韶关市2022年高二下学期期末考试数学（解析版）

韶关市2021-2022学年度第二学期高二期末检测数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集运算的概念，即可得答案.【详解】因为，所以.故选：B2.若复数，其中为虚数单位，则在复平面内复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数除法运算化为代数形式，得对应点坐标后可得其所在象限．【详解】，对应点为，在第四象限．故选：D．3.已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图与本身圆锥的关系进行求解即可．【详解】圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，则圆锥的高故选：C4.已知两个不同平面，，直线满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论.【详解】充分性：根据面面平行的性质定理知充分性成立；必要性：设，当，且，，此时，但是与相交，故必要性不成立.综上，故选A．5.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性和关键点的函数值即可确定.【详解】偶函数，是奇函数，∴是奇函数，排除B，D；A与C的区别在于x=2时的函数值，，，，由图可知，对于A，当x=2时，，对于C，当x=2时，；故选：C.6.已知角为第四象限角，且它的终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意将点坐标代入圆的方程，即可求出，再根据三角函数的定义求出，最后由二倍角公式计算可得；【详解】解：依题意可得，解得，又角为第四象限角，所以，即，所以，所以；故选：D7.已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用面积相等求出.设，得到.利用几何法分析出，即可求出的最小值.【详解】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：在△PAC中,有，即，变形可得：.设，则.所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.而的最小值为点C到直线的距离，即，所以.故选：B8.已知定义域为的函数满足：对任意的，有，为偶函数，且当时，，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】先判断出函数是周期为4的周期函数，利用周期性直接求解.【详解】因为为偶函数，所以，用代换x，可得：①对任意的，有，把①代入有：，即②在②式中，用代换x，有③.②③对照可得：，用代换x，有恒成立，所以函数是周期为4的周期函数.所以.在③中，令有，所以，所以.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.有一组成对样本数据，由这组成对样本数据得到的经验回归方程为，则（）A.在点中，至少有1个点在经验回归直线上B.若点都在经验回归直线上，则样本的相关系数满足C.若，，则D.若成对样本数据的残差为，则在这组成对数据中，必有成对样本数据的残差为【答案】BC【解析】【分析】根据回归方程的性质及相关系数的概念判断即可；【详解】解：由线性回归方程的性质可知，回归直线必经过样本中心点，即，但是可能不过样本中的任何一点，故A错误，C正确；若点都在经验回归直线上，则说明为函数关系，所以样本相关系数，故B正确；若成对样本数据的残差为，未必有成对样本数据的残差为，故D错误.故选：BC10.设公差小于0的等差数列的前项和为，若，则（）A. B.C. D.的最大值为或【答案】ACD【解析】【分析】根据等差数列性质，可得，可得A正确；求得和，分析即可判断B的正误；根据等差数列求和公式，可判断C的正误；根据等差数列单调性，可判断D的正误，即可得答案.【详解】因为为等差数列，且，对于A：由性质可得，解得，故A正确；对于B：，，故B错误对于C：，故C正确；对于D：因为，且公差，所以最大值为或，故D正确故选：ACD11.定义，已知，则下列结论正确的是（）A. B.是奇函数C.的一个周期为 D.的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数的图象作出的图象，由图象特征对选项一一判断即可．【详解】的图象如图所示：，A正确；由图可得图象不关于原点对称，故不奇函数，B错；由图可得是的一个周期，C正确；由图可得的最大值为，D正确．故选：ACD12.设抛物线：的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（）A.线段的中点到的准线距离为4B.直线过原点时，C.直线的倾斜角的取值范围为D.线段垂直平分线过某一定点【答案】AD【解析】【分析】先求出，可判断A与B，设直线的方程为，联立抛物线，结合韦达定理与判别式可判断C，化简的垂直平分线方程可判断D．【详解】设，抛物线：，得，所以线段的中点到的准线距离为，则A正确；若直线过原点，设，则，所以所以，B错；设直线的方程为，由得，则，得，又得，故或，故C错；线段中点的坐标为所以线段的垂直平分线方程为又，故化为，过定点当直线的斜率不存在时也成立，故D正确．故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中常数项为____________（用数字作答）．【答案】15【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式直接求得.【详解】展开式的通项公式为.要求常数项，只需r=2，则有.故答案为：15.14.若单位向量、的夹角为60°，，则实数____________．【答案】【解析】【分析】首先根据数量积的定义求出，再依题意可得根据数量积的运算律得到方程，解得即可.【详解】解：因为单位向量、的夹角为60°，所以且，因为，所以，即，即，即；故答案为：15.随着社会的发展与进步，人们更加愿意奉献自己的力量，积极参与各项志愿活动．某地单位甲有10名志愿者（其中8名男志愿者，2名女志愿者），单位乙有15名志愿者（其中9名男志愿者，6名女志愿者）．