数学九年级上册专题21.3 直接开平方法解一元二次方程-重难点题型（人教版）（教师版）

专题21.3直接开平方法解一元二次方程-重难点题型【人教版】【知识点1直接开平方法解一元二次方程】根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程的条件】【例1】（2020秋•环江县期末）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0【分析】根据直接开平方法求解可得．【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式1-1】（2020秋•乐亭县期中）若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0【分析】根据非负数的性质可知（x﹣1）2≥0，所以当m+1≥0时，关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，由此求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，∴m+1≥0，∴m≥﹣1．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．【变式1-2】（2020春•南岗区校级月考）若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围是．【分析】根据方程无实数根，得到方程右边为负数，求出m的范围即可．【解答】解：∵（4x﹣3）2＝m+3无实数解，∴m+3＜0，解得：m＜﹣3．故答案为：m＜﹣3．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．【变式1-3】（2020秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．【分析】（1）利用非负数的性质得到4m﹣1≥0，然后解不等式即可；（2）先把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1中求出m，则方程化为（x﹣1）2＝1，然后利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得4m﹣1≥0，解得m≥1（2）把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1得（2﹣1）2＝4m﹣1，解得m=1∴方程化为（x﹣1）2＝1，∴x﹣1＝±1，解得x1＝2，x2＝0，∴方程的另一个根为0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．【题型2解形如x2=p(p【例2】（2020秋•梁溪区校级期中）解方程：（1）x2＝9；（2）4x2﹣25＝0．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：（1）∵x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3；（2）∵4x2﹣25＝0，∴4x2＝25，则x2=25∴x1=52，x2【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式2-1】（2020秋•江城区期中）解方程4x2﹣13＝12【分析】移项，合并同类项，两边开方，即可求出答案．【解答】解：移项得：4x2＝13+12，4x2＝25，x2x=±25x1【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．【变式2-2】（2020秋•马山县期中）解方程：1﹣8x+16x2＝2﹣8x．【分析】先将方程移项、合并同类项得到16x2＝1，再两边同时除以16，得到x2=116，从而把问题转化为求【解答】解：1﹣8x+16x2＝2﹣8x，移项、合并同类项，得16x2＝1，两边同时除以16，得x2=1解得x＝±14【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．【变式2-3】（2020春•金山区期中）解关于x的方程：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．【分析】采用直接开平方的方法解一元二次方程解答即可．【解答】解：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．（1+a）x2＝2，当a＜﹣1，无解，当a＞﹣1，x=±2x1【点评】此题考查解一元二次方程，关键是直接开平方的方法解一元二次方程解答．【题型3解形如(mx+n)2=p(p【例3】（2021•广州校级期中）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣1【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【变式3-1】（2020春•蜀山区期中）解方程：12（y+2）2【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．【解答】解：12（y+2）2（y+2）2＝12，y+2＝±23，y1＝23−2，y2＝﹣23【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．【变式3-2】（2020秋•孟津县期末）解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【分析】直接开平方法解一元二次方程，关键把方程化为x2＝p或（mx+n）2＝p（p≥0）形式，再运用算术平方根意义求解．【解答】解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1=32，y2【点评】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．【变式3-3】（2021秋•孝南区月考）解方程：4x2+12x+9＝81．【分析】利用完全平方公式变形得到（2x+3）2＝81，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（2x+3）2＝81，2x+3＝±9，即2x+3＝9或2x+3＝﹣9，所以x1＝3，x2＝﹣6．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．【题型4已知方程的根求字母的值】【例4】（2020秋•武昌区校级期中）如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的另一个根为．【分析】将x＝2代入方程得出c的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．【解答】解：将x＝2代入方程，得：4﹣c＝0，解得c＝4，∴方程为x2﹣4＝0，则x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2，即这个方程的另一个根为x＝﹣2，故答案为：x＝﹣2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式4-1】（2020秋•龙湖区期末）若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a的值为．【分析】将x＝2代入原方程即可求出a的值．