浙大版概率与数理统计

浙大版概率与数理统计汇报人：AA2024-01-19目录contents概率论基本概念一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念与方法方差分析与回归分析初步随机过程初步知识概率论基本概念01样本空间与事件事件必然事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。包含样本空间中所有样本点的事件。样本空间基本事件不可能事件所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。只包含一个样本点的事件。不包含任何样本点的事件。概率定义及性质概率定义在给定条件下，某一事件A发生的可能性大小，记为P(A)。概率性质非负性、规范性（必然事件的概率为1）、可加性（互斥事件的概率和）。在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。条件概率与独立性事件的独立性条件概率全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对任意一个事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。贝叶斯公式在全概率公式的条件下，可以进一步求得事件Bi已发生的条件下事件A发生的概率，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(A)。全概率公式与贝叶斯公式一维随机变量及其分布02设随机试验的样本空间为S，若对于任意实数x，集合{ω|X(ω)≤x}都是一个随机事件，则称定义在样本空间S上的实值函数X(ω)为随机变量。定义根据随机变量可能取值的性质不同，可分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。分类随机变量定义及分类0102030-1分布随机变量X只可能取0和1两个值，且P{X=1}=p,P{X=0}=1-p，其中0<p<1。二项分布在n次独立重复的伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率服从二项分布，记为B(n,p)。泊松分布设随机变量X所有可能取值为0,1,2,...，且P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，k=0,1,2,...，其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布。离散型随机变量分布律均匀分布指数分布正态分布连续型随机变量概率密度若连续型随机变量X具有概率密度f(x)=1/(b-a)，a≤x≤b，则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。若连续型随机变量X具有概率密度f(x)=λe^(-λx)，x>0，其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的指数分布。若连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=(1/√(2πσ^2))e^[-(x-μ)^2/(2σ^2)]，x∈R，其中μ和σ^2为常数，且σ>0，则称X服从参数为μ和σ^2的正态分布。随机变量函数分布设X是一个离散型随机变量，其分布律为P{X=x_k}=p_k，k=1,2,...。若Y=g(X)是X的函数，则Y也是一个离散型随机变量，其分布律可以通过X的分布律求得。离散型随机变量函数的分布设X是一个连续型随机变量，其概率密度为f_X(x)，若Y=g(X)是X的连续函数，且g(x)在X的取值范围内单调可导，则Y也是一个连续型随机变量，其概率密度可以通过X的概率密度和函数g(x)求得。连续型随机变量函数的分布多维随机变量及其分布03联合分布函数描述多维随机变量取值情况的函数，表示所有随机变量同时取某组值的概率。联合分布律离散型多维随机变量的联合分布律，通过概率质量函数表示。联合概率密度连续型多维随机变量的联合分布，通过概率密度函数表示。多维随机变量联合分布03条件概率密度函数连续型多维随机变量在给定条件下，剩余随机变量的概率密度函数。01边缘分布从多维随机变量的联合分布中，提取出某一维随机变量的分布。02条件分布在多维随机变量中，已知部分随机变量的取值，求其他随机变量的分布。边缘分布与条件分布变换法通过多维随机变量的函数关系，求新随机变量的分布。特征函数法利用特征函数求解多维随机变量函数的分布。卷积公式针对两个独立随机变量之和的分布求解方法。多维随机变量函数分布相关系数衡量多维随机变量之间线性相关程度的统计量。协方差与相关系数的关系协方差反映多维随机变量之间的总体误差，相关系数是协方差的标准化形式，消除了量纲的影响。独立性多维随机变量中各分量相互独立，一个分量的取值不影响其他分量的取值。独立性及相关性数理统计基本概念与方法04研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。总体从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本样本中包含的个体数目，通常用n表示。样本容量总体与样本概念介绍统计量样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。要点一要点二统计量的性质包括无偏性、有效性和一致性等，用于评价统计量的优劣。统计量及其性质点估计用一个具体的数值来估计总体参数的方法，如样本均值估计总体均值。区间估计根据样本信息构造一个置信区间，以一定概率包含总体参数的真值。参数估计方法VS先对总体参数提出一个假设，然后根据样本信息判断假设是否成立。假设检验步骤包括建立假设、选择检验统计量、确定拒绝域、计算p值和作出决策等步骤。假设检验原理假设检验原理及步骤方差分析与回归分析初步05方差分析基本原理通过比较不同组别间方差的大小，判断各因素对结果的影响是否显著。方差分析的应用场景适用于多个总体均值是否相等的假设检验问题，如医学、农业、工业等领域的实验数据分析。方差分析的前提条件各总体应服从正态分布，且各组内的观察值相互独立，具有相同的方差。方差分析原理及应用030201回归分析基本原理通过建立自变量与因变量之间的回归方程，描述两者之间的依存关系，并用于预测和控制。回归分析的应用场景适用于研究变量间相关关系的问题，如经济学中的需求与价格关系、医学中的疾病与危险因素关系等。回归分析的分类根据自变量的个数可分为一元回归和多元回归；根据因变量的类型可分为线性回归和非线性回归。回归分析原理及应用线性回归模型的检验包括模型的拟合优度检验（如R方值）、参数的显著性检验（如t检验和F检验）以及模型的稳定性检验等。线性回归模型的预测利用建立的模型对新的自变量数据进行预测，得到相应的因变量估计值。线性回归模型的建立通过最小二乘法等方法估计模型参数，建立自变量与因变量之间的线性关系式。线性回归模型建立与检验非线性回归模型的概念当自变量与因变量之间呈现非线性关系时，需要采用非线性回归模型进行拟合。非线性回归模型的建立通过选择合适的非线性函数形式，采用迭代算法等方法估计模型参数。非线性回归模型的检验与线性回归模型类似，需要进行模型的拟合优度检验、参数的显著性检验以及模型的稳定性检验等。非线性回归模型简介随机过程初步知识06随机过程是一族随时间变化的随机变量，用于描述随机现象的动态演变。根据随机过程的性质，可将其分为平稳过程、马尔可夫过程、鞅过程等。随机过程的定义随机过程的分类随机过程定义及分类马尔可夫链基本概念对于马尔可夫链，若存在某一状态，使得从其他任意状态出发，经过足够长的时间后均可达到该状态，则称该状态为平稳分布或极限分布。平稳分布与极限分布马尔可夫链是一种特殊的随机过程，具有“无后效性”，即未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。马尔可夫链定义描述从一个状态转移到另一个状态的概率，通常表示为转移概率矩阵。马尔可夫链的转移概率平稳过程是一类特殊的随机过程，其统计特性不随时间变化。具体来说，若一个随机过程的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称该过程为平稳过程。平稳过程的定义遍历性定理是平稳过程的一个重要性质，它指出平稳过程的时间平均与空间平均在概率意义下相等。这一性质在信号处理、控制系统等领域具有广泛应用。遍历性定理平稳过程与遍历性定理时间序列的定义时间序列是指按时间顺序排列的一组数据，通常用于描述某个随机变量随时间变化的情况。时间序列