目.

由正弦定理可判断4；由余弦定理可判断B;由余弦定理和二倍角公式可判断C;由正弦定理可判断二

【解答】

解：因为(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11,故可设a+b=93a+c=lOt,b+c=lit,解得a=43

b=5t,c=6t,t>0,

可得sinA:sinB:sinC=atbtc=4:5:6,故D正确；

由c为最大边，可得cosC=《i『=0空守巨=：>0,即C为锐角，故C错误；

2a.b2-4t,5t8

cos2A=2cos24-l=2x^-l=i=cosJ

由24C6(O.TT),可得24=C,故8正确；

6_16

若c=6,可得2氏=赤△ABC外接圆半径为随，故A正确.

故选：ABD.

三、开放题命题热点之解三角形

数学开放题是高考的一种新题型，此类问题的核心是培养学生的创造意识和创新能力，激

发学生独立思考和创新的意识.开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索

性以及解决问题过程中的多角度思考.解三角形是开放性命题的热点之一.

例1、在①bc=t(b+c),其中t为角A的平分线AD的长(AD与BC交于点D),

②sin2A-(sinB-sinC)?=3sinBsinC,③b=acosC-JcsinA这三个条件中任选一个,补充在下面问题中，

并解答,在12ABe中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

(1)求角A的大小；

(2)求m=^的取值范围.

【答案】解：(1)方案一：选条件①be=t(b+c).

由题意可得SABAD+SACAO=^AABC

Ill

-ctsinZ.BAD-btsinZ.CAD=-bcsinZ.BAC.

222

•••2D为NBAC的平分线，4BAD=^CAD=^BAC,

••・ctsinZ-BAD+btsinZ-BAD=bcsin(2zFi4D),

即七(c4-b^sinZ-BAD=bcsin(2z_840)

又be=t(b+c),

・•・sinZ-BAD=sin(24BAD),即sinz_B4D=2sinZ-BADcos/-BAD,

,:乙BADE(0,^),cosZ-BAD=

・•・乙BAD=p

方案二：选条件②siMA—(sinB—sinC)2=3sinBsinC.

由已知结合正弦定理得M-62-c2=be,

b2+c2-a2-be

由余弦定理得COSA=

v0<i4<7T,

.2n

:，A=——.

3

方案三：选条件③b=acosC—ycsinA.

由正弦定理得，sinB=sinAcosC——sinCsini4,

3

又B=7r—(i44-C),:.sin(4+C)=sinAcosC—苧sinCsinA,

・•・sinAcosC+cos?lsinC=sinAcosC--sinCsin/l,

3

••・cos/lsinC=——sinCsini4,

3

vsinC>0,

Atarii4=一遮，

v0<<7T,

sinA+sinBy+sin(^-C

(2)m=

y+-cosC-|sinC

sinC

_」(1+cosC)i

-sinC2

_T2COS2f1

-r.CC

2sin-cos-29

22

一二」

一»C

tan-/7

2

又ce(o,§,.小66(0,净，所以m>l

•••m的取值范围是(1,+8)

【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，以及三角函数的值域，属于中档题.

(1)选择①，利用三角形面积公式，计算得NB4D,从而计算角4的值.

选择②，利用正弦定理把角化为边，然后利用余弦定理求出角4即可；

选择③，利用正弦定理把边化为角，然后利用sinB=sin(Z+C),化简求出角4即可；

(2)三个选择方法结果是一样的，利用正弦定理把771=早转化为m=匣黑竺，代入4消去B,由三角函数

的值域求解m的范围.

例2、在①asinC—V3ccosBcosC=V3bcos2C；@5ccosB+4b=5a；③(2b—a)cosC=ccosA这三个条件

中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.且满足.

⑴求sinC；

(2)己知a+b=5,△ABC的外接圆半径为竽，求△ABC的边AB上的高h.注：如果选择多个条件分别解答，

按第一个解答计分.

【答案】解：选择条件①：

(1)因为asinC—V3ccosBcosC=V3bcos2C,

所以由正弦定理得sinAsinC=V3sinCcos5cosC4-V3sinBcos2C,

即sin/lsinC=V3cosC(sinCcosF+sin8cosC)，

故sinAsinC=V3cosCsin/l.

又/6(0,7r)=sin/W0,

所以sinC=次cosC=>tanC=V3.

由C€((),")=

所以sinC=sin-=—.

32

(2)由正弦定理得c=2x竽sing=4,

222

由余弦定理得c?=a4-h-2abeosg=(Q+Z?)—Sab=16,

所以==昉=3.

3

于是得△48c的面积S=^absinC=|c/i,

所以南=absinC=3X4=3柢

C48

选择条件②：

(1)因为5ccos8+4b=5a,

由正弦定理得5sinCcosB+4sinB=5sin4

即5sinCcosB+4sinB=5sin(B+C)=5sinScosC+5cos5sinC,

于是sin8(4—5cosC)=0.

在AABC中，sinB丰口,

所以cosC=/

sinC=Vl—cos2C=|.

(2)由正弦定理得c=2x竽x|=笫，

由余弦定理得c?=a24-h2-2abcosC

=(a+by-^ab=^,

所以ab=[(a+匕＞一端X卷=詈,

于是得△48c的面积S=jahsinC=^chf

E斤hlLabsinC43335433V3

-C~9058V3-720,

选择条件③：

(1)因为(2b—a)cosC=ccosA,

所以由正弦定理得

(2sinB—sin/)cosC=sinCcosA,

所以2sin8cosC=si「Q4+C)=sinB,

因为BW（O,7r）,

所以sinBH0=cosC=p

又4E(0,7r),

所以C=±

所以sinC=—.

2

(2)由正弦定理得c=2x竽sing=4,

由余弦定理得c?=a2+h2-2abeosg=(a+b)2-3ab=16,

所以帅二竺以竺=M=