中考数学章节考点分类突破：第34章-概率初步(含解析)

（最新最全）2019年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）

三十四章概率初步

34.1随机事件与概率

（2018山东省聊城，3,3分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）

A.必然事件B.随机事件C.确定事件D.不可能事件

解析：抛一枚均匀硬币，落地后有可能正面朝上、也有可能反面朝上.

答案：B

点评：必然事件与不可能事件属于确定事件，事先可以确定是否发生；而随机事件事先无法预料能否发生.

（2018四川省资阳市，2,3分）下列事件为必然事件的是

A.小王参加本次数学考试，成绩是150分

B.某射击运动员射靶一次，正中靶心

C.打开电视机，CCTV第一.套节目正在播放新闻D.口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，

其中必有红球

【解析】必然事件是指一定会发生的事件，A是随机事件，B是随机事件，C是随机事件，D是必然事件.

【答案】D

【点评】本题考查了必然事件和随机事件的概念.要注意必然事件和随机事件属于可能事件，还有一类是不可

能事件.难度较小.

（2018江苏泰州市，5,3分）有两个事件，事件A：367人中至少有两人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰

子，朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是

A.事件A、B都是随机事件

B.事件A、B都是必然事件

C.事件A是随机事件，事件B是必然事件

D.事件A是必然事件，事件B是随机事件

【解析】必然事件是一定会发生的事件，A是必然事件，事件B是随机事件

【答案】D

【点评】本题考查了必然事件和随机事件的概念.要注意必然事件和随机事件属于可能事件，还有一类是不可

能事件.

（2019年四川省德阳市，第8题、3分.）下列事件中，属于确定事件的个数是

⑴打开电视，正在播广告；

⑵投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10；

⑶射击运动员射击一次，命中10环；

⑷在一个只装有红球的袋中摸出白球.

A.0B.1C.2D.3

【解析】（D和（3）都是不确定事件；（2）是一定会发生的，（4）是一定不会发生的；所以（2）和（4）是确

定事件。

【答案】C.

【点评】必然事件和不可能事件统称为确定事件。确定事件就是100%会发生的事件。而随机事件是指有一定几

率发生，但不一定发生的事件

（2018湖南湘潭，6,3分）“湘潭是我家，爱护靠大家”.自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自

觉遵守交通规则.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通

信号灯，他在路口遇到红灯的概率为工，遇到黄灯的概率为！，那么他遇到绿灯的概率为

39

【解析】遇到绿灯的概率为1一！一,=9。

399

【答案】选答

【点评】此题考查概率的概念。所有情况的概率只和为1,用1减去其它情况的概率就是遇到绿灯的概率。

（2018湖南益阳，12,4分）有长度分别为2cm,3cm,4cm,7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概

率是.

【解析】以2cm,3cm,4cm,7cm四条线段能组成三角形的情况只有一种：2cm,3cm,4cm

而2cm,3cm,4cm,7cm四条线段共有4种可能结果，根据概率定义得P（A）=,

4

【答案】-

4

【点评】主要考查以2cm,3cm,4cm,7cm四条线段能组成三角形的情况有几种，这是关键；其次是概率的定义：

P（A）=Un,共有几种可能的结果，此题和高中的组合知识有点关联，具有承上启下之功效。

m

（2018贵州铜仁，16,4分一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外

没有任何区别，从中任意摸出一个球，则摸到黑球的概率为；

31

【解析】口袋中共有6+9+3=18个球，而黑球有3个,所以根据概率的计算公式，可得尸（摸到黑球”一-一=-.

6+9+36

【解答】7-

6

【点评】此题考查了概率公式。如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种

结果，那么事件A的概率P（A）=-

n

34.2用列举法求概率

（2018安徽，8,4分）给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（）

解析：第1个打电话给甲、乙、丙（因为次序是任意的）的可能性是相同的，所以第一个打电话给甲的概率是1.

解答：故选B.

点评：概率的计算一般是利用树状图或列表把所有等可能性的情况列出，然后再计算某一事件的概率.其关键是

找出所有的等可能性的结果，本题不要受“打电话次序是任意的”影响，而排列打电话的顺序，把问题复杂化.

（2018浙江丽水3分，6题）分别写有数字0,-1,-2,1,3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任

抽一张，那么抽到负数的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

5555

3

【解析】：五张卡片中，有2张卡片是负数，故P（抽到负数）

5

【答案】：C

【点评】：等可能性事件的概率的计算公式：P（A）=Kn,其中m是总的结果数，n是该事件成立包含的结果

m

数.

