人教版初中数学中考一轮复习（教师版）第8讲 圆-尖子班

第8讲圆

知识点1圆的有关性质

1.基本性质

①圆心角的度数和它所对弧的度数相等；

②同圆或等圆的半径相等；

③圆既是轴对称图形（无数条对称轴），又是中心对称图形，具有旋转不变性；

④圆内接四边形的对角互补.

2.圆心角、弧、弦之间的关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么他们所对

应的其余各组量也分别相等.

3.圆周角

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是90°,90。的圆周角所对的弦是直径；

推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

注意：等弧指的是能互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧.

【典例】

例1（2020秋•滨海新区期中）如图，是。。的直径，点”是半圆上一个三等分点，点

5是新的中点，点8是点8关于的对称点，。。的半径为1,则的长等于（）

A.1B.V2C.V3D.2

【解答】解：连接08、OB',

•.•点4是半圆上一个三等分点，

AZAON=60°,

:点8是前的中点，

:.NBON=30°,

,/点夕是点B关于MN的对称点，

：.ZB'ON=3Q",

AZAOB'=90°,

:.AB'=Vl2+l2=V2,

故选：B.

【方法总结】

本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两

条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键.

例2（2020秋•高新区期中）如图，为。。的直径，C,。为圆上的两点，OC//BD,弦

AD,8c相交于点E.

（1）求证：市:=前;

(2)若CE=2,EB=6,求。。的半径.

【解答】(1)证明：

：,/OBC=/OCB,

•：OC〃BD,

：・/OCB=/CBD,

：,/OBC=/CBD,

：.AC=CD；

(2)连接4C,

VC£=2,£8=6,

:・BC=8,

•・•衣=CD,

：.ZCAD=ZABC,

*/NACB=NACB,

：.△ACEsdBCA,

ACCBAC8

/.—=—,即—=—,

CEAC2AC

解得，AC=29

是直径，

AZACB=90°,

：.AB=y]AC2+BC2=4>/5,

・・・。。的半径为2V5.

【方法总结】

本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的性质求出AC

的长是解题的关键.

【随堂练习】

1.(2020秋•青田县期末)如图，在。。中，AB=CD.求证：AD=BC.

：.AB=CD,

：.AB-BD=CD-BD,即丽=元，

：.AD=BC.

2.(2021•研口区模拟)如图，。。中的弦与CQ相交于点E.求证:

(1)AC=BD,

(2)CE=BE.

【解答】证明：(1)

：.AB=CD,

即砧+前=AD+AC,

：.AC=BD,

：.AC^BD-,

(2)'：AC=BD,

：.ZADC=NDAB,

***EA=ED,

•：AB=CD,

即AE+BE=CE+DE,

：.CE=BE.

知识点2垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

【典例】

例1(2019秋•温州月考)如图，是。。直径，弦CDL4B于点E,过点C作08的垂线,

交的延长线于点G,垂足为点尸，连结ZC.

(1)求证：AC=CG；

(2)若CD=8,OG=W,求。。的半径.

【解答】(1)证明："：DFVCG,CDVAB,

：.4DEB=4BFG=90°,

,:NDBE=NGBF,

：.ZD=ZG,

'：ZA=ZD,

：.N/=/G,

:.AC=CG.

(2)解：设。。的半径为r.贝iJ/G=O/+OG=rH0,

=CG,CDLAB,

：.AE=EG=-^,EC=ED=4,

10-r

：.OE=AE-OA=^-

在RgOEC中，U：OC2=OE2+EC2,

c10—ro°

：.t2=(------)2+42,

2

一10+4历fT。一4历

解得，=―3一或'----------（舍弃）,

3

【方法总结】

本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

例2（2020•东莞市一模）如图，在中，半径为5,弦月8=6,点C在Z8上移动，连接

OC,则OC的最小值为（）

【解答】解：连接04,过点。作于".

