利息基本理论和利息度量

1TheTheoryofInterest

利息理论思考问题你大学四年的学费是何时支付的？你兼职和实习的薪酬是何时收到的？你喜欢信用期的第1天还是最后一天支付?你喜欢信用期的第1天还是最后一天收到?为什么呢？货币的时间价值货币的时间价值～货币的价值随着时间的变化而变化～货币的当前值大于等量货币的未来值货币为什么必须具有时间价值？1.资源的稀缺性。货币作为生产要素必须投入生产经营，其数额随着时间的持续不断增长2.通货膨胀，货币贬值。时间价值至少必须弥补货币的贬值3.人们认知心理的反映～货币时间价值来源于生产过程中工人创造的剩余价值货币的时间价值“时间就是金钱，效率就是生命”1982年，最早在深圳出现的口号货币的时间价值课程介绍1.北美精算师协会（SocietyofActuaries，简称SOA）的准精算师资格考试中的经济金融的主要部分2.中国精算师资格考试的第1门专业课程3.金融学保险专业的基础课程4.国内保险精算专业的核心基础课5课程介绍5.课程目的：使学生们掌握基本的金融计算的概念、术语和原则，同时对一些基础性的金融工具进行现金流价值分析（金融数学）6.利息理论的方法具有极为广泛的适用性，其应用范围远远超出了精算领域，在投资分析、财务管理、金融产品的定价、风险度量、债务偿还等方面都有参考价值教材和主要参考书刘占国主编.利息理论，南开大学出版社孟生旺、袁卫编著.利息理论及其应用，中国人民大学出版社张良增编著.利息理论，南开大学出版社李勇权编著.利息论，中国经济出版社S.G.凯利森著，尚汉冀译.利息理论，上海科学技术出版社考核方式：出勤+回答问题+作业+考试7主要内容第1章利率概述第2章利息的基本概念第3章年金第4章收益率第5章债务偿还第6章债券和其他证券第7章利息理论的应用与金融分析第8章利息的随机处理8第1章利率概述本章学习目标……1.利率的含义2.均衡利率的形成3.为什么期限越长，利率越高？4.不同金融工具的利率计算方法、表现形式9央行基准利率项目（存款）年利率（%）城乡居民及单位存款（一）活期0.35（二）定期1.整存整取三个月2.856个月3.05一年3.25二年3.75三年4.25五年4.75货币市场利率（Shibor）期限利率（%）（20140219）O/N2.40301W3.76202W4.67801M5.29423M5.60006M4.99989M5.00001Y5.00011.1利率的含义1.是借款者的单位资金成本，贷款者的单位资金收益率2.资金的价格3.是中央银行调节宏观经济的货币政策工具4.是衡量信用工具的收益率

到期收益率利率的重要性有哪些？12重要的利率指标美联储基准利率欧洲央行基准利率上海银行同业拆借利率ShanghaiInterbankOfferedRate，简称（Shibor）英国伦敦银行同业拆借利率（Libor）欧洲银行间欧元同业拆借利率（Euribor）东京银行同业拆借利率（Tibor）关于LIBOR

指伦敦银行同业市场拆借短期资金期限有：隔夜，7天、1个月、3个月、6个月

和1年的利率国际金融市场的基础利率资金拆借依此为基准，上下浮动若干基点LIBOR的操纵：美国司法部和美国商品期货委员会于2010年11月份牵头对Libor操纵案进行调查调查的银行超过20家，英国第二大银行巴克莱被罚款2.9亿英镑

简易贷款的利率计算（1）简易贷款（单一贷款）的特点：本金、利息和借款期限由借贷双方事先确定，到期一次还本付息利率=利息本金（2）利率的表现形式:例、甲乙双方商定贷款事宜，因业务发展需要，甲方向乙方借款1000万元，期限2年,到期后，甲方一次性归还乙方1150万元。则甲方贷款的年利率是：1150-100010002=7.5%风险太大,可能无法归还本息只适应于期限短、本金小的固定分期支付贷款

