04124-函数的单调性公开课课件VIP

函数的单调性公开课课件12024/1/26CATALOGUE目录引言函数单调性的判断方法函数单调性的性质函数单调性的应用典型例题分析课堂小结与思考题22024/1/26CHAPTER01引言32024/1/26对于函数$f(x)$，如果在其定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)leqf(x_2)$，则称$f(x)$在该定义域内是增函数。增函数对于函数$f(x)$，如果在其定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)geqf(x_2)$，则称$f(x)$在该定义域内是减函数。减函数函数的单调性定义42024/1/26通过函数的单调性可以直观地了解函数值随自变量变化而变化的趋势，有助于对函数的整体性质进行把握。描述函数的变化趋势在函数的单调区间内，函数值的变化趋势是单一的，因此可以通过单调性来判断函数在该区间内是否存在极值或最值。判断函数的极值和最值利用函数的单调性，可以将一些复杂的不等式问题转化为简单的函数值比较问题，从而简化解题过程。解决不等式问题函数的单调性在经济学、物理学等领域有着广泛的应用，如需求函数、供给函数、速度函数等都具有单调性。在经济学、物理学等领域的应用函数的单调性意义52024/1/26CHAPTER02函数单调性的判断方法62024/1/26导数与函数单调性的关系01当函数在某区间内可导时，若导数大于0，则函数在该区间内单调递增；若导数小于0，则函数在该区间内单调递减。导数的计算02通过求导公式和求导法则，计算出函数的导数表达式。导数法判断函数单调性的步骤03首先求出函数的导数，然后判断导数的正负，从而确定函数的单调性。导数法72024/1/26函数单调性的定义对于任意两个自变量的值x1和x2（x1<x2），如果f(x1)≤f(x2)，则称函数在该区间内单调递增；如果f(x1)≥f(x2)，则称函数在该区间内单调递减。定义法判断函数单调性的步骤任取两个自变量值，比较它们对应的函数值，根据函数值的比较结果判断函数的单调性。注意事项在使用定义法判断函数单调性时，需要注意自变量的取值范围和函数值的比较方法。定义法82024/1/26函数图像的绘制通过描点法或解析法，绘制出函数的图像。图像法判断函数单调性的步骤观察函数图像的变化趋势，如果图像从左到右呈现上升趋势，则函数在该区间内单调递增；如果图像从左到右呈现下降趋势，则函数在该区间内单调递减。注意事项在使用图像法判断函数单调性时，需要注意图像的准确性和观察角度的选择。同时，对于某些复杂的函数图像，可能需要结合其他方法进行判断。图像法92024/1/26CHAPTER03函数单调性的性质102024/1/26123对于任意两个自变量的值x1和x2（x1<x2），如果函数f(x)在区间[x1,x2]内单调增加，则有f(x1)≤f(x2)。函数值随自变量增大而增大单调增函数的图像在其定义域内呈现上升趋势，即从左到右函数值逐渐增大。图像上升趋势如果一个函数在其定义域内的导数存在且非负，则该函数在该定义域内单调增加。导数非负单调增函数的性质112024/1/26对于任意两个自变量的值x1和x2（x1<x2），如果函数f(x)在区间[x1,x2]内单调减少，则有f(x1)≥f(x2)。函数值随自变量增大而减小单调减函数的图像在其定义域内呈现下降趋势，即从左到右函数值逐渐减小。图像下降趋势如果一个函数在其定义域内的导数存在且非正，则该函数在该定义域内单调减少。导数非正单调减函数的性质122024/1/26单调函数的周期性虽然单调性和周期性是函数的两个独立属性，但它们之间存在一定的联系。例如，一个周期函数在其周期内可能同时具有单调增和单调减的部分。单调性与周期性关系单调函数可以是周期函数，也可以是非周期函数。周期函数具有重复出现的特性，而非周期函数则不具有这种特性。周期函数与非周期函数如果一个周期函数在一个周期内单调增加（或减少），则在每个周期内都具有相同的单调性。这意味着周期函数的图像在每个周期内都会重复相同的上升或下降趋势。周期函数的单调性132024/1/26CHAPTER04函数单调性的应用142024/1/26利用函数的单调性证明不等式通过构造函数，利用函数的单调性，将不等式问题转化为函数值的大小比较问题，从而简化证明过程。单调函数的性质在不等式证明中的应用利用单调函数的性质，如增减性、最值等，对不等式进行变形和推导，达到证明的目的。在不等式证明中的应用152024/1/26对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区间内单调，则可以通过比较自变量的大小来推断函数值的大小关系。利用函数的单调性比较函数值大小利用单调函数的性质，如增减性、连续性等，对函数值进行比较和估算。单调函数的性质在函数值比较中的应用在函数值比较中的应用162024/1/26利用函数的单调性判断函数图像的趋势通过函数的单调性可以判断函数图像在某个区间内的上升或下降趋势，从而了解函数的整体性质。单调函数的性质在函数图像分析中的应用利用单调函数的性质，如拐点、极值点等，对函数图像进行进一步的分析和研究，如确定函数的最大值、最小值等。在函数图像分析中的应用172024/1/26CHAPTER05典型例题分析182024/1/26

例题一：判断函数的单调性题目判断函数$f(x)=x^2-2x$在区间$(-infty,1]$上的单调性。分析首先，我们需要确定函数的导数$f'(x)=2x-2$。然后，我们判断导数在给定区间上的符号。当$x<1$时，$f'(x)<0$，说明函数在区间$(-infty,1]$上是单调递减的。总结通过求导并判断导数的符号，我们可以确定函数在给定区间上的单调性。192024/1/26例题二：证明不等式分析首先，我们构造函数$g(x)=f(x)+frac{9}{x}=x^3-3x^2+frac{9}{x}+4$。然后，求导得到$g'(x)=3x^2-6x-frac{9}{x^2}$。通过判断导数的符号，我们可以确定函数$g(x)$在$(0,+infty)$上的单调性，进而证明原不等式。题目已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，证明当$x>0$时，$f(x)geq4-frac{9}{x}$。总结通过构造函数并求导，我们可以判断函数的单调性，并利用单调性证明不等式。202024/1/26010203题目求函数$f(x)=frac{x^2-4x+7}{x-1}$在区间$[3,5]$上的值域。分析首先，我们对函数进行化简，得到$f(x)=x-1+frac{3}{x-1}$。然后，我们判断函数在给定区间上的单调性。通过求导并判断导数的符号，我们可以确定函数在区间$[3,5]$上是单调递增的。因此，函数的值域为$[f(3),f(5)]$，即$[5,frac{23}{4}]$。总结通过化简函数并判断其单调性，我们可以求出函数在给定区间上的值域。例题三：求函数的值域212024/1/26CHAPTER06课堂小结与思考题222024/1/26判断方法通过求导判断函数的单调性，若$f'(x)>0$，则函数单调增加；若$f'(x)<0$，则函数单调减少。单调性的定义对于函数$f(x)$，如果在某个区间内，$x_1<x_2$时，$f(x_1)leqf(x_2)$（或$f(x_1)geqf(x_2)$），则称函数在该区间内单调增加（或减少）。应用举例利用函数的单调性解决不等式、方程根的存在性及根的个数判断等问题。课堂小结232024