•：OHLAB,

：.AH=HB=3,NAHO=90°,

'：OA=5,

：.OH=>JOA2-AH2=V52-32=4,

根据垂线段最短可知OC的最小值=4,

故选：B.

【方法总结】

本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三

角形解决问题.

【随堂练习】

1.（2020•海淀区校级模拟）如图，已知。。的半径为6,弦48,CD所对的圆心角分别是

ZAOB,NCOD,若N/O8与NCOZ）互补，弦CZ>=6,则弦的长为（）

【解答】解：作于点E,

；。。的半径为6,弦8=6,

：.OC=OD=CD,

.♦.△■DOC是等边三角形，

AZ£)OC=60°,

N/O8与/CO。互补，

408=120°,

•：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=30Q,

"：OA=6,OELAB,

：.AE=OA•cos30Q=6x孚=3同

:.AB=2AE=6色,

故选：D.

D

2.（2020•河北模拟）如图所示，在。。中，/B为弦，交于点。.且。D=OC.尸

为。。上任意一点，连接口，PB,若。。的半径为1,则的最大值为（）

【解答】解：连接04如图，

'：OC±AB,

：.AD=BD,

'：OD=DC,

11

：.OD=件=分

：.AD=y/OA2-OD2=坐，AB=2AD=V3.

当点P为N8所对的优弧的中点时，△/尸8的面积最大，此时尸。=尸。+0。=1+寺=|.

：./\APB的面积的最大值为=PD=1xV3x|=^.

LLZ4-

知识点3圆的切线

1.点、直线与圆的位置关系

设。0的半径为r,点P到圆心O的距离为di,圆心O到直线I的距离为d2.

①点P在。。外0r>di;

②点P在OO上or=di;

③点P在。。内or<di;

④直线I和。。相交or<d2；

⑤直线I和。。相切or=d2；

⑥直线I和。。相离=r>cL

2.切线的性质与判定

切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.

推论：①经过圆心且垂直于切线的直径必过切点；

②经过切点且垂直于切线的切线的直线必过圆心.

切线的判定方法：

①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；

②如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线；

③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

常做辅助线：连接圆心和切点.

3.切线长即切线长定理

切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从国外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平

分两条切线的夹角.

【典例】

例I（2020秋•白云区期末）如图，已知Rta/18C中，ZC=90°,N4=30°,AC=6,以

点5为圆心，3为半径作。8,则点C与。8的位置关系是（）

B

*----------------UC

A.点C在08内B.点C在08上C.点C在外D.无法确定

【解答】解：过点C作于。，

•.•□△Z8C中，/C=90°,NN=30°,/C=6,

:.BC=+C=2W,

,：以点B为圆心，3为半径作08,

：.R<d,

.•.点C在。8外.

故选：C.

【方法总结】

题主要考查了点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到点的距离d与圆半径

大小关系完成判定.

例2（2020秋•河东区期末）如图，菱形。18c的顶点4B,C在。。上，过点8作。。

的切线交04的延长线于点D.若00的半径为1,则BD的长为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【解答】解：连接08,

：80是0。的切线，

AZOBD=90°,

•.•四边形0/BC为菱形，

：.OA=AB,

•：OA=OB,

：.OA=OB=AB,

：./\OAB为等边三角形，

ZAOB=60°,

AZ005=30°,

：.OD=2OB=2,

由勾股定理得，BD=y/OD2-OB2=V3,

【方法总结】

本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直

于经过切点的半径是解题的关键.

例3（2020秋•和平区期末）已知00的直径/8=4,C为。。上一点，/C=2.

（2）如图②，过点C作。。的切线"C,过点8作于点。，8。与。O交于点

E,求乙DCE的大小及C。的长.