【解答】解：将x＝2代入（ax﹣1）2﹣16＝0，∴（2a﹣1）2﹣16＝0，∴2a﹣1＝±4，∴a1=52或a2故答案为：52或−【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【变式4-2】（2020秋•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程a（x﹣m）2＝3的两根为12±123，其中a、m为两数，则a＝，m【分析】利用配方法求解即可．【解答】解：∵a（x﹣m）2＝3，∴（x﹣m）2=3则x﹣m＝±3a∴x＝m±3a根据题意知m=12，故答案为：4，12【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式4-3】（2020秋•于洪区校级月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则ab=【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m+1+2m﹣4＝0，∴m＝1，∴m+1＝2，∴x2=ba=（m∴ab故答案为：14【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【题型5已知方程的解求另一个方程的解】【例5】（2020秋•湖里区校级月考）方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣4，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝x2＝﹣2【分析】根据方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，可知方程a（x+m+2）2+b＝0的解比方程a（x+m）2+b＝0的解小2，从而可以得到方程a（x+m+2）2+b＝0的解．【解答】解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，∴方程a（x+m+2）2+b＝0的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出所求方程的解．【变式5-1】（2021春•阜阳月考）若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0【分析】将方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0变形为a（x+m﹣1）2+b＝0，再结合关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1知方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，从而得出答案．【解答】解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，∴a（x+m﹣1）2+b＝0，又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，解得x1＝3，x2＝0，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式5-2】（2020秋•石家庄期中）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是．【分析】可把方程a（x+m+1）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，从而得到x+1＝﹣3，x+1＝2，然后解两个一次方程即可．【解答】解：把方程a（2x+m+1）2+b＝0看作关于2x+1的一元二次方程，而关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，所以2x+1＝﹣3，2x+1＝2，所以x1＝﹣2，x2＝12故答案为x1＝﹣2，x2＝12【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得到关于x的一元一次方程是解题的关键．【变式5-3】（2020秋•海陵区校级月考）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程4a(x+12m)2+【分析】根据题意可求出ba、m的值，然后代入方程4a(x+1【解答】解：∵a（x+m）2+b＝0的两解为x1＝3和x2＝7，∴a(3+m)解得：m=−5b∵4a(x+12∴4（x+12m）2∴4（x−52）∴x=72或x故答案为：x=72或【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据题意求出ba、m【题型6直接开平方法解新定义问题】【例6】（2020秋•钦州期末）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（）A．x1=6，x2=−6 B．x1＝6，x2C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝32，x2＝﹣32【分析】先根据新定义得出y′＝3x2，再结合y′＝18知3x2＝18，据此利用直接开平方法求解即可．【解答】解：∵y＝x3，∴y′＝3x2，∵y′＝18，∴3x2＝18，则x2＝6，∴x1=6，x2=−故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式6-1】（2020秋•樊城区期末）实数p，q用符号min（p，q）表示p，q，两数中较小的数，如min（1，2）＝1，若min（x2﹣1，x2）＝1，则x＝．【分析】先判断出x2﹣1＜x2，从而由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，再利用直接开平方法求解即可．【解答】解：∵x2﹣1＜x2，∴由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，则x2＝2，∴x=±2故答案为：±2【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式6-2】（2020秋•灌云县期中）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+3b；当a＜b时，a*b＝a﹣3b，例如：3*（﹣4）＝3+（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6﹣36＝﹣42．（1）x2*（x2﹣2）＝30，则x＝；（2）小明在计算（﹣3x2+6x﹣5）（﹣x2+2x+3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．【分析】（1）根据x2*（x2﹣2）＝30知x2+3（x2﹣2）＝30，解之可得答案；（2）由（﹣3x2+6x﹣5）﹣（﹣x2+2x+3）＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0知﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，据此得（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣14，从而得出答案．【解答】解：（1）∵x2*（x2﹣2）＝30，∴x2+3（x2﹣2）＝30，解得x＝±3，故答案为：±3．（2）∵（﹣3x2+6x﹣5）﹣（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9＝﹣14，∵化简后的结果与x取值无关，∴不论x取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，∴小华说小明计算错误．【点