（分期付款、抵押贷款）（1）特点：借款本金A、期限n和利率事先约定

分期等额偿还（本金和利息）C（2）收益率i的表现形式：

16减轻一次还款的压力。适用于本金较大、期限较长的附息债券（息票债券）（1）特点：直接融资；债券发行人定期支付固定金额的利息I

票面利息率g事先约定到期偿还面值A，发行价格P（2）收益率表现形式：17债券价格与收益率反相关P＜A,折价发行P=A,平价发行P＞A,溢价发行附息债券（息票债券）（3）包含的信息有：发行债券的单位债券到期日面值票面利率：息票率利息支付方式常见的：政府中长期债券、企业债券、特种债券等18附息债券（息票债券）当息票债券价格等于其面值时，到期收益率等于票面利率息票债券价格与到期收益率负相关债券价格低于面值时，到期收益率高于票面利率例：一张息票债券面值1000元，票面利率10%，购入价格1000元。1年之后以1200元的价格出售，该债券的到期收益率？19贴现债券（零息债券）（1）特点：低于面值发售；到期偿还面值；折价发行；到期前没有利息支付利息=面值（A）-价格（P）（2）收益率的表现形式:20价格与收益率反向变化中国的利率市场化利率由资金供求决定2013年7月20日起，全面放开贷款利率管制，贷款利率完全市场化金融机构存款利率有上限管制，央行基准利率最大上浮10%年化收益率货币基金的年化收益率：投资在一段时间内（比如7天）的收益，假定一年都是这个水平，折算成的年收益率理财产品的年化收益率和实际收益率1.年化收益率≠实际收益率2.银行会无偿占用客户的理财资金3.资金的募集期和偿还期不计息年化收益率>实际收益率1.2均衡利率的确定均衡利率的含义均衡利率确定的模型1.可贷资金模型2.流动性偏好模型23均衡利率的含义资金供求相等时的利率；怎样形成均衡利率？资产需求理论：资产需求的决定因素有：1.财富，个人持有的所有资源，包括所有资产2.相对预期收益率；3.风险；4.流动性（变现能力）A.资产需求量与财富正相关B.资产需求量与其相对于其他资产的预期收益率正相关C.资产需求量与其相对于其他资产的风险负相关D.资产需求量与其相对于其他资产的流动性正相关24均衡利率决定模型1.可贷资金模型：上世纪30年代，罗伯逊。利率由可贷资金的供求决定债券市场的供给与需求均衡时债券的需求曲线：债券价格与利率负相关。当其他变量不变时，债券的预期收益率越高，需求量越大。反之反是。债券的供给曲线：当其他变量不变时，债券的价格越高，供给量越大。反之反是。注意：债券的供给=可贷资金的需求债券的需求=可贷资金的供给25均衡利率决定模型1.可贷资金模型（债券市场的供给与需求）：经济中利率的调整使可贷资金供求平衡。可贷资金的供给来自国民储蓄，包括私人储蓄、公共储蓄、央行、商业银行信用创造、；可贷资金的需求来自投资和超过收入的储蓄26债券数量（亿元）价格可贷资金的需求（债券供给）可贷资金的供给（债券需求）1200850这是实际利率实际利率=名义利率-通货膨胀率利率i=6.56%pi均衡利率决定模型

利率

债券需求（对可贷资金的供给）债券供给（对可贷资金的需求）债券数量/可贷资金量流动性偏好模型

（货币市场上的供给和需求）凯恩斯在《就业、利息与货币通论》中提出的流动性偏好理论来解释经济中利率的决定因素。假设人们喜欢储藏两种资产：货币和债券货币需求+债券需求=货币供给+债券供给当货币市场达到均衡时，债券市场必定达到均衡；进而决定均衡利率。28流动性偏好模型

（货币市场上的供给和需求）凯恩斯提出的流动性偏好理论：假设两种储藏资产：货币和债券他认为：利率的调整使货币的供给与需求平衡（1）货币供给：指流通中的现金和活期存款，由中央银行决定。不受利率的影响，供给固定（2）货币需求：货币的流动性最强；需求量与利率反向变化。货币需求曲线向右下方倾斜（3）利率的调整使货币的供给和需求相等29货币量利率货币供给货币需求均衡利率1.3利率的期限结构和风险结构1.利率的风险结构2.利率的期限结构3.利率期限结构理论1）预期理论2）流动性偏好理论3）市场分割理论301.3利率的期限结构和风险结构利率的风险结构：为什么到期期限相同的债券利率不一样？

风险的存在风险溢价风险结构：1.违约风险（信用风险）：无法偿还债息或本金2.有违约风险的债券必须获得风险补偿3.流动性不同：流动性与收益性成反比4.所得税因素：利息收入是否交税利率的期限结构不同到期期限的债券有不同的收益率水平收益率水平与到期期限长短正相关用收益率曲线描述利率的期限结构收益率曲线：假定其他条件相同，期限与收益率的关系表现，有三种形式：（1）同向变动：期限越长，收益率越大（2）不相关:收益率与期限长短基本无关（3）反向变动：期限越长，收益率越小通常情况下，收益率和期限长短同向变动，即正相关，收益率曲线向上倾斜32收益率曲线（1）向上倾斜33期限收益率（2）水平变动期限收益率（3）向下倾斜期限收益率预期理论最早的利率期限结构理论1896年，埃文．费雪提出假定：（1）投资者只关心收益率，是收益率最大化（2）收益率相同的资产可以完全替代长期利率等于该期限内人们预期出现的所有短期利率的平均数34０１２３n-1ni1i2i3in预期理论35对上式进行变换，两边取对数：n㏑(1+i)=㏑(1+i1)+㏑(1+i2)+㏑(1+i3)+‥‥+㏑(1+in)令㏑(1+im)=ɡm，则预期短期利率上升，则长期利率上升，收益率曲线向上倾斜预期短期利率下降，则长期利率下降，收益率曲线向下倾斜预期短期利率不变，则长期利率不变，收益率曲线为水平线流动性溢价理论改进后的预期假设认为短期债券的流动性高于长期债券，风险较小假定投资者是风险规避者，偏好持有短期债券流动性与收益率水平成反比，长期利率＝短期利率的平均值＋流动性补偿（溢价）流动性补偿与时间长短成正比（1）时间越长，流动性补偿越大，收益率越高，收益率曲线向上倾斜（2）时间越短，流动性补偿越小，收益率越小，收益率曲线越平坦（3）收益率曲线总是向上倾斜的36市场分割理论期限不同的债券市场是完全割裂的，不同的市场交易不同期限的债券。不同期限的债券完全不是替代品债券的收益率仅由该市场上的债券供求所决定该理论认为：（1）当投资者对短期债券的需求相对高于长期债券时，短期债券的价格高而收益率低，因此，长期债券的收益率高于短期债券，所以收益率曲线向上倾斜（2）当投资者对短期债券的需求相对低于长期债券时，短期债券的价格低而收益率高，因此，长期债券的收益率低于短期债券，所以收益率曲线向下倾斜（3）一般而言，人们偏好持有短期债券，因而收益率曲线总是向上倾斜的。37利率的期限结构期限结构理论的作用1.预测债券收益率2.对投资者而言，可以预测债券发行投标利率，选择投资券种和预测债券价格3.对发行者而言，为其发行债券，进行资产负债管理提供参考实际利率和名义利率考虑通货膨胀率时，利率分为实际利率和名义利率名义利率：以货币表示的收益率实际利率：以消费品单位表示的收益率本章小结