【解答】解：（1）连接OC,

•.18为。。的直径,AB=2AC,

：.OA=OC=AC,

...△NOC是等边三角形，

.*.N/OC=60°,

1

AZAPC=^AOC=30°；

(2)连接O£,OC,

是0。的切线,

：.MCX-OC,

YBDLMC,

：.ZMCO=ZCDB=90Q,

J.BD//OC,

；.NB=N/OC=60°,

"：OB=OE,

...△EO8是等边三角形，

:./EOB=60°,

AZCO£=180°-NEOB-N40c=60°,

'：OC=OE,

...△OCE是等边三角形，

：.CE=OC=2,ZEOC=60°,

NDCE=90°-ZECO=30°,

在Rt^COE中，CE=2,

：.DE=#E=1,

：.CD=VCE2-DE2=V22-l2=V3.

【方法总结】

本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，正确的

作出辅助线是解题的关键.

例4(2020秋•集贤县期末)如图，在中，AB=AC,/A4c=54°,以N8为直径的

OO分别交/C、BC于点、D、E,过点8作直线3E交/C的延长线于点尺

(1)求证：BE=CE；

(2)若NB=6,求弧OE的长；

(3)当NF的度数是多少时，8F与。。相切，证明你的结论.

【解答】(1)证明：连接ZE,如图，

为。。的直径，

AZJE5=90°,

：.AELBC,

"：AB=AC,

:.BE=CE；

(2)解：'：AB=AC,AEA.BC,

；./£1平分N8/C,

ZCAE=^ZBAC=1x54°=27。，

：.4DOE=2NCAE=2X27°=54°,

弧DE的长==白口；

(3)解：当/F的度数是36°时，8尸与。。相切.

理由如下：'：ZBAC=54°,

...当N尸=36°时，N4BF=90°,

:.AB工BF,

:.BF为OO的切线.

【方法总结】

本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也

考查了圆周角定理.

【随堂练习】

1.(2020秋•永年区期末)若点B(a,0)在以4(1,0)为圆心，2为半径的圆内，则a

的取值范围为()

A.a<-1B.a>3C.-1<a<3D.心-1且aWO

【解答】解：•••点8(a,0)在以点/(1,0)为圆心，以2为半径的圆内，

：.\a-1|<2,

-l<a<3.

故选：C.

2.(2020秋•绥棱县期末)如图，是。。的直径，切。。于点C,若NBCD=25°,

【解答】解：连接0C,如图,

•••8切。。于点C,

：.OCLCD,

：.ZOCD=90°,

...NOCB=90°-ZBCD=900-25°=65°,

'：OB=OC,

；.NB=NOCB=65°.

故选：B.

3.(2020秋•新抚区期末)如图，是OO的直径，点C为。。上一点，C方为。。的切线,

于点0,分别交4C,CF于D,尸两点.

(1)求证：ED=EC；

(2)若EC=1,ZA=30°,求图中阴影部分的面积.

【解答】(1)证明：连接OC,如图所示:

；C厂为OO的切线，

：.OCLCE,

：.ZOCA+ZACE=90°,

•：OELAB,

：.ZOAC+ZODA=90°,

•：OA=OCf

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZACE=ZODA=NCDE,

:,ED=EC：

(2)解：VZA=30°,N/OZ)=90°,

AZADO=ZCDE=ZACE=60°,

：.ZCED=60°,Z£OC=30°,

VZOCE=90°,

OC=C£*tan60°=lxV3=V3,

...图中阴影部分的面积=SACOE-s^COD=ixocxCE-30X2户2=§一工

ZooUZ4

4.(2020秋•金昌期末)已知：如图，△ABC中，AB=AC,以Z8为直径的。。交8C于点

P,PZ)_L4C于点D

(1)求证：。。是OO的切线；

(2)若/。5=120。,AB=6,求5c的值.

：・NB=NC,

•：OP=OB,

：.4B=/OPB,

：・/OPB=/C,

：.OP//AC.

