小学奥数 换元法

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换元法学生版

换元法教师版

目1M睡圆等回陶

对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握.这既与基础课程进度结合，

更是小学奥数经典内容.裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招考察近年来的

小升初计算部分，分数计算成为热点.可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元,

要么是通项归纳.如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算.”

三、换元思想

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换

元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简.

【例1】计算：（l+g+；）x（g+；+：）_（l+g+；+3x（g+；）

I1

【巩固】（1+-+-++-+—+

2334

四+交艮空+458+378^J621739458378、/739।458]

【巩固】计算:++-----+赤森+诟J

126358947)<358947207；1126358947

【巩固】计算：(0.1+0.21+0.3214-0.4321)x(0.21+0.321+0.4321+0.54321)-

(0.1+0.21+0.321+0.4321+0.54321)x(0.21+0.321+0.4321)

【巩固】计算下面的算式

(7.88+6.77+5.66)x(9.31+10.98+10)-(7.88+6.77+5.66+10)x(9.31+10.98)

【巩固】(1+0.12+0.23)x(0.120.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)x(0.12+0.23)=

【巩固】计算：(1)(1+0.45+0.56)x(0.45+0.56+0.67)一(1+0.45+0.56+0.67)x(0.45+0.56)

621739458739458378621739458378739458

⑵----1-----1----x----1-----1--------1-----1-----1----x358+947

126358947358947207126358947207

73473

【巩固】计算：——+—+——9+2+2+年—+—

32171312321713J3217

1

【例2】+

2008J(232007

【巩固】

【巩固】计算小*+()吗111)-(111

+9+11+135+7+9+

［巩固］i+Mfl+-+-+-+-1xf-+-+-+-+

l2345八23456八

【例3】计算:

3

++一+

wj4

【例4】计算---------、-------十—

2+-----------5---------1+

1+^F=

+2009

【例5】

20102

［例6］计算:

2009x2011+1

由，4省2008+2009x2(X)7

r［e巩固】计算----------------（4级）

2008x2009-1

对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握.这既与基础课程进度结合，

更是小学奥数经典内容.裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招考察近年来的

小升初计算部分，分数计算成为热点.可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元,

要么是通项归纳.如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算.”

三'换元思想

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换

元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简.

(l+-+-)x(-+l+l)-(l+-+l+l)x(-+l)

【例7】计算:

2424624624

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【解析】令1+2+1+」=4,-+-+-=Z>,则:

246246

原式二(4-J)X-QX俗-!)

66

=ab——b-ab+—a

66

=-(a-b)=—xl=—

666

【答案】-

6

【巩固］（l+；+g+；）xg+g+；+$_（l+；+g+；+&x（；+g+；）

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【解析】设々=」+工+,，则原式化简为：（1+〃）（1+4+2）二」

234555

【答案】-

5

621739458378)<6217394583781(739

【巩固】计算:4--------++947+207j-ll26-----------1-----------F+菊

126358358947

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

人621739458空+竺U,

【解析】令——+——+——=a

126358947358947

原式我378〃-如垩=也

a-\------xb=(

（207207'7207126207

【答案】9

【巩固】计算：(0.1+0.21+0.321+0.4321)x(0.21+0.321+0.4321+0.54321)-

(0.1+0.21+0.321+0.4321+0.5432l)x(0.21+0.321+0.4321)

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【解析】设x=0.21+0.321+0.4321,y=0.21+0.321+0.4321+0.54321,

原式=(0.1+x)xy-(0.1+y)xx=0.1x(y-x)=0.054321

【答案】0.054321

【巩固】计算下面的算式

(7.88+6.77+5.66)x(9.31+10.98+10)-(7.88+6.77+5.66+10)x(9.31+10.98)

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】希望杯，2试

【解析】换元的思想即“打包”，令a=7.8+86+7,6=9.31+10.98,则原式

=«x(77+10)-(«+10)x/7=(a/>+10a)—(aZ>+10&)=a/?+10«-«/7—IO6=lOx(a-/?)

=10x(7.88+6.77+5.66-9.31-10.98)=10x0.02=0.2

【答案】0.2

【巩固】(1+0.12+0.23)x(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)x(0.12+0.23)=

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】希望杯，六年级，二试

【解析】设0.12+0.23=。，0.12+0.23+0.34=6

原式=(l+a)xb-(l+b)xa=b-a=0.34

【答案】0.34

【巩固】计算：(1)(1+0.45+0.56)x(0.45+0.56+0.67)-(1+0.45+0.56+0.67)x(0.45+0.56)

739458\7739।458378）（6217394583781/739।458)

+-----X++赤厂（该+-----+-----+赤尸〔荻+诟J

358947jl358947358947

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】迎春杯

【解析】⑴该题相对简单,尽量凑相同的部分，即能简化运算.设a=0.45+0.56,0=0.45+0.56+0.67,

有原式=(l+a)x〃一(1+6)XQ=〃+46—。一"=/?一々=0.67

621739458<739458]

(2)设"--------1----------1--------,b=l358+947j

126358947

',378、(378、\,,、378621378八

度、式4=ax|b+--\xb=(a-b)x-----=---x----=9

\<207；1207,)207126207

【答案】(1)0.67(2)9

【巩固】计算：成+》»73411734)

+——+——+—,

321713321713；

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】走美杯，初赛，六年级

设°二+2+3、73

【解析】b=——+——则有

1232173217

原式=+；

a+V3xb

444

=——a-——h=—(a-h)

131313

455

=——x—=—

131239

5

【答案】

39

1

+-+1111

【例8】计算:2H---X--------+-+

2007232007

【考点】换元法【难度】3星【题型】计算

1

【解析】令H------H-----------

232007232008

原式=(1+a)x。一(1+Z?)x々=/7+一〃一〃/?=Z?—Q=

1

【答案】

2008

1111(1111111111

【巩固】—+—+—+—X—十—+—+—+—+—+—+—+---F—

11213141(21314111213141213141

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

设_L+_L+_L+_Lj,11!^

【解析】++=

11213141213141

原式=〃x[/7+

xh

,1,1,

=ab-\----a—ab------b

5151

1//、111

=­(a-b)=—x——=---

515111561

1

【答案】

561

【巩固】计算(LLLLxd+LL+L)_d+Ll+_L+_l)x(L_L+_L

5791179111357911137911

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】清华附中

【解析】设-4--+—=B,

579117911

原式=Ax(8+-[A+*B

=AxB+-A-AxB-—B

1313

1

=­(A-B)=—x-=

13')13565

【答案】—

65

111111111

【巩固】计算1―+―+—+一+―x—+-+—4-

234562345

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【解析】设1+!+,+」+1=A,-+-+-+-=B

23452345

原式=Ax|B4--|-|A+—jxB=AxB-^--xA-AxB--xB=-xA-—xB=ix(A-B)=^

I6)[6)666666

【答案】-

6

【例91计算:

2

1231239i+L2+23

—+—+—++-+—+-+H------+得X—+—+

234+A234102334

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】迎春杯

―、几1239g七21八/21tn

【解析】段1=一+—+—++—,则有厂+，x——(1+r)t一一=/­+-/-r+t--------

234102I2)2(22)2

【答案】

【例10]计算----------X--------+1

2+--------!—

________]

3+\

+-----4

2009

1+X2009

【考点】换元法【难度】4星【题型】计算

NN+1

【解析】-------1-------

1+42N+12N+1

N+1

【答案】

【例11】

【考点】换元法【难度】3星