若从单位甲任选2名志愿者参加某项活动，则恰是一男一女志愿者的概率为____________；若从两单位任选一个单位，然后从中随机选1名志愿者参加某项活动，则该志愿者为男志愿者的概率为____________（以上两空用数字作答）．【答案】①.②.##0.7【解析】【分析】甲单位中，8名男志愿者选1人，2名女志愿者选1人，代入公式，即可得答案；两单位各有被选中，再选1名男志愿者，代入公式，即可得答案；【详解】从单位甲任选2名志愿者参加某项活动，则恰是一男一女志愿者的概率从两单位任选一个单位，然后从中随机选1名志愿者参加某项活动，则该志愿者为男志愿者的概率为故答案为：；16.在直三棱柱中，，，，设该三棱柱外接球的球心为，若四棱锥的体积为1，则球的表面积是____________．【答案】【解析】【分析】根据四棱锥的体积求出直三棱柱的高，利用勾股定理即可求出外接球的半径，从而求得球的表面积．【详解】依题意得，设直三棱柱的高为，则如图所示：设分别为中点，为中点，则四棱锥的体积，故所以球的半径为故球的表面积是故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列满足，且．（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意得，根据等比数列的定义，即可得证.（2）由（1）可得，根据分组求和法，结合等差数列、等比数列求和公式，即可得答案.【小问1详解】因为，所以，所以，即，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】由（1）可得，所以，所以前项和18.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足____________．①；②；③，（1）从①②③条件中任选一个填在横线上，并求角的值；（2）若的面积为，求的最小值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）选①由正弦定理与余弦定理得即可求解角，选②根据正弦定理与正弦和差公式即可得结果，选③根据辅助角公式及角的范围即可得结果；（2）根据三角形面积公式与余弦定理公式结合均值不等式即可求解．【小问1详解】选①：由正弦定理得，则根据余弦定理得，又所以；选②：根据正弦定理，由得所以，则所以，又，所以；选③：由，得由于，所以．【小问2详解】由（1）知，所以则又，所以（当且仅当b=c=2时取等号），故的最小值为2．

19.某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制（即有一方先胜四局即获胜，比赛结束）．假设每局比赛甲获胜的概率都是．（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及期望．【答案】（1）（2）分布列见详解，【解析】【分析】（1）分两种情况甲胜或乙胜，如果第5局甲胜则前4局甲胜3局，若第5局乙胜则前4局乙胜3局，即可求出概率；（2）写出的可能取值，求出各情况的概率即可得出结果．【小问1详解】第一种情况：比赛结束时恰好打了5局且甲获胜，则概率为；第二种情况：比赛结束时恰好打了5局且乙获胜，则概率为；所以比赛结束时恰好打了5局的概率为.【小问2详解】依题意得的可能取值为的分布列为．20.如图，四棱锥中，底面是梯形，，侧面，，，是线段的中点．（1）求证：；（2）若，求平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由已知得，，从而平面，由此能证明．（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【小问1详解】证明：因为侧面，平面，所以．又因为，是线段的中点，所以．因为，平面，所以平面．而平面，所以．【小问2详解】解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有，，，，，设，所以，，因为，所以，解得或（舍去），所以，所以，，，，设为平面的法向量，由，有，取，所以．设平面的法向量为，由，有，取，所以，设平面与平面所成二面角为，显然二面角为锐二面角，所以，所以故锐二面角的平面角的正弦弦值为．21.已知椭圆：的离心率，椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于A，B两点，若的重心在直线上（为坐标原点），求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；（2）对直线的斜率分三种情况讨论，依题意的中点在直线上，当直线的斜率存在且不为时，设直线：，，，联立直线与椭圆方程，消元、累乘韦达定理，即可得到的中点坐标，代入直线的方程，即可求出，再求出及到直线的距离，表示出，最后利用导数求出函数的最大值，即可得解；【小问1详解】解：由题知，解得，∴椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：若直线的斜率不存在时，此时的中点在轴上，要使的重心在直线上（为坐标原点），即的中点在直线上，所以即为的中点，此时直线方程为，所以，所以；若直线的斜率存在，当斜率为时，的中点在轴上，要使的重心在直线上（为坐标原点），即的中点在直线上，所以即为的中点，此时直线方程为，所以，所以；当斜率存在且不为时，设直线：，与椭圆交于，，由，得.则，即，又，，所以所以的中点，又所在直线为，依题意的中点在直线上，所以，所以，所以，即，所以直线：，所以，点到直线：的距离，所以，令，，所以，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，所以；22.已知函数．（1）当时，求函数在原点处的切线方程；（2）讨论函数的零点个数．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）首先得到函数的导函数，从而得到与变化表，即可得到函数的极值，再对极值分类讨论，分别判断函数的零点个数即可；【小问1详解】解：当时，，则，所以，所以函数在原点处的切线方程为；【小问2详解】解：因为，所以，令，解得或，因为，所以，当变化时，与变化如下表：单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以，，令，，所以当时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，即，所以，所以且，①当时，故，，而时，，所以在上有一个零点，此时有两个零点；②