1.利率的含义2.利率的衡量指标3.不同种类金融工具的利率求解方法4.经济中的均衡利率如何决定5.利率的期限结构6.收益率曲线为何总是向上倾斜40思考题1.分别解释可贷资金模型和流动性偏好模型中均衡利率的变动。2.面值1000元，票面利率10%，售价为2000元，期限20年的息票债券的到期收益率是多少？3.一笔100万元的简易贷款，要求5年后偿还200万元，其到期收益率是多少？4.如果抵押贷款利率从5%上升到10%，而房屋价格上涨率预计由2%上升到9%，人们是否更愿意购买房产？41思考题5.人们对未来房地产价格预期的突然提高会对利率产生什么影响？6.股票市场手续费下降会对利率产生影响吗？解释你的答案？7.如果债券市场价格波动变大，请预测利率有何变化？8.黄金价格的突然提高会对利率产生什么影响？42思考题10.登录中国外汇交易中心网站：学习并理解国债收益率曲线以及国债收益率曲线的作用43第二章利息的度量本章学习目标……1.利息的本质是什么？2.利息的度量方法3.计息方式4.贴现率5.利息率和贴现率之间的关系6.利息力（利息强度）和贴现力7.价值等式8.投资期限的确定9.未知时间问题10.未知利率问题44利息的本质是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而支付给贷款人的报酬从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而可能遭受的损失理论上，利息可以是任何有价值的东西，未必一定是资本或货币实际中，利息多用货币资本表示45利息的度量1.积累函数：期初投资的1元本金在时刻t时所得到的总价，记为，是度量利息和利率最基本的工具。46性质：（1）初始值，本金（2）（3）若连续结转利息，则积累函数为连续函数；否则为非连续函数（4）积累函数必然通过（0，1）和（1，1+i）两点积累函数一般地，设本金为47两个积累函数可以互换使用tttt问题影响利息额的因素有哪些？1.本金量2.时间长度3.积累函数的形式4.单位资金的收益率例题1.假设积累函数，如果期初的100元在第3年末可以积累到172元，试计算在第6年初投资100元，在第10年末可以积累到多少元？解：49例题2.如果A（t）=t2+2t+3，试确定对应的积累函数a(t)，并验证a(t)是否满足三个基本性质：50满足三个基本性质实际利率（实质利率）是指在某一时期开始时，投资一单位本金，在此时期内应获之利息。实际利率是在期末支付且整个时期内只支付一次的利息。用i表示51如果一个时期内支付或结转若干次利息，相应的利率称为名义利率单利（simpleinterest）单利：1.每期只对本金计算利率