（2018山东省临沂市，6,3分）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从

中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）

113

A.-B.-C.-D.1

424

【解析】•••四张完全相同的卡片中只有圆和菱形是中心对称图形，.•.共4种等可能的结果，所以产生卡片上的图

形是中心对称图形的概率是2+4='.

2

【答案】B

【点评】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

（2018山东泰安，15,3分）一个不透明的布袋中有分别标着数字1、2、3、4的四个乒乓球，现从袋中随机摸

出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

63231234

【解析】可用列表或画树状图的方法求概率，共有9种情况，之和大于5有3种情况，所以,1\345

3123\54

P（和大于5）=-=-«

93345\7

【答案】B.4567\

【点评】列表和画树状图是求概率常用的方法需掌握，注意本题是摸出球不放回问题。

5.（2018山东泰安，5,3分）从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率为（）

311

A.0B.-C.—D.一

424

【解析】根据在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180。，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这

个图形就叫做中心对称图形，四张卡片中只有第四张为中心对称图形，所以任取一张是中心对称图形的概率是

]_

4'

【答案】D

【点评】轴对称图形、中心对称图形是历年来各地必考的考点，判定图形是否是中心对称图形，实质就是看图

形能否绕某一点旋转180度后与本身重合，若重合，则是；否则不是中心对称图形.

4.（2018连云港，3,3分）向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同）,

假设沙包击中每一个小正三角形是等可能的，扔沙包一次，击中阴影区域的概率等于

【解析】只要找出图中阴影部分的面积占整个图形面积的比即可；

【答案】击中阴影区域的概率为9=3,答案为C。

168

【点评】本题用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

9.（2018浙江省义乌市，9,3分）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语,

三名只会翻译英语,还有一名两种语言都会翻译.若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言

的概率是（）

【解析】所有可能性为：（阿拉伯，英语1）（阿拉伯，英语2）（阿拉伯，英语3）（阿拉伯，阿拉伯英语）

（英语1,英语2）（英语1,英语3）（英语1,阿拉伯语英语）；（英语2,英语3）（英语2,阿拉伯语英

7

语）（英语3,阿拉伯语英语），该组能够翻译上述两种语言的概率是历

【答案】B

【点评】此题考查概率的计算，可用列表法或树状图列出所有可能的结果，然后得出结论.

16.（2018山东省聊城，16,3分）我市初中毕业男生体育测试成绩有四项，其中“立定跳远”“100米跑”“肺

活量测试”为必测项目，另一项为“引体向上”和“推铅球”中选择一项测试.小亮、小明和大刚从“引体向上”

和“推铅球”中选择同一个项目的概率是.

解析：首先分别用A,B代表“引体向上”与“推铅球”，然后根据题意画树状图，继而求得所有等可能的结果

与小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的情况，利用概率公式即可求得答案.

解：分别用A,B代表“引体向上”与“推铅球”，画树状图得：

•••共有8种等可能的结果，小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的有2种情

况，

•••小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是：-

4

开始

AB

/\/\

ABAB

AAAA

ABABABAB

点评：此题考查了树状图法求概率的知识.注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步

或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

13.（2018江苏盐城，13,3分）小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上，他第二次再抛这枚硬币时，

正面向上的概率是.

【解析】本题考查了概率的定义及计算方法.掌握求概率的公式是关键.求解时只要分清事件发生的可能结果，

运用概率的定义即得.

【答案】第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是

2

【点评】本题考查简单事件概率计算.一般地，如果某个试验共有n种可能出现结果，某种事件A包含的结果共

有m种，那么事件A发生概率P（A）=-（OWP（A）W1）.这是新课标新增内容.

n

13.（2018四川省南充市，13,4分）如图，把一个圆形转盘按1:2:3:4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，

自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为.

(第13题国)

__2

解析:：因为圆被等分成10份，其中B区域占2份，所以落在B区域的概率=0.2.

10

答案：0.2

点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将各部分面积的比例，转化为待求区域的面积在总面积中

占的比例，即得到该事件发生的概率。

12.(2018福州，12,4分，)一个袋子中装有3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随

机摸出一个球，则摸到红球的概率为.

解析：一共5个球，随机摸出一个球，其中每个球出现的概率相等，均为有3个红球，故摸到红球的概率

5

J-3

为一x3=-o

55

3

答案：-

5

点评：本题设计以摸球的模型，让学生感受不确定事件中事件的发生可能性及考查学生求概率的基本方法，难

度较小。

(2018江苏泰州市，21,本题满分8分)小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、

1条为棕色.小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上.请用画树状图的方法列出所有可能出现的结果，并求小明

穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率.

