三单元立体及其表面交线

第三单元立体及其表面交线第一节平面体及其切割的投影作图第二节

曲面体及其切割的投影作图第三节两圆柱体正交及同轴回转体相贯的投影作图第一节平面体及其切割的投影作图

表面由平面围成的立体称为平面体。常见的平面体主要有棱柱和棱锥。棱柱和棱锥通过叠加或切割可以构成形状各异的主体。

平面与立体表面的交线称为截交线，该平面为截平面。平面与平面体相交，截交线是由直线围成的平面多边形，是截平面与平面体的共有线。一、棱柱1

投影分析正六棱柱的顶面和底面是互相平行的正六边形，六个棱面均为矩形，且与顶面和底面垂直。为作图方便，选择正六棱柱的顶面和底面平行于水平面，并使前、后两个棱面与正面平行。2作图步骤

1）作正六棱柱的对称中心线和底面基线，先画出具有轮廓特征的俯视图——正六边形。

2）按长对正的投影关系，并量取正六棱柱的高度画出主视图，再按高平齐、宽相等的投影关系画出左视图。3棱柱体表面上的点的投影已知正六棱柱的侧棱面ABCD上的点M的正面投影m′，求作m和m″。由于点M所在棱面是铅垂面，其水平投影积聚成直线abcd，因此，点M的水平投影必在该直线上，可由m′直接作出m，再由m′和m作出m″。因为棱面ABCD的侧面投影可见，所以m″可见。

正六棱柱的投影特征是：顶面和底面的水平投影重合，并反映实形——正六边形，六边形的正面和侧面投影均积聚为直线.

六个棱面的水平投影分别积聚为六边形的六条边；正面投影反映实形，侧面投影积聚成两条直线；正面和侧面投影虽仍为矩形，但都小于原形。二、棱锥1投影分析四棱锥前后、左右对称，其水平投影反映实形。左、右两个棱面垂直于正面，它们的正面投影积聚成直线。前、后两个棱面垂直于侧面，侧面投影积聚成直线。与锥顶相交的四条棱线不在三个投影面上的投影都不反映实长。2作图步骤

1）作四棱锥的对称中心线、轴线和底面，先画出底面俯视图——矩形。

2）根据四棱锥的高度在轴线上定出锥顶S的三面投影位置，然后在主、俯视图上分别用直线连接锥顶与底面四个顶点的投影，即得四条棱线的投影。再由主、俯视图画出左视图。3四棱锥体表面上点的投影已知四棱锥棱面SBC上的点M的正面投影m′，求作m和m″。作图方法是：在SBC棱面上，由锥顶S过点M作辅助线SE，因为点M在直线SE上，则点M的投影必在直线SE的同面投影上。所以只要作出SE的水平投影se，即可作出M点的水平投影m。

在主视图上由s′过m′作直线交于b′c′得e′，再由s′e′作出se，在se上定出m。由于棱面SBC是侧垂面，也可由m′直接作出m″。【案例1】绘制正六棱柱被正垂面切割后的三视图。

六棱柱被正垂面切割，截平面P与六棱柱的六条棱线都相交，截交线是一个六边形。六边形的顶点为各棱线与P平面的交点。【案例2】画出平面切割体的三视图。该切割体可看成是用正垂面P和铅垂面Q分别切去长方体的左上角和左前角而形成。平面P与长方体表面的交线ⅠⅡ、ⅢⅣ是正垂线；平面Q与长方体表面的交线AB、CD是铅垂线；而P面与Q面的交线AD则是一般位置直线。一、圆柱第二节曲面体及其切割的投影图

圆柱体的表面是圆柱面与上、下两底面。圆柱面可看作由一条直母线绕平行于它的轴线回转而成。直母线在圆柱面上的任一位置称为圆柱面的素线。1投影分析当圆柱轴线垂直于水平面时，圆柱上、下底面的水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚成直线。圆柱面的水平投影积聚为一圆周，与两底面的水平投影重合。2作图方法画圆柱体的三视图时，先画各投影的中心线，再画圆柱面投影具有积聚性圆的俯视图，然后根据圆柱体的高度画出另外两个视图。3圆柱体表面上点的投影已知圆柱面上点M的正面投影m′，求作m和m″。首先根据圆柱面水平投影的积聚性作出m。由于m′是可见的，则点M必在前半圆柱面上，m必在水平投影圆的前半圆周上。再按投影关系作出m″。由于点M在右半圆柱面上，所以（m″）不可见。二、圆锥1投影分析锥底面平行于水平面，水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚成直线。圆锥面的三个投影都没有积聚性，其水平投影与底面的水平投影重合，全部可见。2作图方法画圆锥的三视图时，先画各投影的轴线，再画底面圆的各投影，然后画出锥顶的投影和锥面的投影（等腰三角形），完成圆锥的三视图。3圆锥体表面上点的投影已知圆锥表面上点M的正面投影m′，求作m和m″。根据点M的位置和可见性，可确定点M在前、左圆锥面上，点M的三面投影均为可见。作图方法：（1）辅助素线法。（2）辅助纬圆法。三、圆球1投影分析球面上最大圆A将圆球分为前、后两个半球，前半球可见，后半球不可见，正面投影为圆a′，形成了主视图的轮廓线，而其水平投影和侧面投影都与相应的中心线重合，不必画出；最大圆B将圆球分为上、下两个半球，上半球可见，下半球不可见，俯视图中只要画出B的水平投影图b。2作图方法先确定球心的三面投影，过球心分别画出圆球垂直于投影面的轴线的三投影，再画出与球等直径的圆。3圆球表面上的点的投影已知球面上点M的正面投影（m′），求m和m″。由于球面的三个投影都没有积聚性，可利用辅助纬圆法求解。过（m′）作水平纬圆的正面投影a′b′，再作出其水平投影（以o为圆心，a′b′为直径画圆）。由（m′）在该圆的水平投影上求得m，由于（m′）不可见，所以m在后半球面上。又由于（m′）在下半圆球面上，所以m不可见，在投影符号上加括号。再由（m′）、（m）求得m″。由于点M在左半球面上，m″可见。四、平面切割回转曲面体