2.每期的利息为常数

3.利息总量与时期数线性正相关单利的积累函数：单利具有线性累积函数单利积累函数的特点：1.利息=本金×利率×时期数2.实际利率是时间的减函数52例题53如果A（t）=100+5t,试计算i5复利（compoundinterest）复利：1.每期都对本金和上期的利息计算利息2.每期的利息是变数复利的积累函数54特点：例题55复利的实际利率就等于复利率单利与复利的区别相同点：1.单利和复利投资的本金在整个投资期间不变2.原始投资利率在整个投资期间不变3.计息周期不变区别：1.单利的实际利率是时间的减涵数，复利的实际利率是常数2.在时刻0和时刻1时，单利和复利的积累值相等，该期间内产生的利息相等3.单利在相等的期间内有相等的利息额，复利在相等的期间内有相等的利息增长率4.单利考虑绝对增量的变化，复利考虑相对增量的变化5.复利几乎用于所有的金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算56单利与复利的比较例.以年利率5%为例，比较单利和复利计算方法的异同效果。解：1）单利情况下，每年的实际利率水平57n123456in5%4.76%4.55%4.35%4.17%4%6年内，实际利率水平降低了一个百分点2）复利的实际利率等于复利率3）复利累计值超过单利累计值3%的时刻58n123456单利1.051.101.151.21.251.3复利1.051.10251.15761.21551.27631.3401复利超过单利的%00.2270.6631.292.13.1可见，经过6年的时间，复利方式比相同单利方式的累积值超过了3%即期利率与远期利率即期利率：从当前时点开始计息的未来一定期限内的利率水平设A（0）元本金在t年末的积累值为A（t），有：59即期利率就是零息债券的到期收益率基本原理是？即期利率与远期利率远期利率：是指未来两个时点之间的利率水平，由一系列即期利率所决定。多用在衍生金融工具中60假设从当前开始，在时刻t到期的即期利率是it，在时刻s到期的即期利率是is，（s>t），那末从时刻t到时刻s的远期利率i可以通过下式求得:上述远期利率只适用于每期结转一次利息的情况，如果每期结转多次利息，公式要进行调整基本原理是？即期利率与远期利率例：已知2年期的即期利率为5%，3年期即期利率为6%，求第2年至第3年的远期利率是多少？问题利息的本质是什么？积累函数的本质是什么？如何度量利息？单利计息和复利计息的区别是什么？何为实际利率？单利的实际利率如何变化？复利的实际利率如何变化？62贴现函数与实际贴现率贴现函数：贴现是积累的逆运算，是计算现在值，贴现函数是积累函数的倒数，贴现与积累是两种互相对称的计算货币时间价值的方法。时刻t的一个单位货币在时刻0的价值称为贴现函数（discountfunction）63单利的贴现函数：复利的贴现函数：称v为贴现因子贴现函数与实际贴现率实际贴现率：一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值，其中的利息是在期初实现的64注意：1.d＜i2.对于同样一笔业务，利息值与贴现值相等

3.利息在期末支付，贴现在期初收取

4.利率说明了资本在期末获得利息的能力，贴现率说明了资本在期初获得利息的能力单利的实际贴现率单利的实际贴现率dt65例、i=10%,单利，试计算d5实际利率与实际贴现率的关系1.662.3.贴现函数：4.积累函数：5.这一关系的字面意义是：借贷1元，在期末还1+i，等价于期初借1-d，在期末还1元。单贴现1.单贴现：与单利相对应，每一时刻的贴现额相等，贴现函数为：672.单贴现不同于单利，具有与单利相类似但反向的性质3.当投资时期加长时，单利的实际利率递减，而单贴现的实际贴现率递增复贴现复贴现：每一时刻产生的贴现值不相等，贴现函数为：68

单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。对较长的时期，单贴现比复贴现产生较小的现值，而对较短的时期则情况相反例题已知某项投资在一年中能得到的利息额为336元，而等价的贴现额为300元，求投资本金。解：设本金为p，则pi=336，pd=300

69名义贴现率与名义利率名义利率：（1）一个度量周期内结转m次利息的利率（2）度量的是资本在一个小区间内的实际利率（3）必须与一个度量周期内的利息结转次数相联系名义利率与实际利率的关系：70在年名义利率一定的条件下，m越大，年实际利率越大名义贴现率名义贴现率：（1）一个度量周期内收取n次贴现值的贴现率（2）度量的是一个小区间内的实际贴现率名义贴现率与实际贴现率的关系：71在年名义贴现率一定的条件下，一年内结转的贴现次数越多，年实际贴现率越小名义利率与名义贴现率的关系1.实际利率与实际贴现率之间的关系是：722.名义利率与名义贴现率之间的关系为：3.实际利率与名义贴现率之间的关系：4.名义利率与实际贴现率之间的关系：例题1.初始投资500元，每季度结转一次利息的年利率为8%，5年后的累积值是多少？732.年贴现率6%，每半年结转一次，到第6年末时可得1000元，现时投资要多少？例题3.已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。解：74例题4.以每年计息2次的年名义贴现率为10%，在6年后支付5万元，求其现值解：设现值为PV，则75例题5.一张100元的期票在到期前3个月被人以96元买走，试确定：1）购买者所得到的按季度转换的名义贴现率2）购买者所得到的年度实际利率76解：1）季度贴现额=100-96=4元，季度贴现率年名义贴现率=4×4%=16%2）季度实际利率：利息力（利息强度）利息力：（要求积累函数必须是连续的，且可微，即是每个瞬间都可以进行利息的换算）（1）度量了资本在无穷小区间上的获利能力（2）刻画了资本在每一时刻上的获利强度（3）是积累函数的相对变化率77（4）是连续结转利息时的名义利率（5）积累函数由利息力和时间长度唯一确定利息力（利息强度）例题：如果，确定投资1000元在第1年末的累计值和第二年内的利息金额。解：

