茂名市2021-2022学年高二下学期期末数学（解析版）VIP

2021—2022学年度茂名市普通高中高二年级教学质量监测数学试卷本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z的共轭复数满足，则（）A.5 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】设复数，则，代入中求出的值，再根据复数模公式求得结果.【详解】设，则，又因为，即，所以，所以，故选：D.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求函数的定义域化简集合A，再利用补集、交集的定义计算作答.【详解】依题意，，解得，即，所以故选：B3.储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（）A.6 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出一个“钢板仓”的体积，然后用300除以“钢板仓”的体积可得答案【详解】因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，所以圆锥的母线长为2，底面半径为，所以一个“钢板仓”的体积为，因为所以要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个，故选：C4.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，所以点到平面的距离.故选：A5.若将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图像，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图像，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的图象的伸缩变换和平移变换即可求解.【详解】由题意可知，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，将函数的图象向右平移个单位得的图象，所以函数的解析式为.故选：B.6.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A.480种 B.336种 C.144种 D.96种【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数，去掉其中的“礼”和“乐”相邻的不同次序数即可计算作答.【详解】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：，“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：，所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：.故选：B7.若直线将圆C：的面积分为，则m的值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设出直线分圆C所成劣弧所对的圆心角，表示出两部分的面积并列式构造函数，再借助函数单调性求解作答.【详解】圆C圆心，半径，设直线交圆C于点A，B，过C作于D，如图，依题意，直线不过圆心，令劣弧所对圆心角，则优弧所对圆心角大小为，，直线分圆所得较小部分的面积为，所得较大部分面积为，依题意，，即，整理得，令函数，求导得，即函数在上单调递增，而，于是得，即是等腰直角三角形，，因此，圆心C到直线AB的距离，解得，所以m的值为.故选：D8.已知点F为抛物线的焦点，A为抛物线的准线与y轴的交点，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，点B恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用坐标表示，再利用基本不等式求最值取得时的值，再结合椭圆的定义求，即可求得离心率.【详解】设点，，,其中，当时，；当时，，因为，，当，即时，等号成立，当时，取得最大值，此时；根据椭圆的定义可知，即，椭圆的离心率故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会.自1924年起，每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则（）A.甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数B.甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差C.甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数D.甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差【答案】ABD【解析】【分析】根据给定折线图，计算众数、极差、平均数、方差即可判断作答.【详解】观察每天宣传的次数频数分布折线图，甲社团宣传次数的众数、乙社团宣传次数的众数分别为2，3，A正确；甲社团宣传次数的极差、乙社团宣传次数的极差分别为3，2，B正确；甲社团宣传次数的平均数，乙社团宣传次数的平均数，C不正确；甲社团宣传次数的方差，乙社团宣传次数的方差，D正确.故选：ABD10.在三角形中，若，，边上的高为h，满足条件的三角形的个数为n，则（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦定理可得外接圆，再分析高的取值范围与三角形解的个数关系即可【详解】作出外接圆如图所示，为外接圆的圆心，.因为，，故，所以的外接圆半径为又，所以当时，最大为.对A，当时，由圆的对称性可知，此时，故A正确；对B，当时，是唯一的，故B正确；对C，当时，，故C错误；对D，当时，，故D正确；故选：ABD11.若等差数列的前n项之和为，公差为d，等比数列的前n项之和为，公比为q（），若，则下列各选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用等差数列、等比数列前n项和公式表示出，，再求出并与已知等式比对即可分析计算作答.【详解】依题意，，，，而，于是得，且，即，整理得：，即B，C不满足，A，D满足.故选：AD12.已知点P为正方体内及表面一点，若，则（）A.若平面时，则点P位于正方体的表面B.若点P位于正方体的表面，则三棱锥的体积不变C.存在点P，使得平面D.