高考数学一轮复习 练案（41）第六章 不等式、推理与证明 第四讲 基本不等式（含解析）-人教版高三数学试题

[练案41]第四讲基本不等式A组基础巩固一、单选题1．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为(A)A．4 B．4eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)[解析]∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥2eq\r(23x·22y)＝2eq\r(23x＋2y)＝4，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,2)时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4，故选A.2．(2020·辽宁铁岭六校联考协作体联考)若a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lg(eq\f(a＋b,2))，则(B)A．R<P<Q B．P<Q<RC．Q<P<R D．P<R<Q[解析]由于函数y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，又a>b>1，则lga>lgb>0，由基本不等式可得P＝eq\r(lga·lgb)<eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝eq\f(1,2)lg(ab)＝lgeq\r(ab)<lgeq\f(a＋b,2)＝R因此，P<Q<R，故选B.3．(2020·全国联考)若log3(2a＋b)＝1＋logeq\r(3)eq\r(ab)，则4a＋2b的最小值为(C)A．6 B．eq\f(8,3)C．eq\f(16,3) D．eq\f(17,3)[解析]因为log3(2a＋b)＝1＋logeq\r(3)eq\r(ab)，所以2a＋b＝3ab，且a>0，b所以eq\f(2,3)(2a＋b)＝2ab≤(eq\f(2a＋b,2))2，因为2a＋b>0，所以2a＋b≥eq\f(8,3)，当且仅当2a＝b，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)时取等号，故4a＋2b的最小值为eq\f(16,3).4．(2020·安徽黄山质检)已知f(x)＝eq\f(x2＋3x＋6,x＋1)(x>0)，则f(x)的最小值是(D)A．2 B．3C．4 D．5[解析]由题意知，f(x)＝eq\f(x2＋3x＋6,x＋1)＝eq\f(x＋12＋x＋1＋4,x＋1)＝x＋1＋eq\f(4,x＋1)＋1，因为x>0，所以x＋1>0，则x＋1＋eq\f(4,x＋1)＋1≥2eq\r(4)＋1＝5，(当且仅当x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1时取“＝”)故f(x)的最小值是5.5．(2020·山西大同联考)已知正实数m，n满足eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝4，则m＋n的最小值是(D)A．4 B．2C．9 D．eq\f(9,4)[解析]由题意知m＋n＝eq\f(1,4)(eq\f(1,m)＋eq\f(4,n))(m＋n)＝eq\f(1,4)(5＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n))≥eq\f(1,4)(5＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n)))＝eq\f(9,4)，(当且仅当m＝eq\f(3,4)，n＝eq\f(3,2)时取等号)∴m＋n的最小值为eq\f(9,4)，故选D.6．(2020·辽宁葫芦岛协作校联考)“∀x，y>0，(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))≥a”是“a≤8”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]∵x，y>0，∴(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))＝1＋4＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥5＋2eq\r(4)＝9，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(4x,y)，即y＝2x>0时，等号成立．∴a≤9.∴“∀x，y>0，(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))≥a”是“a≤8”的必要不充分条件，故选B.7．(2020·陕西绥德中学阶段测试)已知：x>1，y<0，且3y(1－x)＝x＋8，则x－3y的最小值是(A)A．8 B．6C．eq\f(15,2) D．eq\f(13,2)[解析]由题意3y＝eq\f(x＋8,1－x)且x－1>0，∴x－3y＝x＋eq\f(x＋8,x－1)＝x－1＋eq\f(9,x－1)＋2≥2eq\r(x－1·\f(9,x－1))＋2＝8，(当且仅当x－1＝eq\f(9,x－1)即x＝4时取等号)∴x－3y的最小值为8，故选A.8．(2020·广东期中)已知a>1，b>0，a＋b＝2，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)的最小值为(A)A．eq\f(3,2)＋eq\r(2) B．eq\f(3,4)＋eq\f(\r(2),2)C．3＋2eq\r(2) D．eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),3)[解析]由题意知a>1，b>0，a＋b＝2，可得：(a－1)＋b＝1，a－1>0，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)＝[(a－1)＋b](eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b))＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(a－1,2b)＋eq\f(b,a－1)≥eq\f(3,2)＋2eq\r(\f(a－1,2b)·\f(b,a－1))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)，当且仅当eq\f(a－1,2b)＝eq\f(b,a－1)且a＋b＝2时，即a＝3－eq\r(2)，b＝eq\r(2)－1时等号成立，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)的最小值为eq\f(3,2)＋eq\r(2).故选A.9．(2020·四川眉山一中办学共同体期中)圆x2＋y2＋4x－2y－1＝0上存在两点关于直线ax－2by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为(D)A．3＋2eq\r(2) B．9C．16 D．18[解析]由圆的对称性可得，直线ax－2by＋1＝0必过圆心(－2,1)，所以a＋b＝eq\f(1,2).所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝2(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(a＋b)＝2(5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b))≥18，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)且a＋b＝eq\f(1,2)时，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)时取等号，故选D.