78常数利息力（1）资本在任一时点上的获利强度都相等，记为

79（2）利息力为常数时，实际利率也是常数；反之未必例1：已知年度实际利率为8%，求等价的利息强度。解：80例2：一笔业务按利息强度6%计息，求投资500元，经过8年的累计值。解：单利和复利的利息力单利的积累函数：a(t)=1+it，复利为a(t)=(1+i)t81单利的利息力：是时间的减函数复利的利息力：与时间无关贴现力（贴现效力）（1）贴现函数的单位变化率（2）度量每一时刻上获得贴现值的能力，记为：82利息力与贴现力是等价的1.2利息问题求解价值等式：一项金融业务，涉及到四个基本的变量：1.原始投资本金2.投资期限3.利率4.本金在投资期末的累积值在这四个变量中，知道任何三个，可求出第四个。通常情况下，人们需要求解利率、投资期限和最终的累积值83价值等式1）货币具有时间价值2）必须在同一个时点才能进行价值的比较（比较日期）3）建立时间图例1.2.18401234n-1nx1x2y1y2y31.2.1如何确定利率一、根据四个基本变量列出关于利率的求值方程（价值方程）85二、采用适当的方法计算未知利率1.解析法：适用于简单的利率问题求解2.线性插值法：适用于复杂一点的利率问题求解3.迭代法：是线性插值法的多次应用，计算的结果比较精确解析法根据求值方程，直接求解未知的利率：86例题：1000元要在6年内累积到1600元，每季度结转一次利息，年利率应该多少？线性插值法1.根据已知条件，建立关于未知利率的求值方程，并进行变换。87ii1i0i22.假定利率函数随时间线性变化，利用线性关系求解未知利率迭代法

适用于：无法得到利率解析式，不能直接用解析法求解。是多次应用线性插值法。例题：如果现在投入1000元，第三年底投入2000元，在第十年底的全部收入为5000元，计算每半年转换一次的年名义利率。解：设88迭代法89课堂练习题例：某资金账户现金流如下：在时刻0时有100元资金支出，在时刻5时有200元资金支出，在时刻10时有最后一笔支出；作为回报，在时刻8有资金收回600元。试计算时刻10时的支出金额，假定每半年转换一次的年利率为8%901.2.2未知时间问题一、本金一次投入，期末取得所有累积值1.建立关于时间的求值方程2.利用解析法求解未知时间91例题：将1000元按年利率6%，每半年结转一次，复利投资，问积累到1500元所需的时间长度？1.2.2未知时间问题1.建立求值方程：922.求解未知时间：当i=8%时，投资加倍的72规则二、本金翻一番所需要的时间P31，表1.2.11.2.2本金和累积值都有变化的情况

（某个时刻的一次性支付与不同时刻的多次支付等价）设在时刻t1、t2、t3、‥‥、tn分别付出金额s1、s2、s3、‥‥sn，如何确定时刻t，使得在该时刻付出的金额93等价于分别付出的金额之和：建立求值方程:特例：当等额还款时，例题预定在第2、3、8年末分别付款100元、200元和500元，假设年实际利率为5%，试确定一个一次付款800元的时刻。94按精确公式计算：投资期的确定在投资活动中，通常情况下，投资期限不是整数需要折算投资天数和年数：年数=投资期天数/基础天数折算方法：1）严格单利法（英国法，实际/实际法）：以年实际天数为准。通常一年365天，2014年有384天2）常规单利法：一年360天，一个月30天实际天数=360（Y2-Y1）+30（M2-M1）+（D2-D1）3）银行家规则：一年360天计，天数以实际天数为准例1.2.2，1—21。95本章小结1.利率的度量和计算2.贴现率的计算3.金融活动中现值和终值的计算4.利率和贴现率之间的关系5.有关利率问题的计算6.投资期限的决定96练习题1.现有以下两种5年期的投资选择：甲，年利率7%，每半年计息一次；乙，年利率7.05%,每年计息一次，比较两种投资的选择。2.经过多少时间，1000元以利率6%累计的终值是4%累计终值的两倍？3.已知某资本在一年内产生的利息量为336，产生的贴现量为300，计算该资本。4.分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下，计算d597例题如何用贴现率比较收益？现有面额为100元的债券在到期前一年的时刻价格为95元，一年期储蓄利率为5.25%，如何进行投资选择？解：从贴现的角度看，债券的贴现率为：98储蓄的贴现率为：从年利率的角度看：债券的债券投资略优于储蓄第二章年金本章学习目标……1.年金的含义和种类2.非标准期的年金问题3.利率问题求解、未知时间问题求解4.变利率年金5.付款频率与计息频率不同的年金6.变额年金7.连续年金99年金为什么要学习年金?你对年金的基本内容了解多少？年金的基本内容有哪些？1.年金价值的计算？现值、终值、任意时点上的值2.年金资金流的收益率计算？3.年金资金流的投资时期计算4.资金流的发生周期与利率结转周期不相等时；每期利率变化不相等时，年金的价值计算？收益率的计算？投资时期的计算等等。等额年金的含义年金(annuity)：间隔相等的一系列收付款或间隔相等的一系列资金流。如，房屋的租金、抵押贷款的偿还、分期付款、利息支付、保险费的缴纳、保险金的领取、养老金、手机和电话的月租费、公用事业费等。1）是许多复杂现金流的基础2）是利率计算的最直接的一种应用等额年金（标准型）：间隔周期相等的等额资金流（1）每期的收付额相等（2）收付的间隔时期相等，利率不变（3）付款的频率和计息的频率相同（4）付款周期与计息周期相同

