随机过程读书笔记

《应用随机过程》读书笔记早期的概率论和分析是两个截然不同的领域.1933年，Kolmogorov建立了概率论公理基础，这标志着概率论成为一个严密的分支.此后学者们更感兴趣于用概率方法来解决分析问题.于是上世纪40到50年代间，随机分析学迅速发展成为一门新的学科，被誉为“随机王国中的牛顿定律”.随机分析学的理论受到了众多领域专家、学者的研究和关注。它的发展是迅速的，也是巨大的，其应用领域越来越广泛，紧密联系着数学的各个分支，也是近代概率论中最活跃的分支之一。随着其内容的不断丰富，随机分析己被广泛应用于点过程、估计理论等理论分支。在放假期间，我看了《应用随机过程》第六章---鞅的内容。鞅是一类特殊的随机过程，鞅的初始概念是源于公平竞争的思想，也就是在竞争中付出与所期望的收入相匹配。直观地讲，在公平竞争中我们无法凭空创造则富。鞅仅描述现在所拥有的价值，离散时间鞅仅仅是对过程有个大致的描述，而连续时间鞅则是对招个过程的一个综合把握，可以细致而紧凑地研究过程的走向。下面就简单介绍一下鞅的基本概念及其相关性质。定义1随机过程｛x,n>0｝称为关于｛y,n>0｝的下鞅，如果对nnn>0,X时(Y，…,Y)的函数，EX+vs，并且E(XIY，…,Y)>X，这里TOC\o"1-5"\h\zn 0 n n n+10 n nX+=max｛0,X｝。我们称过程｛x,n>0｝为关于｛y,n>0｝的上鞅，如果对n n n nn>0,X是(Y，…,Y)的函数，EX-vs，并且E(XIY，…,Y)<X，这里n 0 n n n+10 n nX一=max｛0,-X｝。若｛x,n>0｝兼为关于｛y,n>0｝的下鞅与上鞅，则称n n n n之为关于｛y,n>0｝的鞅。n根据鞅的定义，我们可以直接推出以下命题：适应列｛x,F,n>0｝是下鞅当且仅当｛-X,F,n>0｝是上鞅。nn nn如果｛x,F｝，｛y,F｝是两个下鞅，a,b是两个正常数，则nn nn｛aX+bY,F｝是下鞅。nnn(3)如果｛X,F｝， ｛Y,F｝是两个下鞅(或上鞅)，则nn nn｛max(X,Y),F｝或｛min(X,Y),F｝是下鞅(上鞅)。nnn nnn下面以一个例子加以说明：考虑一个公平博弈的问题，设X,X…12独立同分布，分布函数为P｛x二1｝=P｛x=—1｝=丄，于是，可以将ii2X(i二1,2,…)看做一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1元，i出现反面就输1元。假设我们按以下的规则来赌博，每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博即停。令W表示第n次赌n博后所输(或赢)的总钱数，W二0，无论如何，只要赢了就停止赌0博，从而W从赢了之后起就不再变化，于是有P｛w=11W=1｝=1。假n n+1 n设前n次投出的硬币都出现了反面，按照规定，我们已经输了+2+4+•••+2n-1二2n-1(元)，即W=—(2n—1)，假如下一次硬币出现的n是正面，按规定W二2n—(2n—1)二1，由公平的前提知道n+1P二11W=—(2n—1)｝=丄，P =—2n—2n+11W=—(2"—1)｝=1，易证n+1 n 2 n+1 n 2E(WIF)=W，这里F二b(X，…,X)，从而｛w｝是关于｛f｝的鞅。n+1n n n 1 n n n鞅的停时定理1(停时)设｛x,n>0｝是一随机变量序列，称随机函数T是关n于｛X,n>0｝的停时，如果T在｛0丄2,…,^｝中取值，而且对每个n>0，n{t=n}ec(X,X，…,X)。0 1 n(鞅停时定理)设M,M,M，…是一个关于{f=b(X,X，…,X)}0 1 2 n 0 1 n的鞅，T是停时且满足：P{t<a}=1；E(|M』<g；limE(IMI)二0；n”I"{T>/则有 EM二EMT01939年法国概率学家Levy第一次提出鞅，并作了理论的奠基工作。