二、多选题10．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(CD)A．a＋b≥2eq\r(ab) B．eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2C．|eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)|≥2 D．a2＋b2≥2ab[解析]因为eq\f(a,b)和eq\f(b,a)同号，所以|eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)|＝|eq\f(a,b)|＋|eq\f(b,a)|≥2.∵(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，故选C、D.11．下列命题中正确的是(BD)A．函数y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0<x<π)的最小值为4B．函数y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))的最小值为eq\f(3\r(2),2)C．函数y＝2－3x－eq\f(4,x)(x>0)的最小值为2－4eq\r(3)D．函数y＝2－3x－eq\f(4,x)(x>0)的最大值为2－4eq\r(3)[解析]A．sinx＝eq\f(4,sinx)取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．因为eq\r(x2＋2)≥eq\r(2)，所以取不到“＝”，设eq\r(x2＋2)＝t(t≥eq\r(2))，y＝t＋eq\f(1,t)在[eq\r(2)，＋∞)上为增函数，最小值为eq\f(3\r(2),2)，故B正确；因为x>0时，3x＋eq\f(4,x)≥2·eq\r(3x·\f(4,x))＝4eq\r(3)，当且仅当3x＝eq\f(4,x)，即x＝eq\f(2\r(3),3)时取“＝”，所以y＝2－(3x＋eq\f(4,x))有最大值2－4eq\r(3)，故C项不正确，D项正确．故选B、D.12．(2020·四川成都新都区诊断改编)已知a>0，b>0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(n,3a＋b)恒成立，则n的值可以为(BC)A．18 B．12C．16 D．20[解析]由题意知n≤(3a＋b)(eq\f(3,a)＋eq\f(1,b))＝10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)∵10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥10＋2eq\r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝16，(当且仅当a＝b时取等号)∴10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)的最小值为16，故n的最大值为16.选B、C.三、填空题13．(2020·广东惠州调研)已知x>eq\f(5,4)，则函数y＝4x＋eq\f(1,4x－5)的最小值为__7__.[解析]∵x>eq\f(5,4)，∴4x－5>0，∴y＝4x－5＋eq\f(1,4x－5)＋5≥2eq\r(4x－5·\f(1,4x－5))＋5＝7，当且仅当4x－5＝eq\f(1,4x－5)即x＝eq\f(3,2)时取等号，∴y的最小值为7.14．(2020·湖南模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产品__80__件．[解析]由题意知平均每件产品的生产准备费用是eq\f(800,x)元，则eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)×\f(x,8))＝20，当且仅当eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)，即x＝80时“＝”成立，所以每批应生产产品80件．15．(2020·湖北部分重点中学联考)已知x>0，y>0，若eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是__(－4,2)__.[解析]∵x>0，y>0，∴eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)≥2eq\r(\f(2y,x)·\f(8x,y))＝8(当且仅当y＝2x时取等号)∴eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)的最小值为8，由题意可知m2＋2m－8<0，解得－4<m即m的取值范围是(－4,2)．B组能力提升1．函数f(x)＝eq\f(1,1－x)＋eq\f(1,4x)(0<x<1)的最小值为(C)A．eq\f(5,2) B．eq\f(7,3)C．eq\f(9,4) D．eq\f(11,5)[解析]∵0<x<1，∴1－x>0∴f(x)＝[(1－x)＋x](eq\f(1,1－x)＋eq\f(1,4x))＝eq\f(5,4)＋eq\f(x,1－x)＋eq\f(1－x,4x)≥eq\f(5,4)＋2eq\r(\f(x,1－x)·\f(1－x,4x))＝eq\f(9,4)(当且仅当2x＝1－x，即x＝eq\f(1,3)时取等号)∴f(x)的最小值为eq\f(9,4)，故选C.2．(2020·山东新泰一中质检)已知△ABC的面积是9eq\r(3)，角A，B，C成等差数列，其对应边分别是a，b，c，则a＋c的最小值是(A)A．12 B．12eq\r(2)C．10 D．10eq\r(2)[解析]由题意知B＝eq\f(π,3)，∴eq\f(1,2)acsinB＝9eq\r(3)，∴ac＝36，∴a＋c≥2eq\r(ac)＝12，(当且仅当a＝c＝6时取等号)∴a＋c的最小值为12，故选A.3．(2020·山东济宁期末)已知函数f(x)＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋4＝0上，其中mn>0，则eq\f(1,m＋1)＋eq\f(2,n)的最小值为(B)A．eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C．2 D．4[解析]由题意知A(－2，－1)，∴2m＋n∴2(m＋1)＋n＝6，∴eq\f(1,m＋1)＋eq\f(2,n)＝eq\f(1,6)[2(m＋1)＋n](eq\f(1,m＋1)＋eq\f(2,n))＝eq\f(1,6)(4＋eq\f(n,m＋1)＋eq\f(4m＋1,n))≥eq\f(1,6)(4＋2eq\r(\f(n,m＋1)·\f(4m＋1,n)))＝eq\f(4,3)，当且仅当n＝2(m＋1)，即m＝eq\f(1,2)，n＝3时取等号，∴eq\f(1,m＋1)＋eq\f(2,n)的最小值为eq\f(4,3)，故选B.4．(2020·安徽宣城第二次调研)已知双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0)和椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，则eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)的最小值为(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]由题意知m＋n＝