2023年全国各类成人高等学校招生考试《高等数学（一）》真题卷一

2023年全国各类成人高等学校招生考试《高等数学(一)》真题卷一

1

jsin—,

x

函数/(I)=«在JT=0处

1.【选择题】0.才=0()

A.连续且可导

B.连续且不可导

C.不连续(江南博哥)

D.不仅可导，导数也连续

正确答案：B

参考解析：【考情点拨】本题考查了函数在一点处的连续性和可导性的知识点.

【应试指导】

四lim/(x)=lirrursin」

八0).所以1做在工=0处连俟1

又因lim♦=lim.......-不存位,唐1以

，一。X-0r-Mx

1=0处不可学.

曲线旷--二匚

2.【选择题】.1—。()

A.没有渐近线

B.仅有水平渐近线

C.仅有铅直渐近线

D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

正确答案：D

参考解析：【考情点拨】本题考查了曲线的渐近线的知识点.

【应试指导】

14.『二

因lim-一J=1,所以y-1为水

平渐近我.

又因lim上士p=8•所以z=0为格直渐近线..

1_「

>■(1+1)(1+27)(1+3］)+。_/冲冰4

3.［选择题］=6,则nil〃的值为()

A.-1

B.1

C.

D.

正确答案：A

参考解析：【考情点拨】本题考查了洛必达法则的知识点.

【应试指导】因为x-0时分母极限为0,只有分子极限也为0,才有可能使分式

极限为6。故

lim[(1+*)(1+21)(1上31)+。[=

弊殍U=-1•

设/(z)=sinrdz,g(jr)=«r3+jJ.当o时/(/)与&(/)是

A.等价无穷小

B.f(x)是比g(x)高阶无穷小

C.f(x)是比g(x)低阶无穷小

D.f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小

正确答案：D

参考解析：【考情点拨】本题考查了两个无穷小量阶的比较的知识点.

【应试指导】

qin(sin'i)•cw

limj三1(等价无穷小代搂)

1、3^+4x

Uc/(x)与是同价但非等价无的小.

/(x2)djr=e9+C,则f(x)

5.【选择题】

C.ei

D.£

正确答案：B

参考解析：【考情点拨】本题考查了已知积分函数求原函数的知识点.

［应试指导］8为八­>)=.所以1")"

1G

6.【选择题】曲线y=ex与其过原点的切线及Y轴所围面积为()

,I1

(e'ex)d.r

AA.J,

()nv-vln.v)dv

D..

I<t".ze')6.i

V■/•，

(In3»-jln>)dv

\j•

正确答案：A

参考解析：【考情点拨】本题考查了曲线围成的面积的知识点

【应试指导】设(xO,yO)为切点，则切线方程为y=

yo=e'o,

.r♦联立

，

得X.,-1.y)=e,所以切线方程为；y=ex.故所求

面积为j*(ez-ejr)dx.

7.［选择题］设函数/(z)=cos.则/'吟)=(

)

A.1

B.0

c."?

D.-1

正确答案：D

参考解析：【考情点拨】本题考查了一元函数在一点处的一阶导数的知识点.

【应试指导】f(x)=cosx,f'(x)=~sinx,

/(£)-sin登-1.

8.【选择题】设丫=6*5111*,贝Iy"'=()

A.cosx,e*

B.sinx•e'

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

正确答案：C

参考解析：【考情点拨】本题考查了莱布尼茨公式的知识点.

【应试指导】由莱布尼茨公式，得

(e^situr)*—(e*)*sinx+3(e*)*(sinjr)，十

3(ex)*(sirLr)*+e'(sirw)”

=e,sinur+3e'co&r+3e'(-sinx)4

eJ(-cosx)

=■(costr-sin_r).

9.【选择题】

若级数Sa”(工一1)"在z=—1处收敛,则此级数在1=2处

■■0()

A.发散

B.条件收敛

C.绝对收敛

D.不能确定

正确答案：C

参考解析：【考情点拨】本题考查了级数的绝对收敛的知识点.

【应试指导】由题意知，级数收敛半径R22,则x=2在收敛域内部，故其为绝对

收敛..

10.【选择题】/㈤"+品2,则/(工)=()

A.exln2

B.e2xln2

C.ex+In2

D.e2x+In2

正确答案：B

参考解析：【考情点拨】本题考查了一阶线性齐次方程的知识点.

【应试指导】

因，(i)=/'(i)，2.即v'=i2v,jfc

为常系4t一阶段a齐次方程・“■林征根为-2.

所以其通解为y=Ce"•又当上-0时，/<0)=

In2.所以C-In2.</(，)-ez,ln2.

注：方程『=»2y求解时也可用变量分工.

11.【填空题】

函数尸(z)=[(2—1)市(n>0)的单调递减区间是—

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】

0<x<

4

【考情点拨】本题考查了函数的单调区间的知识点.

【应试指导】

由F8.J：(2寸)山(工工丝

则F*(x)—2—/：.Q

令/^(x)-0.仔々=••即x=4.

L4

故iiOVivJ时，FG)VO,F(i)单调遑减，

4

12.【填空题】

设广(1)连续，zuL/X/jO+y/Xz+y),则2：=

XoJcoy

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】

y/*(x>)+/(x+y)+yf*(i+y)

【考情点拨】本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点.

【应试指导】

trrrI

y/f(-r+y)•

.一｝/5>•i+:(5)+子/*《a

•1+/《工+W+_y/*(z+y)

=yfJ，(-ry)+/*(x4-y)4-yf"(x-4-y).

