高考数学重难点练习题（附有答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高考数学重难点练习题（附有答案）学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．3．如图所示的程序框图中，若输出的函数值，则输入的实数（

）A． B． C． D．或4．已知定义在上的函数满足，函数的图象关于直线对称，且，则（

）A． B．0 C．1 D．25．为庆祝党的二十大的胜利召开，某高校党委从所有的学生党员中随机抽取100名，举行“二十大”相关知识的竞赛活动，根据竞赛成绩，得到如下2×2列联表.则下列说法正确的是（

）优秀非优秀合计男203050女351550合计5545100参考公式及数据：，其中.A．有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”B．有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”6．已知实数x，y满足约束条件则的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．97．已知函数在区间上的极值点有且仅有2个，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知变量y与x之间具有线性相关关系，根据变量x与y的相关数据，计算得则y关于x的线性回归方程为（

）附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为A． B．C． D．9．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（

）A． B． C． D．10．在中，内角的对边分别为，已知，若点为边的中点，则的最大值为（

）A． B． C． D．11．已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．12．已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．二、填空题13．已知向量，和，若，则在方向上的投影是．14．在的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则．15．已知三棱锥中，平面，和，则三棱锥外接球的体积为．16．设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，已知点，若直线AM与直线AN的斜率分别为和，则．三、解答题17．已知的角对边分别为，满足.(1)求；(2)求外接圆的半径.18．某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x（kg）和玉米相应产量Y（kg）的相关数据，制作了数据对照表：x（kg）1620242936Y（kg）340350362404454若在合理施肥范围内x与Y具有线性相关关系(1)求Y关于x的线性回归方程；(2)请利用线性回归方程预测时的玉米产量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：和.19．已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.(1)证明：；(2)求二面角的大小；(3)求直线CA与平面所成角的正弦值.20．已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.(1)若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；(2)若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.21．已知函数.(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)若函数在其定义域上有唯一零点，求实数的值.22．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数）.(1)若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)过点向直线l作垂线，垂足为Q，说明点Q的轨迹为何种曲线.23．已知函数.(1)解不等式；(2)若在上恒成立，求实数的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【分析】根据题意，将集合分别化简，然后由集合的交集运算即可得到结果.【详解】因为集合所以.故选:D.2．B【分析】根据复数的四则运算和复数求模的公式即可求解.【详解】因为所以.故选：.3．D【分析】输出的函数值，分别代入函数解析式求，结合定义域得出答案．【详解】由程序框图可知，该程序是运算分段函数的值因为输出的函数值所以当时由，解得；当时由，解得.故选：D.4．C【分析】利用函数的周期性及函数的对称性进行计算求解.【详解】由，得

①又函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，即

②联立①②两式，可得，所以所以函数的一个周期为8，又所以，故A，B，D错误.故选：C.5．A【分析】求得的观测值，再与临界值表对照下结论.【详解】解：因为的观测值由临界值表知，有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”.故选：.6．D【分析】利用线性规划，画出可行域和目标函数即可.【详解】由题，画出满足题意的可行域如图所示令，可化为，相当于直线在y轴上的截距．平移直线，当直线过点A时截距最大，z最小；当直线过点C时截距最小，z最大，联立得所以．联立得所以．所以，所以．故选：D．7．C【分析】利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理.【详解】因为，所以当时有因为在区间上的极值点有且仅有2个，结合函数图象得，解得，所以的取值范围为，故A，B，D错误；故选：C.8．B【分析】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解.【详解】由题中的数据可知所以.所以.所以y关于x的线性回归方程为.故选：B.9．B【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；【详解】方法一：函数因为，所以所以.所以.所以，即.当时；当时.故的值域为.故选：B.方法二：由，得.因为，所以，解得.当时；当时.所以的值域为.故选：B.10．A【分析】方法一：作出图形，设，则.利用余弦定理和基本不等式即可求解.方法二：根据平面向量的运算可得，两式联立，结合基本不等式即可求解.【详解】方法一：如图，设，则.在中由余弦定理得①.在中，由余弦定理得②.由①②可得：.在中，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，解得，即的最大值为.