【解析】分2步实验列举出所有情况即可；看小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的情况数占总情况数的多少即

可.总情况6种，小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色占2种，所以小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率是,.

3

【答案】!

【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题

的易错点.

(2018连云港，21,10分)现有5根小木棒，长度分别为：2,3,4,5,7(单位：cm),从中任意取出3根。

(1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况；

(2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率。

【解析】不要遗漏或重复可能的情况，只有较小的两条线段的和〉最大的线段的三条线段才能组成三角形

【答案】(1)选的3根小木棒的所有可能情况有所有取出的可能是(2,3,4)(2,3,5)(2,3,7)(.3,4,5)

(3,4,7)(4,5,2)(4,5,7)(5,7,2)(5,7,3)(5,7,2)共10种情况。

(2)由三角形三边关系可知只有(3,4,5)(2,3,4)(4,5,2)(4,5,7)(5,7,3)这5种能构成三角形

所以能构成三角形的概率是2='。

102

【点评】确定三角形的三条边时，可以先确定其中的两条，再确定第三条，按照三边从小到大的顺序来确定.注

意要做到不重不漏，主要检验是否满足三边关系定理确定能否组成三角形.

(2018四川成都，23,4分)有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,1,2,3的卡片，它们除数字不同外

其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为。，则使关于x的一元二次

方程x2-2(。-\)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-(a2+l)x-a+2

的图象不续可点(1,0)的概率是.

解析：”方程有两个不相等的是实数根”等价于“△>()”，于是可得到关于a的不等式，解不等式可求出a的取

值范围结合上面的卡片上的数字，可求出a的可能的值为“0,1,2,3”；然后用“且以x为自变

量的二次函数y=Y-(〃+1口一。+2的图象不经过点(1,0)”进行排除，即可得到a的可能值为“0,2,3”，

3

最后再计算其所占概率等于二。

7

3

答案：填一

7

点评：本题考查了概率计算、一元二次方程的根的情况的相关知识、函数的相关知识，是一道综合题，其思维

能力要求较高。属于一道难度较大的题目。

(2018浙江省绍兴，13,5分)箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱

子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是上」.

【解析】由袋子中装有2个红球和2个白球，第一个人随机摸出一个球后，剩下3个球，第二个人摸出红球且

第三个人摸出白球的概是

3

【答案】-

3

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种

结果，那么事件A的概率P(A)号.

(2018四川内江，15,5分)如图7所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意

放置点C,恰好能使aABC的面积为1的概率是.

【解析】根据三角形面积公式可知，欲使aABC的面积为1,且顶点C也在网格格点上，那么，此三角形的

底边、高的值应该分别为2、1或五、丘,结合题目所给图形，可以找到全部符合条件的点.如图所示：

图形中有36个格点，其中有8个可以使△ABC的面积为1,所以P(^ABC的面积为1)=—=-

369

【答案】-

9

【点评】以网格为背景，将三角形与概率知识综合考查，意蕴丰富.简易概率求法公式：P(A)=竺，其

n

中OWP(A)W1.此题容易漏解，或者选取了不在网格格点上的点作为点C造成错解.

(2018山东省荷泽市，12,3)口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色1号、红色2号、黄色1号、黄色2

号、黄色3号的5个小球，从中摸出两球，这两球都是红色的概率是

【解析】由于是从口袋中摸两个球，用表格或树状图来表示事件所有发生的可能

红色1号红色2号黄色1号黄色2号黄色3号

红色1号红1,红2红1,黄1红1,黄2红1,黄3

红色2号红2,红1红2,黄1红2,黄2红2,黄3

黄色1号黄1,红1黄1,红2黄1,黄2黄1,黄3

黄色2号黄2,红1黄2,红2黄2,黄1黄2,黄3

黄色3号黄3,红1黄3,红2黄3,黄1黄3,黄2

共20种情况，其中两次都是红球有2种，所以概率为P(两个都是红球)

【点评】】本题考查了简单随机事件的概率.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的

可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(4)="，对于两次或两次以上的随机事件,

N

采用树状图或列表的方式来表示所有可能的情况.

(2018湖南湘潭，23,8分)节约能源，从我做起.为响应长株潭“两型社会”建设要求，小李决定将家里的4

只白炽灯全部换成节能灯.商场有功率为1Ow和5w两种型号的节能灯若干个可供选择.

