分式复习讲义

/分式复习讲义一、基本概念1.形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中

A叫做分式的分子叫做分式的分母.2.整式和分式统称有理式,即有理式二、分式的基本性质1.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示即是：（其中M是不等于零的整式）。注意：在分式中，分母的值不能是零。如果分母的值是零，则分式没有意义。2.符号规则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。用式子表示即是：三、运算法则1.乘法法则：2.除法法则：3.加减法则：（1）（2）4.乘方法则：（n为正整数，b）四、例题选讲例1.下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）；（2）；（3）；（4）.解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）.练习1：1.下列各式中，；是整式的有，是分式的有.2.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？2a2，，，，，例2.当取什么值时，下列分式有意义？（1）；（2）.分析：要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.解：（1）分母≠0，即≠1.所以，当≠1时，分式有意义.（2）分母2≠0，即≠-.所以，当≠-时，分式有意义.例3.（1）当x为何值时，分式无意义？（2）当x为何值时，分式的值为零？分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论，而不是讨论化简后的分式；②在分式中，若0，则分式无意义，若B≠0，则分式有意义；③分式的值为零的条件是0且B≠0，两者缺一不可。解：（1）要使分式无意义，则需x2－x－2=0．即：(2)(1)=0所以当2或－1时，分式无意义；（2）要使分式的值为零，则需1=0，且x2+2x－3≠0，即：(3)(1)≠0解得－1．所以当－1时，分式练习2：1.若使分式的值为0，则的取值为.2.如果分式的值为零，则=.3.当，分式有意义。4.当分式表示一个整数时，可取的值共有个。5.当x取何值时，下列分式有意义。（1）；（2）；（3）例4.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.，，，，.分析：每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，同时改变两个符号，分式的值不变.解：;;;;.例5.不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数.解：例6.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：（1）（2）（3）分析：由于要求分式的分子、分母的最高次项的系数是正数，而对分式本身的符号未做规定，所以根据分式的符号法则，使分式中分子、分母与分式本身改变两处符号即可。解：（1）原式.（2）原式.（3）原式.说明：1.分子与分母是多项式时，若第一项的符号不能作为分子或分母的符号，应将其中的每一项变号。2．两个整式相除，所得的分式，其符号法则与有理数除法的符号法则相类似，也同样遵循“同号得正，异号得负”的原则。练习3：1．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1)(2)（3)(4)2.不改变分式的值，使分子第一项系数为正，并且分式本身不带“-”号.（1）（2）（3）例7.约分：（1）（2）解：（1）原式=（2）原式－1例8．通分（1），；（2），；（3），解：（1）与的最简公分母为a2b2＝＝，＝＝.（2）与的最简公分母为()()，即x2－y2＝＝，＝＝.（3）与的最简公分母为x()()，即x32==练习4：1.化简下列分式：（1）；（2）；（3）2.约分：（1）（2）3.通分：（1）（2）例9．计算：(1);(2)解：(1)原式=(2)原式=练习5：1.计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）2.计算下列各题：（1）（2）（4）（5）÷·例10.计算：（1）（2）解：（1）原式（2）原式＝＝＝＝＝＝说明：第（2）题中两个加项的分母不同，要先通分，化为同分母分式。为此，先找出它们的最简公分母。注意到=,所以最简公分母是。练习6：计算下列各题:(1)(2)（3）例11．计算下列各题：（1）．分析：（1）题只含分式的乘除运算，应先把除法化为乘法，再约分；（2）题只含分式的加减运算，应先通分．当分式的分子、分母是多项式时，必须先将多项式分解因式．注意到，，所以最简公分母是解：（1）原式==（2）原式====例12.计算：（1）（2）解：（1）原式====（2）原式===练习7：计算下列各题：(1)()÷（2）(3)(4)例13.解答下列各题：（1）先化简，再求值：－x－2），其中；（2）若=3，求的值．分析：（1）题求值应先分别把条件及所求代数式化简，再将化简后的条件代入化简后的式子中求值．（2）题运用分配规律及整体代入的思想可使运算简便．解：（1）原式3＜∴3－22-3∴当时，原式（2）∵=3，∴2y－3．原式.练习8：1.先化简，再求值：（其中12.先化简，再求值：（）÷，其中20103.先化简，再求值：其中x＝24.先化简，再求值：,其中5.先化简，再求值：，其中6.先化简，再求值：其中，◆探究实践【问题1】西瓜以千克计价，购买西瓜时，希望可食用的部分占整个西瓜的比例越大越好．如果一批西瓜的皮厚都是d，试问买大西瓜合算还是买小西瓜合算？（把西瓜都看作球形，并设西瓜瓤内物质的密度分布是均匀的，v球3）解：设西瓜的半径为R，则可以食用部分的半径为，可以食用部分与整个西瓜的体积的比为：．因为d为常数，可见R越大，越小，1－越大，从而可以食用部分占整个西瓜的比越大，所以说购买大西瓜更合算．【问题2】阅读并计算下列各式：；猜想：评析：把一分式“分解”为两个分式的代数和的形式能使得运算简捷，体现了式的恒等变换的重要功能．五.分式方程及其解法1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫分式方程.2.分式方程的解法（1）去分母法的步骤：\o\(○,1)去分母法：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

