广东中考综合题圆计算题

广东中考综合题圆计算题1.〔2023广东佛山8分〕如图，直尺、三角尺都和圆O相切，AB=8cm．求圆O的直径．【答案】解：设三角尺和⊙O相切于点E，连接OE、OA、OB，∵AC、AB都是⊙O的切线，切点分别是E、B，∴∠OBA=90°，∠OAE=∠OAB=∠BAC。∵∠CAD=60°，∴∠BAC=120°。∴∠OAB=×120°=60°。∴∠BOA=30°。∴OA=2AB=16。由勾股定理得：，即⊙O的半径是cm。∴⊙O的直径是cm。【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线长定理。【分析】连接OE、OA、OB，根据切线长定理和切线性质求出∠OBA=90°，∠OAE=∠OAB=∠BAC，求出∠BAC，求出∠OAB和∠BOA，求出OA，根据勾股定理求出OB即可。2.〔2023广东佛山11分〕〔1〕按语句作图并答复：作线段AC〔AC=4〕，以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆〔a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点〕，连接AB、BC、CD、DA．假设能作出满足要求的四边形ABCD，那么a、b应满足什么条件？〔2〕假设a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．【答案】解：〔1〕作图如下：能作出满足要求的四边形ABCD，那么a、b应满足的条件是a+b＞4。〔2〕连接BD，交AC于E，∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。设CE=x，那么AE=4－x，∵BC=b=3，AB=a=2，∴由勾股定理得：解得：。∴。∴四边形ABCD的面积是。答：四边形ABCD的面积是。【考点】作图〔复杂作图〕，相交两圆的性质，勾股定理。【分析】〔1〕根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；〔2〕连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE=x，那么AE=4－x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。3.〔2023广东广州12分〕如图，⊙P的圆心为P〔﹣3，2〕，半径为3，直线MN过点M〔5，0〕且平行于y轴，点N在点M的上方．〔1〕在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．〔2〕假设点N在〔1〕中的⊙P′上，求PN的长．【答案】解：〔1〕如下图，⊙P′即为所求作的圆。⊙P′与直线MN相交。〔2〕设直线PP′与MN相交于点A，那么由⊙P的圆心为P〔﹣3，2〕，半径为3，直线MN过点M〔5，0〕且平行于y轴，点N在⊙P′上，得P′N=3，AP′=2，PA=8。∴在Rt△AP′N中，。在Rt△APN中，。【考点】网格问题，作图〔轴对称变换〕，直线与圆的位置关系，勾股定理。【分析】〔1〕根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点P′的位置，然后以3为半径画圆即可。再根据直线与圆的位置关系解答。〔2〕设直线PP′与MN相交于点A，在Rt△AP′N中，利用勾股定理求出AN的长度，在Rt△APN中，利用勾股定理列式计算即可求出PN的长度。24．〔2023广东广州，24，14分〕如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点〔与端点A、B不重合〕，DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．〔1〕求弦AB的长；〔2〕判断∠ACB是否为定值，假设是，求出∠ACB的大小；否那么，请说明理由〔3〕记△ABC的面积为S，假设＝4，求△ABC的周长.CPDCPDOBAE5.〔2023广东湛江10分〕如图，点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．〔1〕求证：AD平分∠BAC；〔2〕假设BE=2，BD=4，求⊙O的半径．【答案】〔1〕证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC。又∵AC⊥BC，∴OD∥AC。∴∠2=∠3。∵OA=OD，∴∠1=∠3。∴∠1=∠2。∴AD平分∠BAC。〔2〕解：∵BC与圆相切于点D，∴BD2=BE•BA。∵BE=2，BD=4，∴BA=8。∴AE=AB﹣BE=6。∴⊙O的半径为3。【考点】切线的性质，平行的性质，切割线定理。【分析】〔1〕先连接OD，杂而OD⊥BC和AC⊥BC，再由其平行从而得证；〔2〕利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径那么可求出。【没有学习切割线定理的可连接DE，证△ABD∽△DBE，得AB：BD=BD：BE求得AB=8，···】1.〔2023广东省6分〕如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为〔－4，0〕，⊙P的半径为2，将⊙P沿轴向右平移4个单位长度得⊙P1．〔1〕画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；〔2〕设⊙P1与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积〔结果保存π〕．【答案】解：〔1〕画出⊙P1如下：⊙P与⊙P1外切。〔2〕劣弧AB与弦AB围成的图形的面积为：【考点】图形的平移，圆与圆的位置关系，圆和三角形的面积。【分析】〔1〕将⊙P沿轴向右平移4个单位长度得⊙P1后，两圆圆心距与两圆半径之和相等，故⊙P与⊙P1外切。〔2〕劣弧AB与弦AB围成的图形的面积实际等于圆的四分之一面积减去∆OAB的面积，这样根据条件即易求出。2.〔2023佛山6分〕如图，AB是O的弦，半径，，求△AOB的面积。【答案】解：如图，作OC⊥AB于点C。那么有。【考点】垂径定理，解直角三角形。【分析】作弦心距，由垂径定理，可利用解直角三角形求出△AOB的底和高，从而求出面积3.〔茂名8分〕如图，⊙P与轴相切于坐标原点O〔0，0〕，与轴相交于点A〔5，0〕，过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．