101年金的种类1.确定年金和风险年金：确定年金的支付时间和支付金额事先确定风险年金的支付时间和支付金额不确定。生命年金2.定期年金和永续年金：定期年金的支付期限是有限期间，有固定的到期日付息债券的息票收入。永续年金的支付期限是无限的，没有到期日。股息支付3.等额年金和变额年金：等额年金的每期支付额相等，变额年金的每次支付额不全相等102年金的种类4.期初付年金和期末付年金：期初付年金的支付是在每个周期的期初月初发工资和养老金期末付年金的支付是在每个周期的期末月末发工资和养老金5.即期年金和延期年金：即期年金是指当期开始支付延期年金是指一定时期后开始支付2.1.1期末付年金年金现值：年金在期初的价值1）期末付定期年金的现值：单位资金的收付104时期0年金21n-1n1111…2.1.1期末付年金年金终值：年金在支付结束时的累积值，永续年金没有终值2）期末付定期年金终值：单位资金的收付10512n-2时期年金11111（1+i)example1.Findthepresentvalueofanannuitywhichpays$500attheendofeachhalf-yearfor20years,iftherateofinterestis9%convertiblesemiannually.106example2.Ifapersoninvests$1000at8%perannumconvertiblequarterly,howmuchcanhewithdrawattheendofquartertouseupthefundexactlyattheendof10years?1072.1.2期初付（预付）年金1）预付定期年金的现值：单位资金的收付108时期0年金21n-1n111…112.1.2期初付（预付）年金2）期初付定期年金的终值109109012n-2n-1n111（1+i）12.1.3永续年金的现值1）期末付永续年金的现值：1102）期初付永续年金的现值：例题1.一位投资者希望投资一笔年金，到第12年之末积累到1000元。为此他打算每年年底存入一笔钱，最后一次存款将在投资时期结束前一年。如果此基金的实际利率为7%，问他每年应存入多少钱？解：视为期初付款，建立求值方程：111课堂练习题有一笔1000元的贷款，为期10年。若实际利率为年率9%，试对下面三种还款方式比较其利息总量：1）第10年末，本金利息一次还清2）每年支付利息，本金第10年末归还3）贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清解：1122）每年的利息=1000×0.09=90，所以支付的利息总量为90×10=900元3）设相等的付款为R,为何第三种方式的利息较小例题1.某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利0.5%的情况下，每月初需要存入多少钱，才能达到其要求？解：依具题意；设每月初的存款额为D，有113年金现值与终值的关系1.年金现值与终值之间的换算关系：（1）期末付定期年金的终值与其现值的关系114（2）期初付定期年金的终值与其现值的关系2、年金现值与终值之间的倒数关系（1）期末付定期年金：（2）期初付定期年金期末付年金和期初付年金的价值关系现值关系：终值关系：1152.1.4年金在任意时点上的值1.年金在支付期限开始前任意时点上的值2.年金在支付期限内任意时点上的值3.年金在支付期限结束后任意时点上的值116假定：计算的日期离开每次付款日期为整数个时期年金在支付期限开始前任意时点（m）上的值

1.期末付定期年金：1）将现值往前贴现，2）计算总的现值，再减去前m个时期的现值1172.期初付定期年金：1）将现值往前贴现，2）计算总的现值，再减去前m个时期的现值3.期末付永续年金：通过求极限的方式计算，前m个时期的现值为：当m为非整数时，上述结论同样成立年金在支付期内任意时点上的值计算原则：将年金分成两个期限较短的年金，年金在任意时点上的值就等于前一个年金的终值加上后一个年金的现值一般而言，一项经过m次付款（m﹤n）的n个时期年金，其当前值为：118对期初付年金而言：年金在支付期结束后任意时点上的值计算原则：

先计算年金的终值，再按复利往后累计，计算出累计值即可。1）期末付年金：1192）期初付年金：例题A留下一笔100000元的遗产，这笔遗产头十年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的均付给慈善事业D，若此项财产的年实际利率为7%，试确定B、C、D在此项财产中各得多少份额？120B所占的份额为：C所占的份额为：D所占的份额为：2.1.5当支付期数是非整数时

最后一次付款额的处理1.在最后一次正常付款时，附加一笔较小的付款（上浮）2.在最后一次正常付款后，再经过一个时期支付一笔小额付款（扣减）3.在最后一次正常付款后，再在一个非整数的时刻付款2.1.5当支付期数是非整数时

最后一次付款额的处理例题:有一笔1000元的投资用于在每年年底付100元，时间尽可能的长，如果这笔基金的年实际利率为5%，试确定可以做出多少次以及确定较小付款的金额。解：建立关于时间的求值方程，100an=1000，an=10

当i=5%时，14<n<15.

