高考数学一轮复习 练案（50）第八章 解析几何 第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程（含解析）-人教版高三数学试题

[练案50]第八章解析几何第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程A组基础巩固一、单选题1．(2019·秦皇岛模拟)倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(D)A．eq\r(3)x－y＋1＝0 B．eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0C.eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0 D．eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0[解析]由于倾斜角为120°，故斜率k＝－eq\r(3).又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0.2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(D)A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2[解析]直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.3．直线x＋eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角是(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)[解析]由直线的方程得直线的斜率为k＝－eq\f(\r(3),3)，设倾斜角为α，则tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq\f(5π,6).4．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(B)A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0[解析]设P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点，∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,－4)＝1，即2x－y－4＝0.5．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(D)A．1 B．－2C．－2或－1 D．－2或1[解析]由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2；当y＝0时，x＝eq\f(a＋2,a)，∴eq\f(a＋2,a)＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.6．(2020·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(B)A．[0，eq\f(π,4)] B．[eq\f(3π,4)，π)C．[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2)，π) D．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]∪[eq\f(3π,4)，π)[解析]k＝－eq\f(1,a2＋1)∈[－1,0)，因此倾斜角的取值范围[eq\f(3π,4)，π)，选B.7．(2020·重庆一中期中)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(D)A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0或x＋y－3＝0 D．2x－y＝0或x－y＋1＝0[解析]当直线过原点时方程为y＝2x，即2x－y＝0，当直线不过原点时，设方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，代入A的坐标求出a＝－1，方程为x－y＋1＝0，故选D.8．若直线l：y＝kx－eq\r(3)与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的斜率的取值范围是(B)A．[eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),2)) B．(eq\f(\r(3),3)，＋∞)C．(eq\f(\r(3),2)，＋∞) D．(eq\f(\r(3),3)，1][解析]直线l恒过定点(0，－eq\r(3))，如图所示．因为当直线l经过点(3,0)时，其斜率为eq\f(0－－\r(3),3－0)＝eq\f(\r(3),3)，所以当两直线的交点位于第一象限时，直线l的斜率的取值范围应为(eq\f(\r(3),3)，＋∞)．故选B.二、多选题9．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过(ABD)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－eq\f(C,A)>0知，在y轴上的截距－eq\f(C,B)>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选A、B、D.10．下列说法正确的是(AB)A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0[解析]A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确，B中(eq\f(0＋1,2)，eq\f(2＋1,2))在直线y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，所以B正确，C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线y＝x.11．(2019·福建六校联考改编)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(BD)[解析]当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.结合选项知B符合，当a>0，b<0时，－a<0，－b>0，选项D符合，当a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0时都不符合，故选B、D.三、填空题12．经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程为__3x＋4y＋15＝0__.[解析]由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).又直线经过点A(－1，－3)．因此所求直线方程为y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.13．(2019·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为__x＋y－1＝0或3x＋2y＝0__.[解析]当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，则有3＝－2k，即k＝－eq\f(3,2)，此时直线l的方程为y＝－eq\f(3,2)x，即3x＋2y＝0.当截距不为0时，设所求直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，则有eq\f(－2,a)＋eq\f(3,a)＝1，即a＝1，即x＋y－1＝0.综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.14．如图，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线BC的方程为__x－2y－1＝0__.[解析]设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，又M是AC的中点，∴5＋m＝0，m＝－5，N是BC的中点，∴3＋n＝0，n＝－3，∴点C的坐标为(－5，－3)，则kBC＝eq\f(3－－3,7－－5)＝eq\f(1,2)，∴BC的方程为y－3＝eq\f(1,2)(x－7)，即x－2y－1＝0.B组能力提升1．(2019·济宁模拟)直线xsineq\f(π,7)＋ycoseq\f(π,7)＝0的倾斜角是(D)A．－eq\f(π,7) B．eq\f(π,7)C．eq\f(5π,7) D．eq\f(6π,7)[解析]由题意得直线方程为y＝－taneq\f(π,7)·x，∴k＝－taneq\f(π,7)＝taneq\f(6π,7).∵0≤α<π，∴α＝eq\f(6π,7).2．(2020·太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(B)A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(3,2) D．eq\f(2,3)[解析]依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).3．(2019·安徽五校联考)已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是(B)A．[eq\f(3,4)，2] B．(－∞，eq\f(3,4)]∪[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1,2][解析]直线kx－y＋1－k＝0恒过P(1,1)，kPA＝2，kPB＝eq\f(3,4)，故k的取值范围是(－∞，eq\f(3,4)]∪[2，＋∞)．故选B.4．(2019·山西模拟)若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为__16__.[解析]根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故eq\f(－2,a)＋eq\f(－2,b)＝1，所以1＝2(eq\f(1,－a)＋eq\f(1,－b))≥4eq\r(\f(1,ab))，即ab≥16.当且仅当a＝b＝－4时等号成立．即ab的最小值为16.5．(2019·福建期末)已知直线l：y＝(1－m)x＋m(m∈R)．(1)若直线l的倾斜角α∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]，求实数m的取值范围；(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．[解析](1)由已知直线l斜率k＝1－m，∵倾斜角α∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]，由k＝tanα可得1≤k≤eq\r(3)，∴1≤1－m≤eq\r(3)，解得1－eq