〔1〕AC=3，求点B的坐标；〔2〕假设AC=a，D是OB的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O1，函数的图象经过点O1，求的值〔用含的代数式表示〕．【答案】解：〔1〕连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，，在Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB，∴Rt△AOC∽Rt△ABO。。〔2〕点O、P、C、D四点在同一个圆上。理由如下：连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点，∴。∴∠3=∠4。又∵OP=CP，∴∠1=∠2。∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°∴PC⊥CD。又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形。∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等。∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上。由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点，圆心。由〔1〕知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB=。在Rt△ABO中，，，∴，∵点O1在函数的图象上，∴。∴。【考点】相似三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数解析式，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，圆周角定理。【分析】〔1〕连接OC，根据OA是⊙P的直径，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求证Rt△AOC∽Rt△ABO，利用其对应变成比例求得OB即可。〔2〕连接CP、CD、DP，根据OC⊥AB，D为OB上的中点，可得，求证Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，可得PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点，圆心，由〔1〕知：Rt△AOC∽Rt△ABO，可得，求得：AB、OD即可。4.〔清远8分〕如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB＝∠C．BBOACDE求证：OC∥BD；假设AO＝5，AD＝8，求线段CE的长．【答案】解：〔1〕∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90º。∵AC与⊙O相切，∴∠CAB＝90º。∵∠DAB＝∠C，∴∠AOC＝∠B。∴OC∥BD。〔2〕∵AO＝5，∴AB＝10。又∵AD＝8，∴BD＝6。∵O为AB的中点，OC∥BD，∴OE＝3。∵∠DAB＝∠C，∠AOC＝∠B，∴△AOC∽△DBA。∴eq\f(CO,AB)＝eq\f(AO,DB)。∴eq\f(CO,10)＝eq\f(5,6)。∴CO＝eq\f(25,3)。∴CE＝CO－OE＝eq\f(25,3)－3＝eq\f(16,3)【考点】直径所对的圆周角性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】〔1〕根据直径所对的圆周角是直角的性质和三角形内角和定理可得∠AOC＝∠B，再根据同位角相等两直线平行的判定，证得OC∥BD。〔2〕要求CE，只要求出CO和OE即可。一方面OC∥BD，AO=OB，OE是∆ABD的中位线，根据三角形中位线定理OE=BD，而由应用勾股定理可求BD。另一方面由于△AOC∽△DBA，由相似三角形对应边的比相等可求。5.〔深圳8分〕如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE.〔1〕求证：AE是⊙O的直径；图1图2〔2〕如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长图1图2为4，求阴影局部面积之和.(保存与根号)【答案】解：〔1〕证明：如图，连接AB、BC，∵点C是劣弧AB上的中点，∴。∴CA＝CB。又∵CD＝CA，∴CB＝CD＝CA。∴在△ABD中，CB=AD。∴∠ABD＝90°。∴∠ABE＝90°。∴AE是⊙O的直径。(2)如图，由〔1〕可知，AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°。∵⊙O的半径为5，AC＝4，∴AE＝10，⊙O的面积为25π。在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：CE=∴∴【考点】直角三角形的判定，直径与圆周角的关系，勾股定理。【分析】〔1〕要证AE是⊙O的直径，只要证AE所对的圆周角是直角即可。故作辅助线连接AB、BC，由的点C为劣弧AB的中点和CA=CD即易证得。(2)求阴影局部面积之和，只要求⊙O的面积减去△ACE的面积即可。6.〔湛江12分〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．〔1〕求证：直线BD与⊙O相切；〔2〕假设AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．【答案】解：〔1〕证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO。又∵∠A+∠CDB=90°，∴∠ADO+∠CDB=90°。∴∠ODB=180°﹣〔∠ADO+∠CDB〕=90°。∴BD⊥OD。∴BD是⊙O切线。〔2〕连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90°。又∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C。∴DE∥BC。又∵D是AC中点，∴AD=CD。∴AD：CD=AE：BE。∴AE=BE。∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB。∴AD：AE=AC：AB。∴AC：AB=4：5。设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，∴BC：AB=3：5。