9：PD.LAC,

：.OPLPD,

・・・PD是OO的切线;

(2)解：连结/P,如图,

'：AB为直径,

AZAPB=90°,

:.BP=CP,

'：ZCAB=\20a,

:.NBAP=60°,

在R/8N尸中，AB=6,Z5=30°,

1

：.AP=^AB=3,

：.BP=遮AP=35

:.BC=2BP=6®

C

知识点4三角形的外心与内心

1.确定圆的条件

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

反证法：不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛

盾，由矛盾断定所作的假设不正确，从而得到原命题题成立，这种判定方法叫做反证法.

2.三角形的外心

外心：三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心.如图：

性质：外心到三角形三个顶点的距离相等.

3.三角形的内心

内心：三角形三个内角的平分线的交点，即内切圆的圆心.如图：

性质:内心到三角形三边的距离相等.

拓展：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.

【典例】

例1（2020秋•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，△/SC三个顶点的坐标分别是点

4（-3,0）、点8（-1,2）、点C（3,2）,则△/8C的外心的坐标是（）

A.(0,-1)B.(0,0)C.(1,-1)D.(1,-2)

【解答】解：•••点尸到三个顶点距离相等,

...点P是线段8C、的垂直平分线的交点，

由图可知，点尸的坐标为（1,-2）,

故选：D.

【方法总结】

本题考查的是三角形外心的概念及线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上

的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

例2（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为从

人及，则下列结论不正确的是（)

A.h=R+rB.R=2rC.r=$D.R—苧”

【解答】解：如图，••,△Z5C是等边三角形，

的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O,

设0£=尸，AO=R,AD=h,

：.h=R+rf故力正确；

•；AD工BC,

11

/.ZDAC=^ZBAC=Jx60°=30°,

在RtZXAOE中，

：.R=2r,故8正确；

•：OD=OE=r,

♦：AB=AC=BC=a,

•\AE=44C=%,

:.(-a)2+J=(2r)2,(工Q)2+(-/?)2=R2,

222

R=g~a,故。错误，Q正确；

o3

故选：c.

【方法总结】

本题考查了等边三角形及它的内切圆和外接圆的关系，等边三角形的内心与外心重合，

是三条角平分线的交点；由等腰三角形三线合一的特殊性得出30°角和60°,利用直角

三角形30°的性质或三角函数得出R、八〃的关系.

【随堂练习】

1.（2020•道外区三模）如图，△A8C内接于O。，AB=AC,直径4D交8c于点E,若。£

=1,cosZ5JC=则弦8c的长为2遍.

【解答】解：内接于。。，AB=AC,

：.AB=AC,

•.7。是。。的直径，

：.BE=CE,ADA.BC,

过8作于尸，连接5£),

2

VcosZ5/1C=可，

故设4尸=2%，AB=3x,

••AC--3x,

：.CF=x,

:.BF=>/AB2-AF2=V5x,

・

••ftanN/rC—-B-^F-p_=7r5p,

,/ZZ)=ZC,

・・・ftanN/八D=_=v/5c,

•；DE=1,

:.BE=V5,

:.BC=2®

故答案为：2病.

2.（2020•济宁）如图，在△/BC中，点。为△NBC的内心，NZ=60°,8=2,80=4.则

△O8C的面积是（）

【解答】解：过点5作的延长线于点4.

:点。为△NBC的内心，/N=60°,

11

:.NDBC+NDCB=W(NABC+N4CB)=1(180°-//),

11

:.NBDC=90°+#4=90。+方X60。=120°,

则N8O，=60°,

\'BD=4,

：.DH=2,BH=2翼,

'：CD=2,

：./\DBC的面积=^CD'BH=1x2x2^3=273,

故选：B.

知识点5与圆有关的计算

1.多边形与圆

在正n变形中，Rn为正n边形的半径，有下列关系：

①边长：an=2Rnsin—;②周长：Pn=nan；

③边心距：rn=Rn-cos邛;④面积：Sn=|an-Rn-n;

⑤内角度数：S-2\8o。；⑥外角度数：湾；

⑦中心角度数：字

2.弧长与扇形的面积

若一条弧所对的圆心角是n°,半径是R,弧长1=詈.

loO

若一个扇形的圆心角是n°,半径是R,弧长为I,则S扇形=喏=；|R.