方法二：由题可得所以①.又因为，所以②由①②得由①得则，所以当且仅当时等号成立.所以.故选：.11．D【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理及两直线相交联立方程组求出交点坐标，结合已知条件、点在直线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】由题意可知，所以所以椭圆的上焦点为设直线的方程为联立消去，得所以.由题设知，所在的直线方程为.因为直线与直线相交于点所以；同理可得.所以.因为为锐角所以所以即，解得：或所以，或，或.故直线的斜率的取值范围是.故选:D.12．A【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性进行函数值的大小比较.【详解】方法一：比较的大小时（法一）设函数，则，令，得当时，函数单调递增；当，函数单调递减所以当时函数取得最大值因为，所以，即.（法二）因为，设为坐标原点，结合函数的图象知，所以；比较的大小时设函数，则当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增因为，又，所以，即综上可得，故B，C，D错误.故选：A.方法二（估值法）：因为0.43.所以，故B，C，D错误.故选：A.13．/【分析】根据向量的坐标运算表示出，利用向量垂直的坐标表示求得再根据向量投影的定义求得答案.【详解】因为向量，和，所以．因为，所以，即，解得（负值舍去）所以，所以所以在方向上的投影为故答案为：14．或【分析】利用赋值法确定各项系数的和，由二项式的性质得各二项式系数的和，利用比值为，列出关于的方程，解方程即可.【详解】因为的展开式中各项系数的和为，各二项式系数的和为所以由题意得所以，或，解得，或．故答案为：或．15．【分析】将三棱锥补成直三棱柱，直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，确定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圆半径，进而求得三棱锥外接球半径，即可得答案.【详解】因为所以在中，根据余弦定理可得：即．所以所以∠ABC=120°，所以底面是顶角为120°的等腰三角形．由题意将三棱锥补成如图所示的直三棱柱则该直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上．设外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R由正弦定理得所以所以三棱锥外接球的体积为故答案为：16．【分析】先根据题意假设直线l的方程，联立椭圆的方程，由韦达定理得到和从而利用斜率公式直接运算即可得解.【详解】因为椭圆，所以，其右顶点为，下顶点为所以过点的直线l的斜率存在且不为0和，设直线l的方程为，即设，点M，N的坐标均不为联立整理得则，解得因为时和所以.故答案为：．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.17．(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得，结合三角函数同角关系即可求解（2）由余弦定理代入已知关系即可得，由正弦定理即可求解.【详解】（1）由以及正弦定理可得：，而.（2），整理得.由正弦定理可得18．(1)(2)【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将代入回归方程求解.【详解】（1）解：由表中数据计算得.和.所以回归方程为.（2）将代入回归方程得.故预测时玉米产量约为.19．(1)证明见解析；(2)(3)【分析】（1）由正三棱柱的性质可得平面，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得；（2）以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角的大小为；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA与平面所成角的正弦值为.【详解】（1）由为正三棱柱可知，平面又平面，所以由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；又，平面，所以平面；又平面，所以；（2）取线段的中点分别为，连接易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示;由侧棱长为，底面边长为2可得由D为AB的中点可得所以设平面的一个法向量为则，令，可得；即；易得即为平面的一个法向量所以设二面角的平面角为，由图可知为锐角所以，即；即二面角的大小为.（3）由（2）可知，平面的一个法向量为设直线CA与平面所成的角为所以即直线CA与平面所成角的正弦值为.20．(1)(2)【分析】（1）由题知直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；（2）设出直线的方程及的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出将韦达定理代入，化简求出参数即可得点的坐标.【详解】（1）因为直线的斜率为1且过点所以直线的方程为：设由，得：所以所以因为为线段的中点，的纵坐标为2所以所以抛物线的方程为：.（2）设直线的方程为：和，得：所以由由所以即所以所以点的坐标为.21．(1)(2)【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程（2）将问题等价转化成在有唯一实数解.构造函数，和利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.【详解】（1）当时且函数在点处的切线方程即.（2）在其定义域上有唯一零点方程即在有唯一实数解.设，则.令，即的两个根分别为（舍去）.当时在上单调递减当时在上单调递增当时取最小值要使在有唯一零点，则须即设函数当时是增函数，至多有一解.方程的解为，即，解得实数的值为.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时常采用两种思路：直接求最值和等价转化.22．(1)(2)的轨迹为以点为圆心，为半径的圆【分析】（1）根据直线的参数方程和求解；利用，求解；（2）在时直接求出Q的坐标，在时写出过点P且与直线l垂直的直线方程，与直线l的方程联立消参求得Q的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.【详解】（1）解：由直线的参数方程为∵∴直线l的普通方程为，即.由得因为所以曲线的直角坐标方程为.