随着K.ito对brown运动的随机积分理论的发展，30年代末至50年代初，Levy和美国概率学家Doob就创立了鞅论，并且由Doob将其发扬光大.1953年，Doob在其名著StochasticProcesses中首次系统地介绍了鞅论及其应用成果，这部历史性专著促使鞅成为随机过程理论的一个独立分支.突飞猛进的研究成果使其在理论和应用上的重要性也日益凸显.Doob极大不等式定理设{z,Z，…,Z}是一个鞅，M=max{Z|,…,|Z}。TOC\o"1-5"\h\z0 1 n n 0 n对VX>0，P{M>X}<1E(IZ11 )/(|Z」)；n X n{M>X} Xn如果E(Z2)<g，则对VX>0，nP{m>九}<丄E(Z21 )<，n X2 n{M>X} X2n并且 E(M2)<4E(Z2)nn一致可积性定义1假设有一列随机变量X,X，…,称它们是一直可积的，如12果对Vs>0，存在6>0，使得对任意A,当P(A)<§时，E(|xI)<£对nAVn成立。因为一致可积的条件比较难验证，下面给出两个一致可积的充分条件。1假设X,X，…是一列随机变量，并且存在常数C5，使得12E(X2)<C对所有的n成立，则此序列是一致可积的。n2设｛m｝是关于｛F｝的鞅。如果存在一个非负随机变量Y,满足nnE(Y)<g，且M|<Y，对Vn成立，则｛m｝是一致可积鞅。n n鞅收敛定理定理(鞅收敛定理)设M,M，…是关于X,X，…的鞅，并且存在0101常数C<g使得E(|M|)<C对任意n成立，则当nTa时，｛m｝收敛到n n一个随机变量Ma根据上面的定理，我们可以得出以下结论：如果｛m｝是关于nX，X，…的一致可积鞅，贝UlimM存在，记为M，并且EM二EM•0 1 n a a 0nTa生活举例1设X是一个赌徒n次抛掷公平硬币后的财产，如果硬币正n面朝上，则赌徒赢得1美元，硬币反面朝上，则赌徒输掉1美元。已知历史上所拥有的财产，且下一次试验后赌徒财产的条件期望与其现在的财产相等，故这一随机过程是鞅。这个例子称为赌徒谬误。令Y=X2n,其中X是上例中赌徒的财产，则随机过nn n程｛Yn:n=1,2,3,...｝是鞅。这一例子可以表明赌徒的全n部收益或损失大致在抛掷次数的正负平方根之间变化。(棣莫弗鞅)设抛掷的是有偏硬币(或称为不公平硬币)，正面向上的概率为p,反面向上的概率为q二1-P。令X仇+i=Xn±1

正面情况用“+”，反面情况用“-”。令匚=■：■；.；<■■■<则｛Y:n=1,2,3,...｝是关於｛X:n=1,2,3,...｝的nn鞅。证明如下：S[K+i| =p(q/p)Xn+1+q｛q/p)Xn~r=p^/p)^/p)Xn+q»/q)(q/p产=q(MXn+p(q/p)Xn=(q/p)Xn=K服从正态分布mn-:(波利亚罐子模型)一个罐子中最初装有r个红球和b个蓝球。某人随机取出一个球，然后将此球与另一个与此球颜色相同的球放回罐子中。令X为重复上述步骤n次后罐子中的红球数，令y=nnX/(n+r+b)o这时随机过程｛y:n=1,2,3,...｝是鞅。nn(统计学中的似然比检验)某一总体可能是按照概率密度f分布，也可能是按照概率密度g分布。从总体中取出一个随机样本，数据为X.,x。令Y为“似然比”：1nny_TTg(X)(上式在应用中用作检验统计量。)若总体实际上是按照概率密度f而不是g分布，则｛Yn:n=1,2,3,...｝是关n于｛X:n=1,2,3,...｝的鞅。n设每一变形虫不是以概率p分裂成两个变形虫，就是以概率1p最终死亡。令X为n代后变形虫的存活数目（若种群在某一时n刻灭绝，则这一时刻的X=0）。令r为最终灭绝的概率。（找出r关n于p的函数在实际应用中是非常有用的。提示：已知最初的一个变形虫已经分裂了，则这个变形虫的后代最终灭绝的概率等於其分裂直接得到的两个后代中任何一个死亡的概率。）则｛rV1:^=1,2,3,...｝是关于｛X：n=1,2,3,...的鞅。n当前靴论及随机积分理论己广泛应用于金融系统、随机微分方程、估计理