13.【填空题】

•rdy,D是圆域.则

设1=J==

D

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】0

【考情点拨】本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点.

【应试指导】用极坐标计算.

I.『ZycLrdy

7

r'cos^»in^•rdr

(4~COY0)•(T-r1)=0.

注；总题也可用对林核束出.由于D为i+炉&

a关于1•A，《/•、)-:iy关于y为

lJ

-4"Alt»ftJxtyd.rd>=0.

r>

14.【填空题】设f(x)=ax3-6ax2+b在区间［-1,2］的最大值为2,最小值为-29,

又知a>0,则a,b的取值为

我的回答：

正确答案：

310

参考解析：【答案】W

【考情点拨】本题考查了函数的最大、最小值的

【应试指导】

，(j)—3(u:-12a.r,fJ(J)R0<

时、=0或,r：=4.而了・$不在；1・2］中♦故

**/(.)■Gar-12a./(0)-12a.因为“

所以/*(0)<0.所以1=0是极值点.

/因/(一】)=—a—6“+〃6—7a./(0)=b,

/(2)-8<i—24a+b=b-16a«

因为a>0,故当*=0时./（工）最大,即6―2：

当x,=-2时・，(i)最小.

所以6-16a-29.即16a2+29-3】，

设曲线？=斗三心,则该曲线的铅直渐近线为

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】X=-1

【考情点拨】本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点.

【应试指导】

\iIHx-rZj|,i十

（1二1）（7+万.则乎V-hjn厂二不存在，

limylimf二，—g.故忸立渐近歧为x=-1.

liLl1+工Z

当户时，级数收敛.

16.【填空题】---------------W1+M

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】>1

【考情点拨】本题考查了利用比较判别法求函数的敛散性的知识点.

【应试指导】

因备〈人雨£十者，>】时

收敛,由比较轲别法如p>1时,£；『J收纥

-Ux_______1_______1_

17.【填空题】'J>?+2z+5”

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】

I.1+I1(

—arctan+(

【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点.

.【应试指导】

，+225”

f1

18.【填空题】

OO

籍级数X(一1)"1下号工”的收敛半径R=

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】1

【考情点拨】本题考查了哥级数的收敛半径的知识点.

【应试指导】

R■»ItmII

・■・Ia—II

19.【填空题】方程y''-2y'+5y=exsin2x的特解可设为y*=_.

我的回答：

正确答案：

参考解析：【答案】xex（Asin2x+Bcos2x）

【考情点拨】本题考查了二元常系数微分方程的特解形式的知识点.

【应试指导】

由转征方税为r1-2，+5=0.痔触

征根为1士2i,而非齐次项为easin2x,因此其特

解应设为,♦=Arexsin2x+HreJcos2jr=

.re'（Asin2/+BCOS2JT）.

------J♦~7dx=

20.【填空题】（】+/）?

我的回答：

正确答案：

1

参考解析：【答案】2

【考情点拨】本题考查了反常积分的知识点.

.【应试指导】

FTTTT?^

N』mj：（?+77^

工则红岛

-%+（一+）I：

•丸㈣。一备卜十♦

21.【解答题】

，A（】一cos2z）

xzx<0,

设/（］）=,，"1=0.

在1=0连续•试确定A.8.

Bsinj--FJcosz2d/

x>0

我的回答：

Bsin-r+cosrf2d/

lim/(x)=lim一-----

IcosHd/

=8+lim-------

一丁・

=B+limCOSJTZ-B+1•

、|.A(1-cos2x)

hmy(x)=hm------；-----

▲.Jr

欲使/(x)在JT=0处连续•应有2A-4-B+

参考解析：1•所以A-2,B3.

22.【解答题】

已知由J/山=jcosrd/+cos9确定y是/的函数,求dy

我的回答："，

等式两边对1求导得・』•》'=COSLT1•2x4

(-!»iny)•2yy',

(xnt，2XCOSJ-1

3+2y-siny

J

Mj2jrcosjr.

HLdy=j■dx.

<r+2ysin，

参考解析:

23.【解答题】求h|n(.r+e»

我的回答:

注：另解如下

由于limlz+e1）!=lime*，*",=e'">",

■r-»0x-M）

又因lim0（三±X）=liml±e_=2,

』x—ojr十e

参考解析：所以原式=e2.

设函数zG,y）由方程F（z+三・y+三）=0所确定,

24.［解答题】证明门翁+，言=”小

我的回答：

参考解析:

所以

=z-xy.

25.【解答题】求方程（y-x2y）y'=x的通解.

我的回答：

参考解析：分离变量得

加=吉业’

两边积分得

12

-2y占&一引耳d(lT)

即4*y2=—T*n11-/1+G・

或y=-in|1-H-C.

26.【解答题】

已知/(工)在［a,切上连续且/(a)=f(6),在(a,6)内，(工)存在，连接A(a,/(a)),

BS,/(/>))两点的直线交曲线》=/(外于C(c,/(c))且aVcV6,试证在(a")内至少有一

点W使得/"(E)=0.

我的回答：

由题意知/(a)=f(h)=/(c),在(a,c)内有一

点7I,使得，5)=0,在(c,6)内有一点Tf>.使

得/(/)=0♦这里a<71VcVaV^.再由罗

参考解析：尔定理,知在(少，牛)内有一点&使得八校=0.

”r版比即,设「”(《4空显-1)&-1，求常数。,4

我的回答：

■l(b-a)lnIxa+|,,,，*