(1)列出选购4只节能灯的所有可能方案，并求出买到的节能灯都为同一型号的概率；

(2)若要求选购的4只节能灯的总功率不超过30卬，求买到两种型号的节能灯数量相等的概率.

【解析】用树状图或列表找出所有可能方案，直接看出买到的节能灯都为同一型号的概率为上2，买到两种型号

5

的节能灯数量相等的是2只10W和2只5W的，总功率不超过30w,其概率为

5

【答案】

4只

(1)选购4只节能灯的所有可能方案：4只5W；1只10W和3只5W；2只5W和2只10W；3只10W和1只5W；

4只10W。买到的节能灯都为同一型号的概率为三2。

5

(2)买到两种型号的节能灯数量相等的是2只10W和2只5W的，总功率不超过30w,其概率为

【点评】本题考查了等能事件概率求法，在解题要注意把所有可能结果都列出。如果一个事件有n种可能，而

且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率Pa)中.

从大量的等可能事件的结果中求任一事件发生的概率是计算概率的基本题型之一，也是中考考查的重要内容之

一.在计算概率时，关键是确定所有可能的结果数和可能出现的结果数，一定要把所有存在的情况找到，且每种

情况结果出现的可能性相等，再用某个事件的可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数。

21.（2018广州市，21,12分）甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片

上所标的数值分别为-7,—1,3,乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为-2,1,6.先从甲袋中随机取出一张卡

片，用x表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上标的数值，把X、

y分别作为点A的横坐标、纵坐标。

（1）用适当的方法写出点A（x,y）的所有情况；

（2）求点A落在第三象限的概率。

【解析】用列举法（包括画表格或画树状图）求等可能事件的概率是中考必考的内容之一，而本题将概率与点

的坐标，考查的知识综合性强，作为试卷的中档题确实不错.

【答案】解：（D用列表法：

-7-13

-2(-7,-1)(-1,-2)(3,—2)

1(-7,1)(-1,1)(3,1)

6(-7,6)(—1,6)(3,6)

可知，点A共有9种情况。

（2）由1知点A的坐标共有9种等可能的情况，点A落在第三象限（事件A）共有（一7,—1）、（-1,-2）

2

2种情况。所以P（A）=-„

9

【点评】本题易错点，一是在列举时，会将所有等可能的结果遗漏导致计算出错；二是在点的坐标的处理上对

横纵坐标表示有误；三是解题时不太规范而丢分..

（2018江苏盐城，21,8分）现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字T"、“2”，“3”,

第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回，第二次再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字，

请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的

概率.

【解析】本题考查了概率的概念及意义.掌握概率的计算方法是关键.由于是放回再抽，所以第一次抽到某张

卡片后，第二次都有三种情况，所以共有9种等可能的结果.然后看看第二次抽取的数字大于第一次抽取的数

字有多少种，就可以求出概率了.

【答案】树状图如图列表如下:

3|

取的数字有3种，所以P（第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字有多少种）=

93

【点评】为了找出所有等可能的结果，通常所用的方法是列表法、画树状图法或枚举法。本题主要考查利用树

状图列出所有等可能的结果，再求出概率，这里要注意分清两次是“有放回”还是“无放回

（2018四川省南充市，16,6分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4,随机地

摸取一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：

（1）两次取得小球的标号相同；

（2）两次取得小球的标号的和等于4.

解析：(1)根据题意画出数形图，两次取的小球的标号相同的情况有4种，再计算概率；

(2)先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概

率的概念计算即可.

答案：所有情况如下表所示:

结果1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

或如下图所示:

(1)由上表知，共有16种结果，且每种结果发生的可能性相同.其中两次取出的标号相同的有4次.所以

两次取出的标号相同的概率是二4=上1.

164

(2)由上表知，共有16种结果，且每种结果发生的可能性相同.其中两次取的小球的标号的和等于4的有

3

3次.所以次取的小球的标号的和等于4的概率是二.

