高等数学-同济大学第六版-高等数学课件第一章函数与极限

高等数学_同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限CONTENTS函数极限导数连续性函数01函数的定义函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种关系使得每个自变量x在定义域内对应一个唯一的因变量y。函数的定义域和值域是函数的两个重要属性。函数的性质函数具有一些基本的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。这些性质对于理解和应用函数非常重要。函数的定义与性质函数的运算函数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法等基本运算。这些运算可以帮助我们理解和变换函数。复合函数复合函数是将两个或多个函数组合在一起形成的函数。通过复合函数，我们可以将复杂的函数简化为简单的函数。反函数是相对于原函数而言的，如果将原函数的x和y互换，得到的函数就是反函数。反函数的存在是有条件的，不是所有的函数都有反函数。反函数具有一些独特的性质，如反函数的导数等于原函数导数的倒数等。这些性质对于理解和应用反函数非常重要。反函数反函数的性质反函数的定义极限02VS当自变量趋近某一值时，函数值无限接近于某一常数，则该常数为函数的极限。极限的精确定义对于任意小的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，当$0<|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-L|<epsilon$，其中$L$为函数的极限。极限的描述性定义极限的定义若函数在某点的极限存在，则该极限唯一。若函数在某点的极限存在，则该函数在该点的值有界。若函数在某点的极限存在，则存在一个正数$delta$，当$0<|x-x_0|<delta$时，函数有界。唯一性有界性局部有界性极限的性质当自变量趋近某一值时，函数值趋近于0。无穷小量当自变量趋近某一值时，函数值无穷大。无穷大量无穷小量与无穷大量导数03导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点附近的小范围内变化的情况。导数描述了函数值随自变量变化的速率。导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则、链式法则等，这些性质在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等问题时具有广泛应用。导数的定义导数的性质导数的定义与性质基本初等函数的导数对于一些常见的初等函数，如幂函数、指数函数、三角函数等，可以直接求出它们的导数。这些基本初等函数的导数是研究复杂函数导数的基础。复合函数的导数复合函数的导数是通过对复合函数进行求导法则来计算的，即链式法则。通过链式法则，可以方便地求出复合函数的导数。导数的运算高阶导数高阶导数是函数的一阶导数的导数，表示函数在某一点附近更精细的变化情况。高阶导数可以用于研究函数的极值、拐点等问题。高阶导数的定义高阶导数在数学和物理中有着广泛的应用，如求解微分方程、研究函数的极值和拐点、分析函数的振动性质等。高阶导数的应用连续性04连续性的定义如果函数在某一点的极限值等于函数值，则函数在该点连续。即，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当x满足|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数f在点a处连续。要点一要点二连续函数的性质如果函数在某一点连续，则该点的左极限和右极限都存在，并且等于该点的函数值。连续性的定义间断点的定义如果函数在某一点不连续，则该点称为函数的间断点。间断点的分类间断点可以分为第一类间断点和第二类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点。间断点的处理在研究函数的性质时，需要特别注意间断点的情况，因为它们可能会对函数的整体性质产生影响。函数的间断点闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数一定可以取得最大值和最小值。中值定理如果函数在闭区间上连续，则至少存在一个点c属于这个闭区间，使得f(c)=M*N，其中M和N分别为函数在区间端点的函数值的乘