∵BC=6，∴AB=10。∴AE=AB=10。【考点】切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理。【分析】〔1〕连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD。〔2〕连接DE，证得∠ADE=90°，∠ADE=∠C，而得DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，而求得。7.〔肇庆10分〕：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD。〔1〕求证：∠DAC=∠DBA〔2〕求证：P是线段AF的中点〔3〕假设⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值。【答案】解：〔1〕证：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA。∵∠DAC与∠CBD都是弧DC所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD。∴∠DAC=∠DBA。〔2〕∵AB是直径，∴∠DAC=900。又∵DF⊥AB，∴∠DEB=900。∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=900。∴∠ADE=∠ABD=∠DAP。∴PD=PA。又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=900，且∠DAC=∠ADE，∴∠PDF=∠DFA=∠DFP。∴PD=PF。∴PA=PF。即P是线段AF的中点。〔3〕∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA，∴△FDA∽△ADB。∴。∴在△ADB中，。即tan∠ABF=。【考点】同弧所对的圆周角性质，直径所对的圆周角性质，三角形内角和定理，等量代换，相似三角形的判定和性质。【分析】〔1〕利用同弧所对的圆周角相等的性质和角平分线定义可证。〔2〕利用直径所对的圆周角是直角的性质和三角形内角和定理，经过等量代换可证。〔3〕利用相似三角形的判定和性质可求。6.〔深圳2023年8分〕如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．〔1〕求证：BD是⊙O的切线．〔2〕假设点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积．【答案】解：〔1〕证明：连接BO，∵AB=AO，BO=AO，∴AB＝AD＝AO。∴△ABO为等边三角形。∴∠BAO=∠ABO=60°。∵AB=AD，∴∠D=∠ABD。又∠D+∠ABD=∠BAO=60°，∴∠ABD=30°。∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO。又∵BO是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线。〔2〕∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF。∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°。在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴。又∵＝8，∴。【考点】等边三角形的判定和性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质。【分析】〔1〕由等边三角形的判定和性质、三角形外角定理和等腰三角形的性质判断△DOB是直角三角形，那么∠OBD=90°，BD是⊙O的切线。〔2〕同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解。10〔深圳2023年8分〕如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE.〔1〕求证：AE是⊙O的直径；图1图2〔2〕如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长图1图2为4，求阴影局部面积之和.(保存与根号)【答案】解：〔1〕证明：如图，连接AB、BC，∵点C是劣弧AB上的中点，∴。∴CA＝CB。又∵CD＝CA，∴CB＝CD＝CA。∴在△ABD中，CB=AD。∴∠ABD＝90°。∴∠ABE＝90°。∴AE是⊙O的直径。(2)如图，由〔1〕可知，AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°。∵⊙O的半径为5，AC＝4，∴AE＝10，⊙O的面积为25π。在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：CE=∴∴【考点】直角三角形的判定，直径与圆周角的关系，勾股定理。【分析】〔1〕要证AE是⊙O的直径，只要证AE所对的圆周角是直角即可。故作辅助线连接AB、BC，由的点C为劣弧AB的中点和CA=CD即易证得。(2)求阴影局部面积之和，只要求⊙O的面积减去△ACE的面积即可。11.〔2023广东深圳9分〕如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b(b≥0)的位置随b的不同取值而变化．(1)⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．当b=时，直线：y=－2x＋b(b≥0)经过圆心M：当b=时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：(2)假设把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B〔6，0〕、C(6，2).设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，【答案】解：〔1〕10；。〔2〕由A(2，0)、B〔6，0〕、C(6，2)，根据矩形的性质，得D〔2，2〕。如图，当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D〔2，2〕时，b=6；当直线经过B〔6，0〕时，b=12；当直线经过C(6，2)时，b=14。当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。当4＜