16

点评：本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n,再找出某事件所

占有的结果数m,然后利用概率的概念求得这个事件的概率=

n

18.(2018四川省资阳市，18,7分)(本小题满分7分)为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙

设计了如下的一个游戏：口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个，四个球除了颜色或

编号不同外，没有任何别的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛.先甲摸两次，每次摸出一个球;

把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球.如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲

得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则，乙得0分；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重

来

(1)(4分)运用列表或画树状图求甲得1分的概率；

P（甲得1分）=9=!........................................................................................................................4分

122

（2）不公平...................................................................5分

•••P（乙得1分）='............................................................6分

4

・・・P（甲得1分）WP（乙得1分），，不公平......................................7分

【答案】（1）P（甲得1分）=二=g...................................................................................4分

122

（2）不公平...................................................................5分

【点评】当一次试验涉及到两个因素时，用列表法较简便，当一次试验涉及到三个或更多的因素时，用树形图

较简便，本题两种方法均可选用.与摸球有关的概率问题要注意首次摸出的球是否放回对所求概率的影响，而

对于本题中每人摸两次可理解为先摸一次不放回再摸一次.难度较小.

（2018四川成都，19,10分）某校将举办“心怀感恩•孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1000名同

学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图.

（D本次调查抽取的人数为，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上（含

40分钟）的人数为；

（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报.请用树状图或

列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率.

解析：抽查的人数就是各组人数之和，时间在40分钟以上（含40分钟）的人数就是最后两组的人数之和。本题

中，因为事件由两个因素构成，所以，可以用树状图法也可以用列表法，用列表法时，要注意不要出现重

复的情况。

答案：（1）50；16；

（2）列表给出所有可能的结果:

第二人

甲丙

第乙T

甲甲、乙甲、丙甲、丁

乙乙、甲乙、丙乙、丁

丙丙、甲丙、乙丙、丁

丁丁、甲丁、乙丁、丙

共12种；其中恰好抽至।甲、乙两名同学的情况有2种，

所以恰好抽到甲、乙两名同学的概率是上。

6

点评：在本题中，给出了方法“请用树状图或列表法表示出所有可能的结果”，这样能够较好地实现所列情况不

重不漏。列表时，要注意条例性，要工整美观，这样有利于自己后面统计各种情况出现的次数。

22.（2018湖北随州，22,9分）（本小题满分9分）如图所示，一个大正方形地面上，编号为1,2,3,4的

地块，是四个全等的等腰直角三角形空地，中间是小正方形绿色草坪，一名训练有素的跳伞运动员，每次跳伞

都落在大正方形底面上。

（1）求跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率；

（2）求跳伞运动员两次跳伞都落在草坪上的概率。

第22题图

41

解析：（1）将大正方形分成8块等腰直角三角形，则一次跳伞落在草坪上的概率是一即一：（2）由于每次

82

落在8个等腰直角三角形中的可能性是相等的，所以共有64中可能，用树状图可分析出两次跳伞都落在草坪上

的概率。

41

答案：（1）一次跳伞落在草坪上的概率P（一次跳伞落在草坪上）=?=士（将大正方形分成8块等腰直角三

82

角形）

（2）每次跳伞落在8个等腰直角三角形的可能性是相等的，

共有8X8=64个不同结果

其中两次落在草坪上有：

共有4X4=16个不同结果.

所以两次跳伞都落在草坪上的概率为P（两次跳伞都落在草坪上）=土4x二4=上I.

8x84

点评：此题主要考查了概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比.求解概率类问题，关键是要找准两

点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.使用树状图分析时，一定要

做到不重不漏.

34.3游戏的公平性

13.（2018浙江省衢州，13,4分）如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏.游戏时，双方每次任意

出“石头”、“剪刀”、"布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=.

第13题图，

【解析】列举出所有情况，让双方出现相同手势的情况数除以总情况数即为所求的概率.

解：将“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势记作1,2,3,则列表得:

(1,3)（2,3）（3,3）

(1,2)（2,2）（3,2）

(1,1)(2,1)(3,1)

可得共有9种情况，两人出现相同手势的有3种情况，

双方出现相同手势的概率为3.

93

【答案】!

3

【点评】本题考查概率的基本计算，明确概率的意义是解答的关键，情况较少可用列举法求概率，采用列举法

解题的关键是找到所有存在的情况.用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

20.（2018山东德州中考,20,10,）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞

数”.现从1,2,3,4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数.

（1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；

（2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜.你认为这个游戏公

平吗？试说明理由.

20.【解析】（1）画树状图要做到有条理，按部就班，不重不漏.（2）数出所有三位数的个数和其中伞数的个数,

则易求出伞数的比例，再和,比较即可.

