2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第三章3-2-2　双曲线的简单几何性质

3.2.2双曲线的简单几何性质A级必备知识基础练1.已知双曲线x2a2y2=1(a>0)的离心率是5,则a=A.6 B.4 C.2 D.12.(多选题)下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的是()A.x29-B.y24C.x24-D.y2123.已知双曲线方程为x2y24=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则直线l共有(A.4条 B.3条 C.2条 D.1条4.(多选题)已知双曲线C:x23-y2m=1过点(3,A.双曲线C的焦距为4B.双曲线C的离心率为3C.双曲线C的渐近线方程为y=±33D.直线2x3y1=0与C有两个公共点5.若实数k满足0<k<9,则曲线x225-y29-k=1A.焦距相同 B.实半轴长相等C.虚半轴长相等 D.离心率相等6.已知双曲线y2a2-x2b2=1的实轴长、虚轴长、焦距7.过双曲线x2y23=1的左焦点F1,作倾斜角为π6的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=8.双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B9.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=53(2)经过点C(3,2),且与双曲线x28B级关键能力提升练10.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=π2,则双曲线的离心率等于(A.21 B.2 C.2+1 D.2+211.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为π3的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,A.2+1 B.3+1 C.2 D.512.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A.y=±12x B.y=±22C.y=±x D.y=±2x13.已知双曲线方程为2x2y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为()A.4x3y+1=0 B.2xy1=0C.3x4y+6=0 D.xy+1=014.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为()A.x23y2=B.x23C.y23-D.y22115.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:x2y2=1的左、右焦点,P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且PF1·PF2A.双曲线C的渐近线方程为y=±xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.△PF1F2的面积为116.已知l为双曲线C:x2a2-y2b2=1的一条渐近线,其倾斜角为π4,且C的右焦点为(2,0),则17.已知F为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若18.已知点A(3,0)和B(3,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.(1)求点C的轨迹方程;(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D,E两点,求线段DE的长.C级学科素养创新练19.(多选题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F1(26,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF1A.3 B.2 C.5 D.320.已知F为双曲线C:x24-y29=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(13,0)在线段PQ上,则3.2.2双曲线的简单几何性质1.D∵双曲线的离心率e=ca=5,∴a2+1a=5,解得a=2.ABD令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.3.B因为双曲线x2y24=1的渐近线方程为y=±2x,所以过点P(1,0)且与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=1或y=2x2或y=2x+2,共有3条.故选4.AC由双曲线C:x23-y2m=1过点(3,2),可得m=1,则双曲线C的标准方程为所以a=3,b=1,c=a2+b2=2,因为双曲线C的焦距为2c=4,因为双曲线C的离心率为ca=23=因为双曲线C的渐近线方程为y=±33x,所以选项C正确将直线2x3y1=0与双曲线x23y2=1联立,消去y可得3x24x+4=0,Δ=(4)24×3×4=32<0,所以直线2x3y1=0与双曲线C没有公共点,所以选项D5.A由于0<k<9,则9k>0,即曲线x225-y29-k=1为焦点在∵9k>0,∴25k>0,即曲线x225-k-y29=1为焦点在故两曲线的焦距相同,故选A.6.y=±34x依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c因为c2=a2+b2,所以(2ba)2=a2+b2,解得a=34b,于是双曲线渐近线方程为y=±abx=±37.3依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(2,0),直线AB的方程为y=33(x+2)由y=33(x+2),x2-设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=13所以|AB|=1+k2·|x1x=[1+(=(1+=3.8.解由题意得,双曲线x29-y216=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),不妨设直线FB的方程为y=43(x5),代入双曲线方程并整理,得x2(x5)2=解得x=175,y=3215,所以B175,32所以S△AFB=12|AF||yB|=12(ca)·|yB|=12×(53)9.解(1)设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则2b=8,e=ca=53,从而b=4,代入c2=a2+b(2)由题意可设所求双曲线方程为x28-y216=λ(λ≠0),将点C(3,2解得λ=14,所以所求双曲线的标准方程为x2210.C不妨设双曲线标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),依题意知直线因为∠PF1Q=π2,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=b2a,于是2ac=b2=c2a2,所以e22e1=0,解得e=2+1或e=12(舍去),11.B设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=3x,代入双曲线方程并化简,得x2=a2b2b2-3a2,y2=3x2=3a2b2b2-3a2,故x1+x2=0,x1·x2=-a2b2b2-3a2,y1·y2=3x1·x2=-3a2b2b2-3a2,设焦点坐标为F(c即b46a2b23a4=0,两边除以a4,得ba46ba23=0,解得ba2故c=1+ba2=4+212.C设双曲线的半焦距为c,则F(c,0),将x=c代入双曲线x2a得y=±b2a,不妨取Cc,b又A1(a,0),A2(a,0),故kA1B因为A1B⊥A2C,故b2a即b4a2(c2所以a=b,故渐近线方程是y=±bax=±x13.A设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2,两式相减得,2(x1x2)(x1+x2)(y又x1+x2=4,y1+y2=6,∴8(x1x2)6(y1y2)=0,即kPQ=43因此直线PQ的方程为y3=43(x即4x3y+1=0.经验证,直线4x3y+1=0与双曲线相交.因此适合题意的直线方程为4x3y+1=0,故选A.14.ABD依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±33x或y=±3x,根据选项检验可知ABD均可能15.ACD易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,故A正确;由a=b=1得c=2,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;易知F1(2,0),则F1到双曲线的一条渐近线的距离d=|-2-0|2=由PF1·PF2=0得,PF1⊥PF2,因此点P在圆x2+y2=2上,由x2+y2=2,x2-y2=1,得y2=12,故D正确.故选ACD.16.(2,0)x22-y22=1由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k=b解得a=b=2,则双曲线的右顶点为(2,0),C的方程为x22-17.233如图所示,过F向另一条渐近线引垂线,垂足为由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±bax则F(c,0)到渐近线的距离d=|bc|即|FA|=|FD|=b,又|OF|=|FB|=c,则|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c.∵△OFB为等腰三角形,∴D为OB的中点,∴|OB|=2a.∵AB⊥OA,∴|OB|2=|OA|2+|AB|2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2bc2b2=0,∴c=2b.则2a=3c,∴e=ca18.解(1)∵点A(3,0)和B(3,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.|AB|=23>2,∴点C的轨迹方程是以A(3,0)和B(3,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=3,∴点C的轨迹方程是x2y22=(2)∵点C的轨迹方程是2x2y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x2.∴联立2x2-y2=2,y=设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=4,x1x2=6,∴|DE|=(1+1)[(-4故线段DE的长为45.19.ABC由右焦点为F1(26,0),点A的坐标为(0,1),|AF1|=24+1=5,由△APF1的周长不小于14,可得|PA|+|PF1|的最小值不小于9,又F2为双曲线的左焦点,可得|PF1|=|PF2|+2a,|PA|+|PF1|=|PA|+|PF2|+2a,当A,P,F2三点