即应有14次的正规付款再加一次较小的最后付款方案一：最后一次付款额度上浮（上浮支付），第14年的求值方程为：100s14+x1=1000(1+5%)14X1=20.072.1.5当支付期数是非整数时

最后一次付款额的处理方案二（扣减付款）：在第15年末的求值方程是：2.1.5当支付期数是非整数时

最后一次付款额的处理方案三：在第14和15次之间付款2.1.7年金的未知利率问题任何一个年金问题都包含四个变量：1.现值或终值（a,s）2.收付额（R）3.利率（i）4.收付期数（n）计算其中的未知利率:1.建立求值方程

2.求解未知的利率可以用：1.解析法2.级数展开法3.线性插值法4.迭代法125解析法适合于支付期数n较小的情况例题：如果每年初存入银行500元，两年末可获得1200元，利率是多少？解：126级数展开法利用级数展开原理将年金看成是未知利率i的函数将年金的价值公式（现值或终值）按泰勒级数展开取展开式的前两项或三项，得到未知利率i的方程求解该方程可得利率i127级数展开法假设128级数展开法将现值的倒数按泰勒级数展开129线性插值法适合于n较大的年金未知利率问题的求解1.通过对已知的现值公式或终值公式等年金值以及导数进行展开2.利用线性插值法求解未知利率

实际中不常用130迭代法1.建立迭代法的基本等式it+1=f(it)2.确定初始值i03.利用迭代法计算i迭代公式：131期末付年金：Newton-Raphson迭代公式：132初始值的确定：利用现值和支付期数计算期末付年金的未知利率例题在利率为i时，某人存入银行8000元，然后每年末从银行支取1000元，共取10年，恰好支取完毕，计算i。解：1332.1.6年金的未知时间问题已知期末付年金的现值为A，年利率为i，求解支付期数。用解析法：134若已知年金终值s和利率i：n可能不是整数若n不是整数，应该如何处理？2.2.1可变利率年金的现值和终值

（利率在每个投资期限内不全相等）1.每笔款项都以其支付时的利率计算2.每笔款项经历哪个时期，就以那个时期的利率计算1）期末付年金的现值2）期初付年金的现值3）期末付年金的终值4）期初付年金的终值1350123n-1ni1i2i3in每笔款项都以其支付时的利率计算

1）期末付年金的现值公式为：2）期初付年金的现值公式为：3）期末付年金的终值公式为：4）期初付年金的终值公式为：136每笔款项经历哪个时期，就以那个时期的利率计算

1）期末付年金的现值公式为：2）期初付年金的现值公式为：137每笔款项经历哪个时期，就用那个时期的利率计算

3）期末付年金的终值公式为：4）期初付年金的终值公式为：138例题

试确定一笔每年付款100元，为期10年的期末付年金的累计值，假定前6年的实际利率5%，而后4年为4%。1）以资金支付时的利率计算：累计值=100[S6,0.05(1+0.05)4+S4,0.04]=1251.43元2）以年金经历时期的利率计算：累计值=100S6,0.05(1+0.04)4+100S4,0.04=1220.38元139小结年金价值的计算年金的利率问题求解1.解析法；2.级数展开法；3.线性差值法；4.迭代法；年金的时间问题求解当年金的支付次数是非整数时，最后一次付款的处理1.上浮支付；2.扣减支付；3.正常支付变利率年金的价值计算1.以支付额发生时的利率计算；2.以年金经过时间的利率计算资金的支付周期与利息的结转周期不相同时，年金价值的计算？1.调整周期，使其相等2.依据年金价值计算原理1402.2.2付款频率和计息频率不同的年金年金的付款周期和利息的结转周期不相等1.年金的付款周期大于利息结转周期2.年金的付款周期小于利息结转周期141利息的结转周期和年金的支付周期1.利息的结转周期：结转一次利息所需要的时间长度。如每月结转一次利息、每10天结转一次利息、每2个月结转一次利息、每年结转一次利息、每2年结转一次利息等。利息结转周期越短，实际利率越高。2.年金的支付周期：支付一次资金所需要的时间长度。如每月支付一次、每10天支付一次、每季度支付一次、每年支付一次。支付周期反映了年金的支付密度，频率。当利息结转周期和资金的支付周期不一致时，年金有关问题的计算将会复杂一些。142广义年金

（付款周期与利息结算周期不相等）有关年金价值计算的处理：1.将利率调整为与支付周期相同的利率2.用调整后的利率，依据年金原理进行计算143例题1.现有投资方式为：前两年每季度初投入200元，后两年每季度初投入100元；该投资的月收益率为1%，试计算四年后总的投资收益。解：先计算与月收益率1%等价的季度收益率j;144例题2.某30万元的贷款计划分季度等额偿还，在5年内完成。如果贷款利率为半年结转的年利率10%，计算每次偿还的金额。解：半年度实际利率为5%，等价的季度实际利率为j;145每个支付周期结转K次利息的年金

利息结转次数大于年金支付次数、付款周期大于利息结转周期、付款频率小于计息频率1.进行利率转换，使利率的结转周期和年金支付周期相等2.不进行利率转换，按年金原理直接建立新的计算公式146定义一组符号：n为利息结转总次数，k为每个支付周期的利息结转次数，n/k为年金的支付次数，i为每次结转利息的实际利率付款周期大于利息结转周期147支付周期结转周期1111K次K次K次K次n为利息结转总次数n/k为年金的支付总次数期末付年金的现值和终值1.现值：1482.终值：例题例：十万元投资在每年底收回1万元，当不足1万元时，将不足部分与最后一次的1万元一起收回，如果半年度结转的年利率为7%，试计算总的付款次数和最后一次付款的金额。解：本题付款周期为一年，利息结转周期为半年，即k=2,设总的付款次数为n,利息结转次数为2n,求值方程为：149例题150设最后一次付款金额为10000+R,则有:期初付年金的现值和终值1.现值：1512.终值：永续年金期末付款1元的永续年金现值：152期初付款1元的永续年金现值：例题1.某人1月1日存入银行10000元，每季末从银行领取500元，直到剩余额经过一个季度积累的本利和不够一次领取额为止，剩余额在最后一次足额领取时一并支出。每月利率为0.5%，计算足额领取次数和不足部分。解：k=3,由公式得出：153例题2.每月实际利率为1%，甲每季度初在银行存款1000元，共存3年。以后两年，每季度初存入2000元，计算甲在第5年末存款的累积值。解：5年中共有60个计息期，而付款期为20个，即n=60,k=3，存款累积值为；154每个利息结转周期支付m次的年金

