小学奥数题库《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-5星题（含解析）

几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-

5星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

金字塔和沙漏模型C1.能够准确理解金字塔和沙漏模型少考

2.能够用相似模型解决复杂的几何

问题

知识提要

金字塔和沙漏模型

金字塔模晦若端

沙漏模畸噎喑

精选例题

金字塔和沙漏模型

1.正六边形4,4，&，4,小，4的面积是2009平方厘米，Bi，B2,B3IB4IB5I&分别是正六边形各

边的中点.请问下列图中阴影六边形的面积是平方厘米.

【答案】1148

【分析】方法一:如下左图，连接4遇3,4母,4643,过殳做儿小的平行线&E，交&&于

E.因为空白的面积等于面积的6倍，所以关键求△A243G的面积，在△A1A2A3中用燕

尾模型时，需要知道为。,&。的长度比，根据沙漏模型得&D=DE,再根据金字塔模型得

41?=43后，因此A16A3。=1：3，在中，设SAA4G=1份，那么=3份，

SAA341G=3份,所以S—z43G=齐叫i3WX乔正六边形=tS正六边形，

因此S阴影=（1一套X6）s正六边形=*X2009=1148（平方厘米）.

方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路,

把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为盘x

14

2009=1148（平方厘米）.

2.如图，长方形4BCD中，E、F分别为CD、4B边上的点，DE=EC,FB=2AF,求

PM:MN:NQ.

【答案】7:18:10

【分析】如图，过E作4。的平行线交PQ于G.

由于E是。C的中点，所以G是PQ的中点.

由于

DE=EC,FB=2AF,

所以

AF\DE=2:3,BF'.CE=4:3.

根据相似性，

PM:MG=AM:ME=AF:DE=2:3,

GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,

于是

2

PM=-P^

3336

MN=-PG+^GQ=—PG,

44

NQ=-GQ=-PGf

所以

2364

PMiMN'.NQ=7:18:10.

3.如下图，小高测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均

为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？

【答案】

【玄析】利64用平行线中的线段比例关系来计算.把瓷砖右下角的直角三角形标上字母（如下

图），同时过8作BC1.4G于C,DE1FG^E.

由于BC与FG平行，所以

BC_AC_2_1

~FG=AG=li=7

因此

11

BC=7-xFG=7-x7=1.

由于OE与AG平行，所以

DE_FE_2

AG=~FG=7

因此

22

DE=-xAG=-x14=4.

77

由此可得菱形的两条对角线分别为:

24-4X2=16（厘米），

10-1x2=8（厘米）.

那么菱形的面积就是

16x8+2=64（平方厘米）.

4.如下图，。是长方形4BCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积3和4,那么

阴影直角三角形的面积是多少？

【答案】；

3O

【分析】由S—oo=4可知SABCD=5xS长方形=5X4xS&AOD=8.而^CDF与△CDB从C

出发的高相同，那么黑="变="

DB、ACDB0

由于EFIICD,把线段的比例转移到BC上，那么有号=^=1,从而得到翌=1-1=|,所以

oCDOODCOO

阴影△8EF的面积是^BCF面积的J.于是阴影三角形的面积是

55,、525

8xSXBCF=《X（SABCD-SACDF）=-X（8-3）=-.

5.如图，。是8c中点，E是CD的中点，尸是AC的中点.三角形4BC由①〜⑥这6局部组成，

其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形48c的面积是多少平方厘米？

【答案】48

【分析】因为E是0C中点，F为4c中点，有40=2FE且EF平行于4。，那么四边形4DEF为梯

形.在梯形4DEF中有③=④，②x⑤=③、④，@-.（5）=AD2-.FE2=4.

又②—⑤=6,所以⑤=6+（4-1）=2,（2）=（5）X4=8,所以②X⑤=④X④=16,

而③=④，所以③=④=4,梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为

8+4+4+2=18.

有ACEF与△40C的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1:4.所以△4DC面积为梯形4DEF

面积的三即为18x：=24.

4—133

因为。是BC中点，所以△4BD与AADC的面积相等，而AABC的面积为△48。、AADC的面积

和，即为24+24=48（平方厘米）.三角形ABC的面积为48平方厘米.

6.如下列图所示，三角形AEF、三角形BDF、三角形BCD都是正三角形，其中4E:BD=1:3,

三角形4EF的面积是1.求阴影局部的面积.

【答案】15

【分析】SAAEF：SABDF=AE2：BD2=I：%AAEF面积是1,那么SABDF=S^BDC=%

因为AAEF与AACE的高之比是1:7,所以S-CE=7,因为AD与BC平行，所以为.。=

SABCD=9，所以SA.BC：S44EC=B/：/E=9:7.

假设BE为16份，那么B/=9,/E=7,又知道BF:FE=3:1,所以BF=12,FE=4,所以/F=

3,SA4EF：SAA/F=FE:F/=4:3,所以"4犷=。-75，又有SA4/F：SA8C/=人产：8C?=1：9,所以

S«BCI=6.75,于是可求阴影局部面积是（0.75+6.75）x2=15.

7.如图，ABCD为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm且MN=2cm,请问四边形PQRS的面

积为多少？

【答案】fem?

【分析】（法1）由4BIICD,有

MP_PC

MN=DC'

所以

PC=2PM,

又

MQ_MB

~QC=~EC'

所以

1

MQ=QC=-MC,

所以

Ill

PQ=-MC--MC=-MC,

236

所以SsPQR占^AMCF的&＞得到

12,

SSPQR=-xlx(1+1+2)=-(cm2).

(法2)如图，

连结4E,那么

1,

S^ABE=-X4x4=8(C7n2),

而

RB_ER

AB=~EF，

所以

RBAB

—=—=2,

EFEF

2216

S3BR=*8=­(C7719).

而

11.

SXMBQ=S»ANS=2义3乂4乂2=3(cm),

因为

MN_MP

~DC=~PCl

所以

1

MP=-MCf

那么

114

S^MNP=,X2X4X§=E(cm2),

阴影局部面积等于一’

^AABR-S&ANS-S^MBQ+S^MNP

164

=--3-3+-

33

2

=«山2).

8.如下图，平行四边形/BCD的面积是1,E、/是/B、4。的中点，BF交EC于M,求△BMG的

面积.

【答案吗

【分析】解法一：由题意可得，E、F是48、40的中点，得EFIIBD,而

FD:BC=FH:HC=1:2,

EBiCD=BG:GD=1:2.

所以

CH'.CF=GH'.EF=2.3,

并得G、H是8D的三等分点，可得BG=GH,所以

BG\EF=BM\MF=2:3,

所以

2

BM=1匕

_1_11_1