空间向量的应用 课件3

第一章1.4.3空间向量的应用1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点利用空间向量求空间角思考1

空间角包括哪些角？问题导学

答案线线角、线面角、二面角.思考2求解空间角常用的方法有哪些？答案传统方法和向量法.梳理空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为a，b，且a与b的夹角为φ，两条直线所成角为θ，则cosθ＝____________.(3)二面角的求法：①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.③先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.类型一求两条异面直线所成的角题型探究

解建立如图所示的空间直角坐标系，在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别.反思与感悟跟踪训练1

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，类型二求直线和平面所成的角解建立如图所示的空间直角坐标系，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角.用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.反思与感悟跟踪训练2

如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.解由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).类型三求二面角例3

在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.解方法一如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.反思与感悟解如图所示建立空间直角坐标系，当堂训练

12345D1234512345解析取AC的中点为E，连接BE，则BE⊥AC，建立如图所示的空间直角坐标系，∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE⊂平面ABC，

∴BE⊥平面AA1C1C，123451234512345设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，

12345令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以n＝(2，－2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，

答案A123454.正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为_______.解析取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系，

123451234512345解析建立如图所示的空间直角坐标系，12345所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.答案30°规律与方法(2)利用法向量求二面角的余弦值的步骤：第一步，求两