(支付次数大于结转次数，付款周期小于利息结算周期）计算方法：将利率进行转换，使结转周期和支付周期相等，再利用年金计算原理进行计算。定义一组符号：n为利息结转总次数，m为每个利息结转周期内的支付次数，i为每个利息结转周期的实际利率。nm为年金支付总次数155每次付款1/m元，每个利息结转周期付款1元111m次1/m1/m1/m期末付年金1.现值：1562.终值：

是名义利率157例题1.考虑一个十年期每月付款400元的年金，用年利率i表示以下的量：1）在首次付款两年前的现值2）在末次付款三年后的终值解：年付款额为400x12=4800元,n=10,m=12158期初付年金1591.现值：2.终值：是名义贴现率永续年金161在每个周期末付款1/m元的永续年金的现值在每个周期初付款1/m元的永续年金的现值例题2.已知每半年付款一元的永续年金的现值为10元，计算年利率。解：一年付款总额为2元，所以有：162例题3.一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使此年金的现时值为10元，年度实际利率应为多少？解：求值方程为：163连续年金连续年金：是指付款间隔（付款周期）充分小、付款次数充分大、付款频率充分快的年金1、现值：1642、终值：3、连续年金的现值与基本年金现值的关系：4、连续年金的终值与基本年金终值的关系：例题1、确定利息效力，使165解：根据前面的公式有;2.2.4基本变额年金1.变额年金的概念2.递增年金和递减年金3.付款额按算术级数变化的年金4.付款额按几何级数变化的年金5.付款周期和支付周期不一致的变额年金6.连续变额年金166变额年金1.付款金额随时间的变化而变化。付款周期等于利息结转周期；各付款期的利率相同（公用事业费）2.常用的变化模式是：递增或递减3.年金价值的计算原则是：分别计算每次付款的现值或终值，然后求和。167递增年金（等差变额年金）1.每次付款的金额逐期增加2.一般地，当每次增加的金额相等时，即首付P元，然后每次增加Q元，总计n次。称之为按算术级数递增的年金。（等额增加、付款额为等差数列）3.特别的，即首付1元，然后每次增加1元，总计n次。4.每期付款的利率是i168期末付年金1.现值：1692.终值：123n-1n期末付年金一般地，设首次付P元，以后每次增加Q,共付n次。其现值为：170期初付款年金1.现值：1712.终值：123n-1n4永续年金的现值1.期末付款：1722.期初付款:首次付P，以后每次增加Q:例题1.设年金的初次付款为1元，以后等额增加1元，实际利率为5%,且期末付款的永续年金的现值。解：173递减年金（等差变额年金）1.每次付款的金额逐期减少，付款间隔和每期利率都相等2.一般地，当每次减少的金额相等时，即首付P元，然后每次减少Q元，总计n次。但P-(n-1)Q>0,称之为按算术级数递减的年金。（等额减少）3.特别的，首次期末付n元，以后每次减少1元，总计n次。其现值和终值分别是：174期末付递减年金1.现值：1752.终值：nn-1n-21期初付递减年金1.现值：1762.终值：nn-1n-221例题1.给出以下期末付年金的现值：首付1元，然后每次增加1元，直至10元，然后固定不变直至第25次付款。解法一：10年递增年金与十份递延10年的15年标准年金之和177解法二：25年递增年金扣除递延10年的15年递增年金解法三：10份25年标准年金扣除9年递减年金付款金额按几何级数变化的年金

（等比例变化年金）1.付款的金额是等比例变化的，付款周期等于利息结转周期、每期利率相等2.首付P元，随后每次增加k倍，总共n次3.期末付款1元，随后每次比前一次增加k倍，总共n次的等比例变化年金的现值为：178例题2.20年期末付比例年金：首次付1000元，每年递增4%，年利率7%，计算现值。179例题3.某期末付永续年金，首期付款5000元，以后每期付款是前一期的付款额的1.05倍，当利率为0.08时，计算该永续年金的现值。解：1802.2.5一般变额年金每个支付周期结转k次利息的变额年金1.年金支付周期大于利息结转周期2.年金支付次数小于利息结转次数递增年金：每次付款额为1、2、3、…、(n/k)-1、n/k.按算术级数递增181递减年金：每次付款额为n/k,(n/k)-1,(n/k)-2,…、3、2、1

按算术级数递减

n为利息结转总次数期末付递增年金1.现值A：1822.终值S：期末递减年金