高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示习题 理 新人教A版-新人教A版高三数学试题

第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示习题理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).答案A2.在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A.(－2，7) B.(－6，21)C.(2，－7) D.(6，－21)解析eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－3，2)，∵Q是AC的中点，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(－6，4)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，7)，∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－6，21).答案B3.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4).若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.1 D.2解析∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3，4)，且(a＋λb)∥c，∴eq\f(1＋λ,3)＝eq\f(2,4)，∴λ＝eq\f(1,2)，故选B.答案B4.(2016·青岛质量检测)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.答案A5.(2016·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，则向量eq\o(EM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))解析如图，∵eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→)).答案C二、填空题6.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________.解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8.(2016·昌邑一中模拟)已知A(－3，0)，B(0，eq\r(3))，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，则实数λ的值为________________.解析由题意知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－3λ，eq\r(3))，由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，∴tan150°＝eq\f(\r(3),－3λ)，即－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3λ)，∴λ＝1.答案1三、解答题9.已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.解(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，3)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1＋3t，2＋3t).若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－eq\f(2,3)；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－eq\f(1,3)；若点P在第三象限，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t<0.))解得t<－eq\f(2,3).(2)若四边形OABP为平行四边形，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＝3，,2＋3t＝3.))∵该方程组无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形.10.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，试用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).解法一设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则a＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b))，①b＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a)).②将②代入①，得a＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a))))，∴a＝eq\f(4,3)d－eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(2d－c)，③将③代入②，得b＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(2,3)(2d－c)＝eq\f(2,3)(2c－d).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d).法二设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，因而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a，,d＝a＋\f(1,2)b))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)（2d－c），,b＝\f(2,3)（2c－d），))即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·长沙调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，则()A.x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B.x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C.x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D.x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析由题意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案A12.(2016·南昌十校联考)已知a＝(eq\r(3)，1)，若将向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为()A.(0，4) B.(2eq\r(3)，－2)C.(－2eq\r(3)，2) D.(2，－2eq\r(3))解析∵a＝(eq\r(3)，1)，∴－2a＝(－2eq\r(3)，－2)，易知向量－2a与x轴正半轴的夹角α＝150°(如图).向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，在第四象限，与x轴正半轴的夹角β＝30°，∴b＝(2eq\r(3)，－2)，故选B.答案B13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝________.解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1，1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3).∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2