3602

拓展：S弓形=S扇形士SA.

3.圆锥的侧面积与全面积

若一个圆锥的底面半径为r,母线长为a,则S全=$侧+S底=口向+m2.

【典例】

例1(202()•姑苏区一模)如图，扇形0/8中，408=90°,以/。为直径作半圆，若

4。=1,则阴影部分的周长为()

A.ITB.Tc+1C.2ir+lD.2ir+2

【解答】解：•・•扇形048中，ZAOB=90°,力0=1,

...阴影部分的周长=iXTT+当架+1=TT+1,

ZloU

故选：B.

【方法总结】

本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键.

例2（2020•吴江区一模）如图/、8、C在。。上，连接04、08、OC,若NBOC=3NAOB,

劣弧/C的度数是120。，OC=2娼.则图中阴影部分的面积是（）

A.n-|V3B.2TT-V3C.3IT-2V3D.4TT-3A/3

【解答】解：设08与4C相交于点E,如图.

•.•劣弧4c的度数是120。,

AZAOC=\20°,

'：OA=OC,

：.ZOCA^ZOAC^30°.

•：NCOB=3NAOB,劣弧4C的度数是120。，

AZAOC=ZAOB+3ZAOB=120°,

408=30°,

J.ZCOB^ZAOC-ZAOB=90a,

在RtZ^OCE中，0C=2®

fo

：.OE=OC-tanZOCE=2V3•tan30°=2>/3=2,

/.S^OEC=2x2X2>/3=2>/3,

.0_907rx（2店）2

..S扇形OBC-360—3n，

:・S阴影=S品形OBC-SAOEC=3N-2>/3.

故选：C.

【方法总结】

本题考查了扇形面积的计算，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转

化为几个规则几何图形的面积的和或差.

【随堂练习】

1.（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，扇形的圆心角为90°,半径OC=4,N/OC=30°,

87r_

CDLOB于点D,则阴影部分的面积是一-2次.

3-

【解答】解：•：ZAOB=90°,ZAOC=30°,

：.ZBCO=90°-30°=60°,

,:CDLOB,

：.ZCDO=90Q,

AZOC£>=30°,

.•.OD=：OC=2,CD=OC-cos30°=28，

2

:.Syj=S扇形OCB-S4OCD=—2x2X2V3=等—2A/3.

。UjU乙J

87r-

故答案为-2V3.

2.（2020•益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角N/O8=90°,测得砒

的长为36cm,则ADB的长为12cm.

法一：,.NCB的长为36cm,

.八.180x36

・・OA—

2707r

9071-OA907r180X36

则砺的长为:=-----X=12(cm)；

1801802707r

法二：；近方与而B所对应的圆心角度数的比值为270°：90°=3：1,

.•.祝5与而5的弧长之比为3：1,

...而5的弧长为36+3=12（cm）,

故答案为：12.

综合运用

1.（2020•资中县一模）已知。。中最长的弦长8。"?，则。。的半径是（）

A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm

【解答】解：中最长的弦为8c/n,即直径为8。"，

的半径为4cm.

故选：B.

2.（2020秋•定西期末）在平面直角坐标系xQy中，若点尸（4,3）在。。内，则。。的半

径，•的取值范围是（）

A.0<r<4B.3<r<4C.4<r<5D.r>5

【解答】解：,:氤P（4,3）,

：.PO=V42+32=5,

:点P在OO内，

：.r>OP,即r>5,

故选：D.

3.（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，一张扇形纸片04C,ZAOC=120°,04=8,连

327r

接ZB,BC,AC,若。/=力丛则图中阴影部分的面积为丁（结果保留n）.