高考数学一轮复习 专题03 简单逻辑连接词、全称量词与存在量词（含解析）-人教版高三数学试题

专题03简单逻辑连接词、全称量词与必存在量词一、【知识精讲】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，﹁p的真假判断pqp∧qp∨q﹁p真真真真假pqp∧qp∨q﹁p真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃3.全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，﹁p(x0)∀x∈M，﹁p(x)二、【典例精练】例1.(1)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cosx是偶函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(﹁p)∨(﹁q)C．(﹁p)∧q D．p∧(﹁q)(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋eq\f(1,x0)>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(﹁q) B．(﹁p)∧qC．p∧q D．(﹁p)∨q【答案】(1)B(2)A[解析](1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cosx，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cosx＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cosx是偶函数，所以q是真命题，所以p∧q是真命题，故选A．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋eq\f(1,x0)＝eq\f(17,4)>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝xeq\o\al(2,0)成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.【方法小结】判断含有逻辑联结词命题真假的步骤例2.(1)下列命题中，真命题是()A．∀x∈R，x2－x－1＞0B．∀α，β∈R，sin(α＋β)＜sinα＋sinβC．∃x∈R，x2－x＋1＝0D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝cosα＋cosβ(2)对命题∃x0>0，xeq\o\al(2,0)>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，xeq\o\al(2,0)≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x【答案】（1）D，（2）C【解析】（1）因为x2－x－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(5,4)≥－eq\f(5,4)，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，所以B是假命题．x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，所以C是假命题．当α＝β＝eq\f(π,2)时，有sin(α＋β)＝cosα＋cosβ，所以D是真命题，故选D．](2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.【方法小结】1.全称命题、特称命题的真假判断方法1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证px成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得px0不成立即可.2）要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使px0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题.2.全称命题与特称命题的否定1）改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.2）否定结论：对原命题的结论进行否定.例3.已知p：存在x0∈R，mxeq\o\al(2,0)＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．【解析】依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，m≤－2或m≥2，))即m≥2.例4.给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解析】当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立”⇔a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0，))∴0≤a＜4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤eq\f(1,4).∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假．∴若p真q假，则0≤a＜4，且a＞eq\f(1,4)，∴eq\f(1,4)＜a＜4；若p假q真，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0或a≥4，,a≤\f(1,4)，))即a＜0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4)).【方法小结】根据命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．三、【名校新题】1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0，eq\f(x,x－1)>0”的否定是()A．∃x0≥0，eq\f(x0,x0－1)≤0 B．∃x0>0,0≤x0≤1C．∀x>0，eq\f(x,x－1)≤0 D．∀x<0,0≤x≤1【答案】B【解析】∵eq\f(x,x－1)>0，∴x<0或x>1，∴eq\f(x,x－1)>0的否定是0≤x≤1，∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．2．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“¬p为假命题”是“p∧A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：若¬p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则¬p为假命题．所以“¬p为假命题”是“3．(2019·陕西质检)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(¬p)∧(¬C．(¬p)∧q D．p∧(¬【答案】D【解析】由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧(¬q4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是()A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件B．命题p：∀x∈R,2x>0，则¬p：∃x0∈R,2x0C．命题“若a>b>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)”的逆命题是真命题D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件【答案】A【解析】对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R,2x>0的否定是綈p：∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则()A．(¬p)∨q为真命题 B．p∧(¬C．p∧q为真命题 D．p∨q为真命题【答案】D【解析】由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q为假命题，所以p∨q为真命题．6．(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋eq\f(1,x0)>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(¬q) B．(¬p)C．p∧q D．(¬p)∨【答案】A【解析】(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋eq\f(1,x0)＝eq\f(17,4)>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝xeq\o\al(2,0)成立，故命题q为假命题，所以p∧(¬q)为真命题，故选A.7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．(0,4]C．(－∞，4] D．[0,4)【答案】C【解析】当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.8．（安徽萧县中学2019届高三考试题）已知命题则（）A．是假命题，B．是假命题，C．是真命题，D．是真命题，【答案】C【解析】因为x>0,fx<0恒成立，所以p真，，9．（荆州市2019届高三第二次八校联考）下列有关命题的说法正确的是（）A．，使得成立．B．命题：任意，都有，则：存在，使得．C．命题“若且，则且”的逆命题为真命题．D．若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．【答案】D【解析】选项A，设，则，在上单调递减，所以当时，取得最小值3，故A错误；选项B，：存在，使得，所以B错误．选项C，逆命题为：“若且，则且”当时，满足且，但不满足且，所以C错误．选项D，若数列是等比数列，，则，反过来，若数列是等比数列，当公比为1时，，不能推出，故D正确．10.（江西九校2019届高三联考）下列命题中正确的是（）A.若为真命题，则为真命题.B.“”是“”的充要条件.C.命题“，则或”的逆否命题为“若或，则”.D.命题：，使得，则：，使得.【答案】B【解析】因为ab>0⟺a,b同号⟺11.（2019届江西省红色七校高三第一次联考）已知直线，，平面，；命题若,,则//；命题若,,,则，下列是真命题的是()A． B.

C. D.【答案】C【解析】p假，q真，所以¬p12．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，eq\r(x)＞x＋1”，则命题p可写为________________________．【答案】∃x0∈(0，＋∞)，eq\r(x0)≤x0＋1【解析】因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．13．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“¬q”同时为假命题，则x【答案】-2【解析】若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“¬q”为假，则q为真，即x∈又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，由题意，得x＝－2.14．已知p：a<0，q：a2>a，则¬p是¬【答案】必要不充分【解析】：由题意得¬p：a≥0，¬q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以¬p15．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(¬p∧(¬q)；④(¬p其中为假命题的序号为________．【答案】②③④【解析】：显然命题p为真命题，¬p∵f(x)＝x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，∴函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增．∴命题q为假命题，¬q∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(¬p∧(¬q为假命题，(¬p16．设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)，eq\f(1,x)－x≤4t2－1.(1)当t＝1时，判断命题q的真假；(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．【解析】(1)当t＝1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))max＝