《概率论与数理统计》魏宗舒版

《概率论与数理统计》魏宗舒版汇报人：AA2024-01-19目录绪论概率论基本概念随机变量及其分布数理统计基本概念假设检验方差分析与回归分析随机过程初步01绪论研究随机现象数量规律的数学分支，其基本概念包括随机事件、随机变量、概率分布等。以概率论为基础，研究如何从数据中获取有用信息并作出科学推断的数学分支。概率论与数理统计简介数理统计概率论概率论是数理统计的理论基础数理统计中的许多概念和方法都建立在概率论的基础上，如参数估计、假设检验等。数理统计是概率论的应用概率论中的理论和方法在数理统计中得到了广泛应用，用于解决各种实际问题。概率论与数理统计的关系在物理学、化学、生物学等自然科学领域中，概率论和数理统计被用于描述随机现象和进行数据分析。自然科学在社会学、心理学、经济学等社会科学领域中，概率论和数理统计被用于研究社会现象和人类行为。社会科学在信号处理、图像处理、人工智能等工程技术领域中，概率论和数理统计被用于设计算法和解决实际问题。工程技术在金融领域中，概率论和数理统计被用于风险管理、投资组合优化、期权定价等方面。金融领域概率论与数理统计的应用领域02概率论基本概念随机事件在一定条件下，并不总是发生，也不总是不发生的事件。概率描述随机事件发生的可能性大小的数值，取值范围在0到1之间。概率的性质非负性、规范性、可列可加性。随机事件与概率123又称等可能概型，满足有限性和等可能性两个特点。古典概型试验的样本空间是一个区域，随机事件A是样本空间的一个子集，且子集的测度（长度、面积或体积）可以计算。几何概型主要在于样本空间和随机事件的表示方式不同。古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型03条件概率与独立性的关系如果事件A和事件B相互独立，则P(A|B)=P(A)，反之则不成立。01条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。02独立性如果事件A和事件B的发生互不影响，则称事件A和事件B是相互独立的。条件概率与独立性03随机变量及其分布随机变量描述随机变量取值概率的函数，具有单调不减和非负性的性质。分布函数离散型随机变量连续型随机变量01020403取值充满某个区间的随机变量，其分布函数为连续函数。定义在样本空间上的实值函数，用于描述随机试验的结果。取值可数的随机变量，其分布函数为阶梯函数。随机变量及其分布函数描述离散型随机变量各取值概率的规律。分布律常见离散型随机变量的分布二项分布泊松分布二项分布、泊松分布、几何分布等。描述n次独立重复试验中成功次数k的分布规律，记作B(n,p)。描述单位时间内随机事件发生的次数k的分布规律，记作P(λ)。离散型随机变量及其分布律0102概率密度描述连续型随机变量取值概率密度的函数，具有非负性和规范性。常见连续型随机变量的分布均匀分布、指数分布、正态分布等。均匀分布描述在某一区间内取值等可能的连续型随机变量的分布规律。指数分布描述等待时间或寿命等连续型随机变量的分布规律，具有无记忆性。正态分布描述影响某一指标的随机因素非常多且每个因素的影响都很小的情况下该指标的分布规律，具有对称性和集中性。030405连续型随机变量及其概率密度04数理统计基本概念研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。总体从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本样本中包含的个体数目，通常用n表示。样本容量总体与样本样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。统计量抽样分布常见的抽样分布统计量的概率分布，描述了统计量在多次抽样中的分布情况。正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。030201统计量与抽样分布描述总体分布特性的数值，如均值、方差等。参数用一个具体的数值来估计总体参数的方法，如样本均值估计总体均值。点估计用一个区间来估计总体参数的方法，该区间以一定的概率包含总体参数的真值。区间估计无偏性、有效性、一致性等。评价标准参数估计05假设检验小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，若发生则拒绝原假设。小概率原理根据问题背景设立原假设和备择假设，原假设通常是待检验的断言的反面。假设的设立用于检验原假设的统计量，其分布已知或可导出。检验统计量当检验统计量落入拒绝域时，我们拒绝原假设，临界值是拒绝域与非拒绝域的边界值。拒绝域与临界值假设检验的基本思想当总体方差已知时，使用z检验；当总体方差未知时，使用t检验。均值检验使用卡方检验，通过比较样本方差与总体方差的差异来判断原假设是否成立。方差检验单个正态总体的假设检验当两总体方差已知且相等时，使用z检验；当两总体方差未知但相等时，使用t检验；当两总体方差不等时，使用Welcht检验。两总体均值差的检验使用F检验，通过比较两组数据的方差比来判断原假设是否成立。两总体方差比的检验两个正态总体的假设检验06方差分析与回归分析原理通过比较不同水平下样本均值的差异，推断总体均值是否存在显著差异。假设检验提出原假设和备择假设，构造F统计量，根据F分布进行假设检验。方差分析表列出各来源的变异（组间变异和组内变异），计算F值，进行显著性判断。单因素方差分析030201原理分别检验行因素、列因素和交互作用的显著性。假设检验方差分析表列出各来源的变异（行因素变异、列因素变异、交互作用变异和误差变异），计算F值，进行显著性判断。研究两个因素对因变量的影响，以及因素间的交互作用。双因素方差分析原理通过最小二乘法拟合一条直线，使得观测值与拟合值之间的残差平方和最小。回归方程y=a+bx，其中a为截距，b为回归系数。假设检验检验回归系数的显著性，以及模型的拟合优度。预测与控制利用回归方程进行预测和控制，分析自变量与因变量之间的关系。一元线性回归分析07随机过程初步随机过程的定义01随机过程是一族依赖于参数（通常是时间）的随机变量，用于描述随机现象随时间的演变。随机过程的分类02根据随机变量的取值空间和性质，随机过程可分为离散时间离散状态、离散时间连续状态、连续时间离散状态和连续时间连续状态等四类。随机过程的数字特征03包括均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数等，用于刻画随机过程的统计特性。随机过程的基本概念马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种时间和状态都是离散的随机过程，具有“无后效性”，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。马尔可夫链的转移概率描述从一个状态转移到另一个状态的概率，是马尔可夫链的重要特征。马尔可夫链的遍历性与平稳分布遍历性是指马尔可夫链从任意状态出发，经过足够长的时间后，可以到达任意其他状态；平稳分布是指马尔可夫链在长时间运行后达到的稳定状态分布。马尔可夫链平稳随机过程是一种统计特性不随时间变化的随机过程，即其均值函数和协方差函数与时间无关。平稳随机过程的定义严平稳要