小学五年级下册数学《奥数》知识点讲解第6课 不定方程解应用题 试题附答案

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例1有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，

分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.

这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的

数字是什么？

例2采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670

元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的

（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和

10元的钞票张数也恰好相反.向购A物几个，B砌几个？

例3现有3米长和5米长钢管各6根，安装31米长的管道，问怎样接用最省料?

例455人去游园划船，小船每只坐4人，大船每只坐7人，问要租大、小船各多

少只？

例5王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西

红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问他每种各买了多少包？

例6100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐

问大、申、小马各多少？

答案

例1有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，

分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.

这样反复几次后，三人各自记荥的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的

数字是什么？

分析设三张牌为x、v、z（x〉y>z）.再设共发牌确（每轮发3张）.记作x+y

+z=So

n,S=13+15+23=51。

由于门口5都是整数，51=3乂17.只有"3,S=17.现在转变为不定方程：x

〉y〉z宜10〉x\y〉z》l的条件下：

x+y+z=17

求整数解。

12

由于x、y,z均为整数，其最大整数x〉gX17=5+$</PGN0187.TXT/PGN

即x>6.x可能值为6、7、8、9。

第一种情况，x=6〉y〉z,而y+z=l7-6=11,而此时y+z最多为5+4.所以x卢

6。

第二种情况，x=7〉y〉z,y+z=17-7=10,只有尸6,z=4.但是丙三次牌数

字和为23,而23显然不可能表示为｛7,6,4｝中任意三个（可以重复的，下

同）数之和。

第二种情况x=7亦被排除。

第三种情况，x=8〉y〉z,y+z=17-8=9,（y,z）可能情况有（7,

2）；（6,3）；（5,4）o

而13（甲三次牌数字和）不能表示为｛8,7,2｝中任意三个数之和，23

不能表示为｛8,6,3｝和｛8,5,4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。

第四种情况，x=9>y>z,y+z=17-9=8,观察知y=5,z=3.（可排除｛9,

711｝和｛9,6,2｝.）

第一次第二次第三次行和

甲55313

乙33915

丙99523

列和17171751

综上所述，三张牌为3、5、9。

例2采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670

元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的

（10元的不超过9弓g）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和

10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B物几个？

解：设购A种物x个，购B种物为x+y个，并设第一次购物找回r张100元，s

张10元,则

xX590+（x+y）X670+rX100+sX10=10000（1）

’（x+y）X590+XX670+SX100+rX10=10000（2）

这是4个未知数，2个方程的不定方程组.解方程时，方程变形的一些法则

（方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程两边同时加或减一个

数，方程不变）仍适用.先将Q）（2）两边约去10,得

59x+67x+67y+10r+s=1000（3）

59x+59y+67x+10s+r=1000（4）

由于（3）（4）式的右边都等于1000,因此它们相等，整理后得8y+9r-

9s=0,

再在方程两边同时加上9s-9r,得：

8y=9（s-r）（5）

由于遇大于。的整数，所以ST也是整数〉0。

因此8I9•（srr）,9I8y0

=

应有Fy9*0k,,k为大于。的整数。

但是s是10元钱的张数，S<9,r是100元钱的张数，所以k=l,因此产9,

SF=8.显然s=9,r=lo

代回（回式:得到x=3。

彷%x=3,三+厂3+9=12,r=l,s=9.采购员购A物3件，B物12件，找回1

张100元,9张10元。

这两个例题己综合地体现了不定方程的“风味

例3现有3米长和5米长钢管各6根，安装31米长的管道，问怎样接用最省科？

解：设3米长用x根，5米长用y根，列成不定方程：

3x+5尸31.分两种思路求解

31-5y31-3x

x-3y=5

首先y46,y=6,5,4,首先x410,x=10,9，…，1,3,

2,1,0,jU0

变形x=10-",变形y=6一2?又—1，

5

试y值，使5y-l是3;管子各6根，.二x=6,0.

1>)

的倍数，:

,=：，，;，但每种|只有x=2,早为整数。

(y=2,[x=7,5

管子各有6根

所以有唯一解：x=2,尸5.1所以有唯一解：x=2,y=5。

答：用3米长的2根，5米长的5根。

用同余的知识解不定方程时，可以表达得简明清楚些。

例455人去游园划船，小船每只坐4人，大船每只坐7人，问要租大、小船各多

少只？

解：列不定方程，设大船x只，小船y只。

7x+4行55。

变形，解出y=归产，因此K7,且

55-7x—0(mod4)；

因此7x—55(mod4)=3(rood4),

但7三3(mod4),所以x三1(mod4),

因此x=l,或x=5。

所以有x=l,y=12以及x=5,y=5两组解。

例5王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西

红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问他每种各买了多少包？

解：设买油菜籽x包，西红柿种子泡，则萝卜籽(100-xp)包，列

不定方程：3x+4y+1QQ+^+y)=100,求整数解，两边同乘以7,得21x+

28yi-100-x-7=700,也即20x+27y=600。

600-27y

解出

20

因此y<22.由于600=0(mod20),所以27了三0(mod20)；但(27,

20)=1,所以(rood20)。

因此y=20,x=3,100-x-7=77o

答：购油菜籽3包，西红柿种子20包，萝卜籽77包。

例6100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐.

问大、中、小马各多少？

解：设大、中、小马的匹数依次为x、y、z,由题意，列不定方程为：

x+y+z=100,

<z

3x+2y+g=100o

由第一个方程得z=100-x-y,代入第二个方程，并变形，有x=四爱•，

因此y<33.由于51100,所以513y.y=0,5,10,…，30.相应地可以得到x和

z.但(3,5)=1,所以51y.因此把结果列出:

中马数y：051015202530

大马数X:20171411852

小马数z：80787674727068

以上讲了6个例子，解不定方程(组)的一般思路和步骤都体现在其中了.

这讲介绍的是最基本的整系数整式不定方程求整数解.总之，它要调用解方程

时的常用的方程变形公共原则，又时时巧用未知数是整数这一“约定当然

还有许多其他技巧.至于其他形式的不定方程，如x2+y2=25；奇质数p,

1+1=2的整数解，留作以后再探索。

xyp

习题六

1.小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”小强说：“我养的兔比鸡多，鸡

兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”

2.李明带6元钱到花店买花.如果月季花1元钱一盆，茉莉花8角钱一盆，要

把6元钱刚好用完.问能买月季花和茉莉花各多少盆？

3.甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不

同的铅套共多少支？

4.李大伯下山去小商店买东西.下午1时离开家，先走了一段山路，来到山

脚下，又走了一段平路，到了小商店.半小时后，他离开商店沿原路返回家，

下午3虏幸到家.已知平地每本前走4千来，上山每小时走3千来，下山每小虏走

6千米.请问：李大伯去商店买东西走了多少千米的路？

5.大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各

要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？

五年级奥数下册：第六讲不定