\o\(○,2)解这个整式方程；

\o\(○,3)把整式方程的根代入最简公分母中检验，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母进行运算.(2)换元法用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后再求出原来的未知数．例1：解方程：=－2解：去分母，方程两边同乘以x－3,得：2－－1－2（x－3）解这个方程，得3.检验：把3代入公分母（x－3）中，公分母x－3的值为零，即3时，方程中的分式无意义，因此3不是原方程的根.∴原方程无解.例2：解方程：（1）=；（2）2.解：（1）去分母，方程两边同乘以x（x－1），得：34（x－1）解这个方程，得4检验：把4代入x（x－1）=4×3=12≠0，∴原方程的根为4.（2）去分母，方程两边同乘以（2x－1），得10－5=2（2x－1）解这个方程，得检验：把代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0.∴原方程的根为.例3：若关于x的方程=有增根，求m的值.分析：首先增根是分式方程转化为整式方程时所得到的整式方程的根，其次增根又是使最简公分母为零的数。关于x的方程=有增根，则此增根必使3x－9=0，即必有3（x－3）=0，所以增根必定为3.解：去分母，方程两边同乘以3（x－3），得：3（x－1）2.根据题意，3是上面整式方程的根，∴3（3－1）2,∴±.例4：解方程7解：设；则.于是原方程变形为：方程两边都乘以y，约去分母整理得：2y2-76=0解这个方程得：y1=2；y2=当y1=2时，=2，去分母并整理得：x2-21=0解得：当y2=时，=，去分母并整理得：x2-31=0解得：检验：把，分别代入原方程的分母中，因为各个分母都不等于零，所以它们都是原方程的根.∴原方程的根是：；；；.例5：解方程解：设；则原方程变形为：解这个方程得：解这个方程得：y12；y23当y12时，2，去分母并整理得：32解方程得：当y23时，3，去分母并整理得：43解方程得：检验：把；分别代入原方程的分母中，因为各个分母都不等于零，所以它们都是原方程的根.∴原方程的根是：；.基础练习1．用换元法解分式方程时，设＝y，原方程变形为（）（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝02．用换元法解方程x2＋8x＋＝23，若设y＝，则原方程可化为（）（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=03．若解分式方程\F(2－1)－＝\F(x＋1)产生增根，则m的值是（）（A）－1或－2（B）－1或2（C）1或2（D）1或－24．解方程\F(4)－\F(1－1)＝1时，需将方程两边都乘以同一个整式约去分母，所乘的这个整式为（）（A）x－1（B）x（x－1）（C）x（D）x＋15．先阅读下面解方程x＋\R(－2)＝2的过程，然后填空.解：（第一步）将方程整理为x－2＋\R(－2)＝0；（第二步）设y＝\R(－2)，原方程可化为y2＋y＝0；（第三步）解这个方程的y1＝0，y2＝－1（第四步）当y＝0时，\R(－2)＝0；解得x＝2，当y＝－1时，\R(－2)＝－1，方程无解；（第五步）所以x＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是，第四步中，能够判定方程\R(－2)＝－1无解原根据是。上述解题过程不完整，缺少的一步是。独立练习：1.给出下列六个方程：（1）x2－2x＋2＝0（2）\R(－2)＝1－x（3）\R(－3)＋\R(－2)＝0（4）\R(＋1)＋2＝0（5）\F(1)＋\F(1－1)＝0（6）\F(1－1)＋1＝\F(－1)其中有实数解的方程有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）多于2个2.方程－1＝\F(1＋2)的解是（）（A）－1（B）2或－1（C）－2或3（D）33.当分母解x的方程\F(x－3－1)＝\F(－1)时产生增根，则m的值等于（）（A）－2（B）－1（C）1.（D）24.下列方程中有实数解的是（）（A）\R(＋2)＋5＝4（B）\R(,3－x)＋\R(－3)＝0（C）x2－2x＋4＝0（D）\F(2,x＋1)＋\F(3－1)＝5.能使（x－5）＝0成立的x是。6.方程\F(1,x－1)＝\F(4,x＋2)的解是.7．设y＝时，分式方程（\F(x,x－1)）2＋5（\F(x,x－1)）＋6＝0可转化为.8.解下列方程：（1）（2）（3）x2＋－\F(7,2)（x－\F(1)）＋1＝0（4）x