2

解：（1）树状图如下：

所有得到的三位数有24个，分别为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,

314,321,324,341,342,412,,413,421,423,431,432....（5分）

（2）这个游戏不公平.......................（6分）

理由如下：组成的三位数中是“伞数”的有：132,142,143,231,241,243,341,342,共有8个，所以，

81

甲胜的概率为—,..............（8分）

243

而乙胜的概率为3=2,这个游戏不公平.......................（io分）

243

【点评】对于两步以上概率的求法主要是列表法和树状图.概率常常结合游戏的公平性进行考查.概率基本是

中考中的必考问题.

20.（2018贵州贵阳，20,10分）在一个不透明的口袋里装有分别标注2、4、6的3个小球（小球除数字

外，其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字6、7、8的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球,

再从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片.

（1）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果；（5分）

（2）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则：

规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢；否则，小莉赢.

规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢.

小红想要在游戏中获胜，她会选择哪一条规则，并说明理由.（5分）

解析：（1）列表（或画树状图）表示出所有可能出现的结果即可；（2）分别求出两种规则下小红获胜的概

率，选择概率较大的规则.

解：（1）列表（或画树状图）如下:

开始

工

678

小球

2(2,6)(2,7)(2,8)

4(4,6)(4,7)(4,8)

(2,6)(2,7)(2,8)(4,6)(4,7)(4,8)(6,6)(6,7)(6,8)

6(6,6)(6,7)(6,8)

（2）规则1：P（小红赢）=5/；规则2：P（小红赢）=4

99

•.•士5〉士4，.•.小红选择规则1.

99

点评：本题考查了枚举法以及概率计算。枚举所有可能出现的结果时，要做到不重不漏，在计算概率时，

关键是确定所有可能的结果数和可能出现的结果数，再用某个事件的可能出现的结果数除以所有可能出现的结

果数，列表法只能解决2个事件的问题,画树状图可以解决2个以上事件的问题.

34.4用频率估计概率

5.（2018贵州贵阳，5,3分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球.

每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸

到黄球的频率稳定在30%,那么可以推算出n大约是（）

A.6B.10C.18D.20

解析：由已知可估计，摸到黄球的概率是30%,所以n=6+30%=20.

解答：选D.

点评：本题考查了频率与概率的关系，以及几何概率的意义.一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件

为n,随机事件A所包含的基本事件数为m,我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，

记作P（A）,即有P（A）=竺.

n

20.（2018浙江省绍兴，20,8分）一分钟投篮测试规定，得6分及以上为合格，得9分及以上为优秀。甲、

乙两组同学的一次测试成绩统计如下：

成绩（分）456789

甲组（人）125214

乙组（人）114522

（1）请你根据上述统计数据，把下面的图和表补充完整:

一分钟投篮测试成绩统计图

第2oas

一分钟投篮测试成绩统计分析表

统计量平均分方差中位数合格率优秀率

甲组▲2.56680.0%26.7%

乙组6.81.76▲86.7%13.3%

第20题表

(2)下面是小明和小聪的一段对话，请你根据(1)中的表，写出两条支持小聪的观点的理由.

/小明：我认为，因为甲组的优秀率高:

乙组，所以甲组的成绩要好于乙组

B小聪：我认为，乙组的成绩要好于甲

【解析】（1）由甲、乙两组同学的一次测试成绩统计表可知：乙组得7分的有5人，得7分的有2人.甲组的

平均分6.8,乙组中位数7.

（2）可以从方差、合格率、中位数等方面来说明，答案不唯一。

【答案】（1）补全统计图（见右图）.

补全分析表：甲组平均分6.8,乙组中位数7.

（2）不唯一.如：甲乙两组平均数一样，乙组的方差低于甲组，说明

乙组成绩比甲组稳定，又乙组合格率比甲组高，所以乙组成绩好于甲组.

【点评】本题考查的是条形统计图和统计表的综合运用.读懂统计图、表，从统计图、表中得到必要的信息是

解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

（2018江苏泰州市，5,3分）有两个事件，事件A：367人中至少有两人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰

子，朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是

A.事件A、B都是随机事件

B.事件A、B都是必然事件

C.事件A是随机事件，事件B是必然事件D.事件A是必然事件，事件B是随机事件

【解析】必然事件是一定会发生的事件，A是必然事件，事件B是随机事件

【答案】D

【点评】本题考查了必然事件和随机事件的概念.要注意必然事件和随机事件属于可能事件，还有一类是不可

能事件.

（2018湖南湘潭，6,3分）“湘潭是我家，爱护靠大家”.自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加

自觉遵守交通规则.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色

交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为J，遇到黄灯的概率为！，那么他遇到绿灯的概率为