平面切割曲面体时，截交线的形状取决于曲面体表面的形状以及截平面与曲面体的相对位置。平面与回转曲面体相交时，其截交线一般为封闭的平面曲线或直线，或直线与平面曲线组成的封闭平面图形。作图的基本方法是求出曲面体表面上若干条素线与截平面的交点，然后光滑连接而成。截交线上一些能确定其形状和范围的点，如最高与最低点、最左与最右点、最前与最后点，以及可见与不可见的分界点等，均称为特殊点。作图时通常先作出截交线上的特殊点，再按需要作出一些中间点，最后依次连接各点，并注意投影的可见性。【案例1】圆柱被正垂面斜切，已知主、俯视图，补画左视图。截平面P与圆柱的轴线倾斜，截交线为椭圆。P面是正垂面，截交线的正面投影积聚在p′上；圆柱面的水平投影有积聚性，截交线的水平投影积聚在圆周上。1）求特殊点。最低点A和最高点B是椭圆长轴的两端点，也是位于圆柱最左、最右素线上的点。最前点C和最后点D是椭圆短轴的两端点，也是位于圆柱最前、最后素线上的点。

2）求中间点。可先作出它们的水平投影e、f、g、h和正面投影e′（f′）、g′（h），再作出侧面投影e″、f″、g″、h″。

3）依次光滑连接a″、e″、c″、g″、b″、h″、d″、f″、a″，即为所求截交线椭圆的侧面投影。【案例2】求作带切口圆柱的侧面投影。圆柱切口由水平面P和侧平面Q切割而成，由截平面P所产生的截交线是一段圆弧，其正面投影是一段水平线，水平投影是一段圆弧。截平面P与Q的交线是一条正垂线BD，其正面投影积聚成点b′（d）′，水平投影b和d在圆周上。由截平面Q所产生的截交线是两段铅垂线AB和CD。

1）由p′向右引投影连线，再从俯视图上量取宽度定出b″、d″。

2）由b″、d″分别向上作竖线与顶面交于a″、c″，即得由截平面Q所产生的截交线AB、CD的侧面投影a″b″、c″d″。【案例3】补全接头的三面投影。接头是由一个圆柱体左端开槽（中间被两个正平面和一个侧平面切割）、右端切肩（上、下被水平面和侧平面对称地切去两块）而形成。所产生的截交线均为直线和平行于侧面的圆弧。

1）根据槽口的宽度，作出槽口的侧面投影（两条竖线），再按投影关系作出槽口的正面投影。

2）根据切肩的厚度，作出切肩的侧面投影（两条虚线），再按投影关系作出切肩的水平投影。第三节两圆柱体正交及同轴回转体相贯的投影作图1空间及投影分析两圆柱轴线垂直相交称为正交，当直立圆柱轴线为铅垂线，水平圆柱轴线为侧垂线时，直立圆柱面的水平投影和水平圆柱面的侧面投影都具有积聚性。2作图步骤

1）求特殊点。最高素线与直立圆柱最左、最右素线的交点A、B是相贯线上的最高点，也是最左、最右点。

2）求中间点。利用积聚性，在侧面投影和水平投影上定出e″、f″和e、f，再作出e′、f′。

3）依次光滑连接a′、e′、c′、f′、b′，即为相贯线的正面投影。一、不等径两圆柱正交1）如图a所示，若在水平圆柱上穿孔，就出现了圆柱外表面与圆柱孔内表面的相贯线。这种相贯线可以看成是直立圆柱与水平圆柱相贯后，再把直立圆柱抽去而形成。再如图b所示，若要求作两圆柱孔内表面的相贯线，作图方法与求作两圆柱外表面相贯线的方法相同。2）如下图所示，当正交两圆柱的相对位置不变，而相对大小发生变化时，相贯线的形状和位置也将随之变化。4不等径圆柱正交时相贯线的简化画法工程上两圆柱正交的实例很多，为了简化作图，国家标准规定，允许采用简化画法作出相贯线的投影，即以圆弧代替非圆曲线。当轴线垂直相交，且轴线均平行于正面的两个不等径圆柱相交时，相贯线的正面投影以大圆柱的半径为半径画圆弧即可。案例：已知相贯体的俯、左视图，求作主视图，该相贯体由一直立圆筒与一水平半圆筒正交，内外表面都有交线。外表面为两个等径圆柱面相交，相贯线为两条平面曲线（椭圆），其水平投影和侧面投影都积聚在