考研数学概率论浙大内部课件之三(盛骤)

考研数学概率论浙大内部课件之三（盛骤目录CATALOGUE概率论的基本概念随机向量及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理参数估计与假设检验马尔科夫链蒙特卡洛方法概率论的基本概念CATALOGUE0101概率是衡量某一事件发生的可能性的量，通常表示为P。概率的定义02概率具有非负性、规范性、可加性和有限可加性。概率的性质03可以通过历史数据、专家意见、实验结果等方法确定。概率的确定方法概率的定义与性质条件概率的定义在某一事件B已经发生的条件下，另一事件A发生的概率，记为P(A|B)。条件概率的性质条件概率满足非负性、规范性、可加性和有限可加性。事件的独立性如果两个事件A和B相互独立，则P(A|B)=P(A)和P(B|A)=P(B)。条件独立的概念在给定某些变量的条件下，两个随机变量相互独立的性质。条件概率与独立性随机变量是定义在样本空间上的一个实数函数，表示样本点取值的数量特征。随机变量的定义随机变量的分类随机变量的分布函数随机变量的期望值和方差离散型随机变量和连续型随机变量。描述随机变量取值范围的函数，其值域为[0,1]。期望值是随机变量取值的平均数，方差是随机变量取值偏离期望值的程度。随机变量及其分布随机向量及其分布CATALOGUE02定义联合概率分布是描述随机向量中各个随机变量的取值及其对应的概率。性质联合概率分布具有独立性、对称性、归一性等性质。计算方法可以通过组合数、排列数等数学工具计算联合概率分布。联合概率分布条件概率分布是指在某个随机事件发生的条件下，另一个随机事件的概率分布。定义条件概率分布具有独立性、对称性、归一性等性质。性质可以通过条件概率公式进行计算，即P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。计算方法条件概率分布03计算方法可以通过积分、微分等数学工具计算随机变量的函数的分布。01定义随机变量的函数的分布是指将随机变量经过一定的数学运算后得到的随机变量的概率分布。02性质随机变量的函数的分布具有不确定性，需要具体问题具体分析。随机变量的函数的分布随机变量的数字特征CATALOGUE03期望期望是随机变量取值的平均数，表示随机变量取值的平均水平。计算公式为E(X)=∑x*p(x)。方差方差是随机变量取值与其期望的偏离程度，表示随机变量取值的离散程度。计算公式为D(X)=E[(X−E(X))^2]=∑(x−E(X))^2*p(x)。期望与方差协方差协方差是两个随机变量同时取值的综合偏离程度，表示两个随机变量取值之间的线性相关程度。计算公式为Cov(X,Y)=E[(X−E(X))*(Y−E(Y))]=∑(x−E(X))*(y−E(Y))*p(x,y)。相关系数相关系数是协方差与两个随机变量标准差的乘积之比，用于衡量两个随机变量的线性相关程度。计算公式为ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/[D(X)*D(Y)]^(1/2)。协方差与相关系数矩与特征函数矩矩是描述随机变量取值分布形态的数字特征，包括一阶矩（期望）、二阶矩（方差）和更高阶矩。特征函数特征函数是随机变量取值的概率分布函数的傅里叶变换，用于研究随机变量的性质和运算性质。大数定律与中心极限定理CATALOGUE04伯努利大数定律当n次独立重复试验中事件A发生的次数趋于n时，事件A发生的频率的极限为该事件的概率。辛钦大数定律当n个独立同分布的随机变量序列的算术平均值存在时，其极限等于各随机变量的数学期望。切比雪夫大数定律当试验次数趋于无穷时，频率的极限等于概率。大数定律123当n个独立同分布的随机变量取值范围在[0,1]时，其算术平均值的分布趋于标准正态分布。棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理当n个独立同分布的随机变量取值范围在任意有限区间时，其算术平均值的分布趋于正态分布。列维-林德伯格中心极限定理对于任何正实数c，当n足够大时，n个独立同分布的随机变量中至少有c*n个取值在任意小的区间内的概率近似于正态分布。李雅普诺夫中心极限定理中心极限定理强大数定律：设{X_n,n>=1}为独立同分布的随机变量序列，且存在数学期望E(X_1)和方差D(X_1)，则对于任意的a>0，有limn->∞P(|X_1+...+X_n-nE(X_1)|>a√n)=0。强大数定律参数估计与假设检验CATALOGUE05用单个数值来表示未知参数的估计值。点估计用于估计未知参数的样本统计量。估计量如果一个估计量的所有可能取值的平均数等于被估计的参数值，则该估计量是无偏的。无偏性如果一个无偏估计量是唯一的，则它是有效的。有效性点估计与估计量假设检验假设待检验的参数或总体分布与预期相同。零假设备择假设显著性水平01020403在假设检验中，用于判断是否拒绝零假设的概率值。通过样本信息对未知参数或总体分布进行推断的过程。与零假设相对立的假设。假设检验的基本概念单侧置信区间只给出参数的一个方向上的取值范围。假设检验的应用在统计学中，假设检验广泛应用于各种实际问题，如质量控制、市场调研、医学研究等。双侧置信区间给出参数的两个方向上的取值范围。区间估计根据样本信息给出未知参数的可能取值范围。参数的区间估计与假设检验马尔科夫链蒙特卡洛方法CATALOGUE06随机过程马尔科夫链蒙特卡洛方法基于随机过程，通过模拟随机事件来估计未知量。马尔科夫链马尔科夫链是随机过程中的一种，其特点是下一个状态只与当前状态有关，与其他状态无关。蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，通过大量随机样本的统计结果来估计未知量。马尔科夫链蒙特卡洛方法的基本概念重要采样法重要采样法是一种通过改变样本分布来减小方差的技术，常用于马尔科夫链蒙特卡洛方法中。马尔科夫链蒙特卡洛方法的实现通过构建马尔科夫链，使其平稳分布为目标分布，然后通过模拟该马尔科夫链的轨迹来获取目标分布的样本。重要采样法的应用在马尔科夫链蒙特卡洛方法中，重要采样法可以用来提高采样效率，减小方差，提高估计精度。重要采样法与马尔科夫链蒙特卡洛方法马尔科夫链蒙特卡洛方法的收敛性是指随着迭代次数的增加，估计量的值逐渐趋于真实值。收敛性误