小学奥数如何用“同余法”巧解难题非常棒的解题技巧

小学奥数如何用"同余法〃巧解难题，非常棒的解题技巧

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的,

同余即余数相同。

它的定义是这样的：两个整数a、b,如果他们同时除

以一个自然数m,所得的余数相同，则称a、b对于模

m同余，记作a三b(mod.m),读作：a同余于b模

mo

同余的性质比较多，家长指导孩子学习“同余法"，首先

要熟悉“同余”的这几个基本性质：

L对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同

余。

例如：201x95的乘积对于除数7,与201・7的余数5

和95+7的余数4的乘积20对于7同余。

2.对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差

就一定能被这介除数整除。

例如：519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定

是519与399的差的因数，即519与399的差一定能

被这个除数整除。

3.对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍

然同余。

例如：20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方

都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随

次方变化。

4.对于同一个除数，若三个数a三b(modm),b三c

(modm),那么a,b,c=个数对于除数m都同余(传

递性)

例如：60和76同余于模8,76和204同余于模8,那

么都同余于模

60,76,2048O

5.对于同一个除数，若四个数a三b(modm),c三d

(modm),那么a士c三c士d(modm),(可加减

性)

6.对于同一个除数，若四个数a三b(modm),c三d

(modm),那么ac三cd(modm),(可乘性)

备周V啤

JLLILLJL

应用同余性质解题的关键是，在正确理解题意的基础上灵活

运用同余性质。家长应让孩子把握住一个策略，把求一个较

大的数除以某数的余数问题转化为一个较小的数除以这个数

的余数，使复杂的问题变简单，使困难的题变容易。

I例题1：用412、133和257除以一个相同的自然数，所

得的余数相同，这分自然数最大是几？

【解析】假设这个自然数是a,因为412、133和257除以

a所得的余数相同，所以a|(412-133),a|(412-257),a|

(257-133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求

最大是几，就是求这三个差的最大公约数。

(155,124,279)=31,所以a最大是31。

I例题2:249x388x234除以19,余数是几？

【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦

了，利用同余思想解决就容易了。

因为249=2(mdol9),388=8(mdol9),234=6

(mdol9),所以249x388x234三2x8x6三1(mdol9)

此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。

I例题3:求1992x59除以7的余数。思路点拨：可应用性

质2,将1992x59转化为求1992除以7和59除以7的余

数的乘积，使计算简化。

解：,••1992三4(mod7),59三3(mod7)

・•・根据性质5可得:1992x59三4x3(mod7),余数为

12・7的余数。

答：1992x59除以7的余数是5。

使用同余法解题，家长还可以让孩子记住一句口诀：“差同

减差，和同加和，余同取余，最小公倍n倍加”。这是同余

问题的口诀，孩子思考解题方法的时候念一念，对启发解题

思路有帮助。

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