概率论与数理统计-随机变量及其分布

汇报人：AA概率论与数理统计-随机变量及其分布2024-01-19目录随机变量基本概念常见离散型随机变量分布常见连续型随机变量分布随机变量数字特征多维随机变量及其分布大数定律与中心极限定理01随机变量基本概念Chapter随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量具有可测性，即对于任意实数x，随机变量的取值小于等于x的事件是一个可测事件。随机变量定义随机变量性质定义与性质离散型与连续型随机变量离散型随机变量取值可数的随机变量称为离散型随机变量，如投掷一枚骰子出现的点数。连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量称为连续型随机变量，如测量某物体的长度。对于任意实数x，随机变量X的取值小于等于x的概率称为X的分布函数，记作F(x)。连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述。概率密度函数f(x)满足在任意区间[a,b]上的概率为∫f(x)dx（积分区间为[a,b]）。分布函数与概率密度函数概率密度函数分布函数02常见离散型随机变量分布Chapter概率质量函数P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...,n。期望与方差E(X)=np，D(X)=np(1-p)。定义在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验成功的概率为p，则成功次数X服从参数为(n,p)的二项分布。二项分布定义泊松分布是一种描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。参数λ表示单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。概率质量函数P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，k=0,1,2,...。期望与方差E(X)=λ，D(X)=λ。泊松分布几何分布在伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，试验进行到事件A首次出现为止，此时所进行的试验次数X服从参数为p的几何分布。概率质量函数P{X=k}=(1-p)^(k-1)p，k=1,2,...。期望与方差E(X)=1/p，D(X)=(1-p)/p^2。定义超几何分布描述了从有限N个物件（其中包含K个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出指定种类物件的次数X的概率分布。定义概率质量函数期望与方差P{X=k}=[C_K^kC_(N-K)^(n-k)]/C_N^n，k=max{0,n+K-N},...,min{n,K}。E(X)=(nK)/N，D(X)=(nK(N-K)(N-n))/(N^2(N-1))。超几何分布03常见连续型随机变量分布Chapter定义在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。性质均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。应用均匀分布在自然情况下极为罕见，同样来由，主要表现在人类活动比较密集的区域。自然界常见的分布大多是正态分布，例如人类的身高、人类的寿命。010203均匀分布指数分布定义：指数分布（Exponentialdistribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。性质：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。应用：在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还广泛用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布。但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性。因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后，仍然如同新的产品一样，不影响以后的工作寿命值。要点三定义正态分布（Normaldistribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussiandistribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。要点一要点二性质正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ=0，σ=1时的正态分布是标准正态分布。应用正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足3σ原则。要点三正态分布定义对数正态分布(logarithmicnormaldistribution)是指一个随机变量的对数服从正态分布，则该随机变量服从对数正态分布。性质对数正态分布从短期来看，与正态分布非常接近（但具有更厚的尾部）。但是，从长期来看，对数正态分布向上分布的数值更多一些，因此它具有更大的波动性。应用对数正态分布可与易变因素的总和或乘积复合而生一复合分布的近似值可以拉普拉斯中心极限定理或棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理求得。若一正随机变数X的对数值X=ln(X)若满足常态分配，则称X服从对数常态分配。对数正态分布04随机变量数字特征Chapter数学期望描述随机变量取值的“平均水平”，是随机变量所有可能取值的加权平均数，权数为对应取值的概率。方差衡量随机变量取值与其数学期望的偏离程度，即随机变量取值的波动性或分散程度。数学期望与方差协方差与相关系数衡量两个随机变量变化趋势的相似程度，正值表示同向变化，负值表示反向变化，零表示无关。协方差标准化后的协方差，消除了量纲影响，更客观地反映两个随机变量之间的线性相关程度。相关系数

矩与偏度峰度矩描述随机变量分布形态的特征数，包括原点矩和中心矩，分别反映随机变量分布的偏移程度和尖峭程度。偏度衡量随机变量分布偏斜方向和程度的特征数，正值表示右偏，负值表示左偏，零表示对称分布。峰度衡量随机变量分布尖峭或扁平程度的特征数，正值表示尖峭峰，负值表示扁平峰，零表示正态分布峰度。05多维随机变量及其分布Chapter多维随机变量是指取值在多维空间中的随机变量，通常表示为$X=(X_1,X_2,...,X_n)$，其中$X_i$是一维随机变量。定义多维随机变量的分布函数定义为$F(x_1,x_2,...,x_n)=P(X_1leqx_1,X_2leqx_2,...,X_nleqx_n)$，表示多维随机变量$X$取值小于等于$(x_1,x_2,...,x_n)$的概率。分布函数多维随机变量概念VS多维随机变量的联合分布描述了各个分量同时取值的概率分布。对于连续型多维随机变量，联合分布可以用联合概率密度函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$表示。边缘分布多维随机变量的边缘分布是指固定某些分量而对其他分量进行积分的分布。例如，对于二维随机变量$(X,Y)$，$X$的边缘分布函数为$F_X(x)=P(Xleqx)$，$Y$的边缘分布函数为$F_Y(y)=P(Yleqy)$。联合分布联合分布与边缘分布多维随机变量的条件分布是指在给定其他分量取值的条件下，某一分量的概率分布。例如，对于二维随机变量$(X,Y)$，在给定$X=x$的条件下，$Y$的条件分布函数为$F_{Y|X}(y|x)=P(Yleqy|X=x)$。多维随机变量的各分量之间相互独立，当且仅当它们的联合分布等于各自边缘分布的乘积。即对于任意$x_1,x_2,...,x_n$，都有$f(x_1,x_2,...,x_n)=f_1(x_1)f_2(x_2)...f_n(x_n)$，其中$f_i(x_i)$是$X_i$的边缘概率密度函数。条件分布独立性条件分布与独立性06大数定律与中心极限定理Chapter定义大数定律是描述随机变量序列平均值的稳定性的定理，即在大量重复试验中，随机事件发生的频率近似于它的概率。种类常见的大数定律有弱大数定律和强大数定律。弱大数定律指出随机变量序列的平均值依概率收敛于期望值，而强大数定律则指出随机变量序列的平均值几乎必然收敛于期望值。应用大数定律在统计学、保险学、金融学等领域有广泛应用。例如，在保险学中，大数定律用于确定保险产品的费率和赔付率；在金融学中，大数定律用于评估投资组合的风险和收益。大数定律中心极限定理是描述随机变量序列和的分布近似于正态分布的定理。即当随机变量序列满足一定条件时，它们的和（或平均值）的分布将逐渐趋近于正态分布。中心极限定理有多种形式，包括独立同分布的中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理和林德伯格中心极限定理等。这些定理的适用条件和结论略有不同，但都表明在一定条件下，随机变量序列的和（或平均值）的分布将趋近于正态分布。中心极限定理在统计学、质量控制、可靠性工程等领域有广泛应用。例如，在统计学中，中心极限定理用于推导参数估计量的分布性质；在质量控制中，中心极限定理用于确定产品质量的稳定性和可靠性；在可靠性工程中，中心极限定理用于评估系统的可靠性和寿命分布。定义种类应用中心极限定理抛硬币试验假设进行多次抛硬币试验，每次试验硬币正面朝上的概率为0.5。根据大数定律，当试验次数足够多