，的夹角【答案】AD【解析】【分析】首先可证平面，即可得到点在平面上（包括边界），通过证明平面平面判断A，利用特殊位置判断B，先证明平面，即可判断C，利用空间向量法判断D；【详解】解：在正方体中，，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又，所以点在平面上（包括边界），又，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面，所以平面平面，因为平面，平面，所以平面，又平面平面，所以，即位于正方体的表面，故A正确；对于B，设到平面的距离为，则显然当和（不包括点）时不一样，则三棱锥的体积不一样，故B错误；如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，所以，，，所以，，即，，，平面，所以平面，若平面，则，显然在平面上（包括边界）不存在点，使得，故C错误；因为设，，，所以，即，又，所以，，，设所以，的夹角为，则，当时，，当时，因为，所以，所以，所以，因为，所以，综上可得，故D正确；故选：AD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是确定点所在位置，再结合空间向量法运算；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，当时，__________.【答案】##【解析】【分析】由向量平行可得，进而可求出结果.【详解】由可得，，得，故答案为：.14.已知，且，则的最小值为_________.【答案】8【解析】【分析】利用基本不等式可将转化为的不等式，求解不等式可得的最小值．【详解】∵，∴，当且仅当时取等号，，，即，∴的最小值为8.故答案为：8．15.记（k，b为实常数），若，，则__________.【答案】-3或3【解析】【分析】随机变量正态分布，则均值为，方差为；若，随机变量服从正态分布，则的均值为，方差为，代入公式计算即可.【详解】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3.故答案为-3或3.16.已知正方形的边长为，两个不同的点M，N都在的同侧（但M和N与A在的异侧），点M，N关于直线对称，若，则点到直线的距离的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，即可得到直线、的方程，设，根据点关于直线对称的计算方法求出点坐标，再根据，则，即可得到、的关系，最后根据、在的同侧得到不等式，求出的取值范围，即可得解；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，，所以直线的方程为，直线的方程为，设，关于对称点，则，解得，即，所以，，当，则，，此时，此时不成立，所以，所以，即，所以，又、在的同侧，所以，即，即，所以，即点到直线的距离的取值范围为；故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知正项等比数列中，，.（1）求的通项公式；（2）设，求的前n项和.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）列出关于首项和公比的方程组解方程组即可.（2）先求出，然后运用裂项相消法求即可.【小问1详解】设等比数列的公比为，由，，于是，解得，所以，，；【小问2详解】即，.所以，，.于是，，.18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求C；（2）若，，在角C的平分线上取点D，且，则点D是否在线段上？请说明理由.【答案】（1）；（2）不在，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦、和角的正弦公式化简给定等式，再利用正弦定理边角互化即可求解作答.（2）利用（1）的结论及已知，借助余弦定理、正弦定理、三角恒等变换求出角平分线长并判断作答.【小问1详解】在中，，即，有，即，由正弦定理得：，即，而，所以.【小问2详解】在中，由（1）知，，因，，由余弦定理得：，，，令角C的平分线交AB于E，则，在中，，由正弦定理得：，显然，所以点D不在线段上.19.刷抖音是现在不少人喜爱的娱乐方式，既可以在工作之余借助其消除疲劳，还可以学会不少知识，现在抖音里有一款“生活常识答题”程序游戏，其规则如下：每次点击开始答题后，需连续依次回答A，B，C三类题，当回答一类题结束时会根据正确率出现“优秀”或“加油”图标，若三类题答题结束后出现一个或两个“优秀”图标，则最后会显示80分，出现三个“优秀”图标，则显示200分，否则会显示-20分.小张同学正确回答A，B，C三类题出现“优秀”的概率依次分别为，，.（1）记小张同学答题活动结束出现“优秀”的图标个数为X，求X的分布列与数学期望；（2）小张同学如果答题4次，求4次中至少有2次获得200分的概率.【答案】（1）分布列见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）求出X的所有可能值，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算各个取值的概率，列出分布列并计算期望作答.（2）利用（1）中信息，利用对立事件概率、独立重复试验的概率列式计算作答.【小问1详解】依题意，X的所有可能值为0，1，2，3，，，所以X的分布列为：X0123P数学期望为.【小问2详解】由（1）知，小张每次获得200分的概率为，设小张获得200分的次数为Y，于是得，所以4次中至少有2次获得200分的概率为.20.在四棱锥中，底面为矩形，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、判定推理作答.（2）在平面VAB内过V作于O，以O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【小问1详解】在四棱锥中，底面为矩形，有，因平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】在平面内过V作于，而平面平面，平面平面，则平面，在平面内过O作，有两两垂直，以点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，又，设，于是有，，因此有，，，而，直线的方向向量，设平面的法向量为，则，令，得，显然，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角大小为，则有，由于，，，则，当且仅当，即时取“=”，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围是.21.已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.（1）求椭圆E