概率论与数理统计-统计量及其分布

概率论与数理统计—统计量及其分布汇报人：AA2024-01-19BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目录CONTENTS统计量基本概念抽样分布理论参数估计方法假设检验原理及应用方差分析与回归分析初步非参数统计方法简介BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01统计量基本概念统计量定义与性质统计量定义统计量是样本空间上的实值函数，不依赖于任何未知参数，仅通过样本观测值计算得出。统计量性质统计量应具有代表性、无偏性、一致性和充分性等性质，以保证基于统计量进行的推断是合理和可靠的。01020304样本均值样本均值是样本观测值的算术平均数，用于估计总体均值。样本方差样本方差是样本观测值与样本均值之差的平方的平均数，用于估计总体方差。样本协方差样本协方差是描述两个随机变量线性相关程度的统计量，用于估计总体协方差。样本相关系数样本相关系数是描述两个随机变量之间线性相关强度和方向的统计量，用于估计总体相关系数。常见统计量类型通过计算样本均值、方差等统计量，对数据进行初步的描述和概括。描述性统计分析推断性统计分析多元统计分析非参数统计分析基于样本统计量对总体参数进行推断，如假设检验和置信区间估计等。利用多个统计量对多个变量之间的关系进行分析，如回归分析、主成分分析等。在不假定总体分布形式的情况下，利用统计量对数据进行分析，如非参数检验和非参数回归等。统计量在数据分析中应用BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02抽样分布理论抽样方法从总体中随机抽取一部分样本进行观察和分析的方法，包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。抽样分布概念由样本统计量所构成的分布，描述了样本统计量在多次重复抽样下的分布情况。抽样方法与抽样分布概念单个正态总体的抽样分布当总体服从正态分布时，样本均值服从正态分布，样本方差服从卡方分布。两个正态总体的抽样分布当两个总体分别服从正态分布时，样本均值之差服从正态分布，样本方差之比服从F分布。正态总体下抽样分布定理当样本量足够大时，根据中心极限定理，样本均值的分布近似于正态分布。大样本情况下的抽样分布当样本量较小时，非正态总体的抽样分布可能呈现出偏态或峰态等特征，此时需要采用适当的统计方法进行推断。小样本情况下的抽样分布非正态总体下抽样分布简介BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03参数估计方法VS点估计是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计的结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。评价标准点估计的评价标准包括无偏性、有效性和一致性。无偏性是指估计量的期望值等于被估计的总体参数；有效性是指对于同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小方差的估计量更有效；一致性是指随着样本量的增加，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。点估计原理点估计原理及评价标准区间估计方法及置信水平选择区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差得到。根据样本统计量的抽样分布可以对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。区间估计方法置信水平是指总体参数值落在样本统计量某一区间内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计量与总体参数之间所构造的区间。置信区间的选择通常取决于研究者的经验和实际需求，常见的置信水平有90%、95%和99%。置信水平选择最大似然估计法是一种具有理论性的点估计法，此方法的基本思想是：当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。首先构造似然函数，然后求导并令导数等于0，解得似然方程，最后求出参数的最大似然估计值。需要注意的是，在使用最大似然估计法时，需要满足一定的前提条件，例如样本量要足够大等。最大似然估计法原理最大似然估计法步骤最大似然估计法介绍BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04假设检验原理及应用作出决策根据检验统计量的值和拒绝域，作出是否拒绝原假设的决策。计算检验统计量的值根据样本数据计算检验统计量的值。确定拒绝域根据显著性水平$alpha$和检验统计量的分布，确定拒绝域。建立假设根据实际问题，提出原假设$H_0$和备择假设$H_1$。选择检验统计量根据假设选择合适的检验统计量，并确定其分布。假设检验基本思想和步骤单侧检验只关注参数的一侧，如只关注均值是否大于或小于某个值。双侧检验关注参数的两侧，如关注均值是否等于某个值。区别与联系单侧检验和双侧检验的区别在于关注参数的方向不同，但都是基于假设检验的原理进行决策。在实际应用中，应根据具体问题选择合适的检验类型。单侧检验和双侧检验比较医学领域检验某个经济政策是否对经济增长有显著影响。经济领域工程领域社会学领域01020403比较不同社会群体的收入、教育水平等是否有显著差异。比较两种药物的疗效是否有显著差异。检验新材料的性能是否满足要求。假设检验在实际问题中应用举例BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05方差分析与回归分析初步方差分析原理方差分析是一种通过比较不同组别数据的方差来推断总体均值是否存在显著差异的统计方法。它基于组内差异与组间差异的比较，判断因素对结果的影响是否显著。方差分析步骤包括建立假设、构造检验统计量、确定显著性水平、计算检验统计量的值、作出统计决策等。方差分析原理及步骤多元线性回归模型建立多元线性回归模型用于描述因变量与多个自变量之间的线性关系。建立模型时，需要确定自变量和因变量，选择合适的模型形式，并通过最小二乘法等方法估计模型参数。要点一要点二多元线性回归模型检验模型建立后，需要进行拟合优度检验、方程显著性检验、变量显著性检验等，以评估模型的拟合效果和变量的解释力度。多元线性回归模型建立与检验逻辑回归模型定义逻辑回归是一种广义的线性模型，用于解决二分类问题。它通过引入逻辑函数，将线性回归模型的输出转换为概率值，从而实现分类任务。逻辑回归模型应用逻辑回归模型广泛应用于医学、金融、社会学等领域，如疾病预测、信用评分、市场调研等。它具有简单易懂、计算高效等优点，在实际问题中具有良好的应用效果。逻辑回归模型简介BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06非参数统计方法简介无需假设总体分布非参数统计方法无需对总体分布做出假设，因此适用范围更广。稳健性强由于不依赖于总体分布的具体形式，非参数统计方法对异常值和离群点具有较强的稳健性。适用于小样本在样本量较小的情况下，非参数统计方法通常比参数统计方法更为有效。非参数统计方法特点和优势卡方检验是一种基于观测频数与期望频数之间差异的显著性检验方法。通过计算卡方统计量，可以评估观测数据与理论分布之间的差异程度。原理卡方检验常用于分类数据的独立性检验和拟合优度检验。例如，在医学研究中，可以用于评估某种疾病与基因型之间的关联性；在市场调查中，可以用于检验产品属性与消费者偏好之间的独立性。应用场景卡方检验原理及应用场景计算步骤首先，将两组数据分别按照从小到大的顺序排列，并求出每个数据的秩；然后，计算两组数据秩的差值并求平方；最后，将所有平方差求和并除以样本量减一，得到Spearman秩相关系数。