随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征概率论与数理统计讨论随机变量的数字特征的意义前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数。例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；又如在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数；再如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义。下面将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩．§1数学期望例：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：甲射手击中环数8910概率0.30.10.6乙射手击中环数8910概率0.20.50.3试问哪个射手本领较好？解：设两个选手各射N枪，那么有甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N平均甲射中9.3环，乙射中9.1环，因此甲射手的本领好些。离散型随机变量的数学期望

定义:设离散型随机变量X的分布率为假设级数绝对收敛，那么称变量X的数学期望〔或均值〕，记为E(X)。即的和为随机例1：求二项分布的数学期望。例2：求泊松分布的数学期望。例3：随机变量X取值求数学期望。习题1.(1)在以下句子中随机地取一单词,以X表示所取的单所含的字母个数,写出X的分布律,并求E(X).THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT.(2)在上述句子的30个字母中随机地取一字母,以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数,写出Y的分布律,并求E(Y).解:(1)依题意,X的所有可能取值为:2,3,4,9;且有:P{X=2}=1/8,P{X=3}=5/8,P{X=4}=1/8,P{X=9}=1/8因此,X的分布律为:X2349p1/85/81/81/8E(X)=2*1/8+3*5/8+4*1/8+9*1/8=15/4习题1.(1)在以下句子中随机地取一单词,以X表示所取的单所含的字母个数,写出X的分布律,并求E(X).THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT.(2)在上述句子的30个字母中随机地取一字母,以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数,写出Y的分布律,并求E(Y).解:(2)依题意,Y的所有可能取值为:2,3,4,9;且有:Y=2时,所可能取到的单词是:ON,那么P{Y=2}=2/30Y=3时,所可能取到的单词是:THE,PUT,HER,RED,HAT,那么P{Y=3}=15/30Y=4时,所可能取到的单词是:GIRL,那么P{Y=4}=4/30Y=9时,所可能取到的单词是:BEAUTIFUL,那么P{Y=9}=9/30因此,Y的分布律为:Y2349p2/3015/304/309/30E(Y)=2*2/30+3*15/30+4*4/30+9*9/30=73/15习题4:设随机变量X的分布律为j=1,2,…,证明:由于级数由数学期望的定义知,X的数学期望不存在.说明X的数学期望不存在.是发散的,故级数不绝对收敛.连续型随机变量的数学期望的值为随机变量X的定义:设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，假设积分绝对收敛,那么称积分数学期望〔或均值〕，记为E(X)。即例5：随机变量X服从正态分布N(m,

2),求数学期望。例6：随机变量X服从指数分布求数学期望。例7：设X～U(a,b),求E(X)。例8：由两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指数分布，其概率密度为假设将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命〔以小时计〕N的数学期望。随机变量的函数Y=g(X)的数学期望定理的意义:求随机变量X的函数Y的数学期望,可以不用求Y的分布(或概率密度),只需利用X的分布律(或概率密度)就可以了.上述定理可推广到多个随机变量的函数的情况设Z是随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y)(g是连续函数),那么,Z是一个一维随机变量.假设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),那么有:假设(X,Y)为离散型二维随机变量,其分布律为:P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,3,…那么有:数学期望的性质数学期望性质的证明数学期望性质的证明数学期望性质的证明数学期望性质的性质练习一一个有n把钥匙的人要开他的门，它随机而独立地试开，假设其中只有一把能开门，假设将试开不成功的钥匙立即除去；求试开次数的数学期望与方差。§2方差例：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：甲射手击中环数8910概率0.30.10.6乙射手击中环数8910概率0.20.50.3试问哪个射手本领较好？谁的技术稳定些?解：设两个选手各射N枪，那么有甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N平均甲射中9.3环，乙射中9.1环，因此甲射手的本领好些。问：那个射手技术稳定些？显然乙射手的技术稳定些。衡量技术稳定性，可以考虑用随机变量与其均值的偏离程度，如E{|X-E(X)|}或E{[X-E(X)]2}方差随机变量X的方差与数学期望有如下关系：

D(X)=E(X2)-[E(X)]2方法二:令方差的性质方差性质的证明方差性质的证明方差性质的证明方差性质的证明方差的性质假设且它们互相独立那么,它们的线性组合(其中不全为零),仍服从正态分布,且切比雪夫不等式切比雪夫不等式的证明[注意]切比雪夫不等式可以使我们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件|X-

|<

的概率做出估计。应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。例:设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布.随机变量那么方差D(Y)=?解:所以:§3协方差及相关系数对于二维随机变量,除了讨论变量X与Y的数学期望及方差外,还需要讨论描述X与Y这间相互关系的数字特征.也就是说,当时,X与Y不相互独立,即:可能存在某种关系.当随机变量X与Y相互独立时,有:协方差与相关系数协方差的性质协方差性质的证明最小二乘法最小二乘法相关系数的性质相关系数性质的证明相关系数性质的证明相关系数性质的证明X与Y不相关但也不独立的例子独立不相关不相关独立×习题24设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.分析:要说明X和Y不是相互独立,就是要证明f(x,y)≠fX(x)fY(y)由相关系数的定义,要验证X和Y不相关,就是要验证解:关于X的边缘概率密度为:关于Y的边缘概率密度为:显然,f(x,y)≠fX(x)fY(y),因此X和Y不是相互独立的.下面计算E(X),E(Y),E(XY),D(X),D(Y)下面计算E(X),E(Y),E(XY),D(X),D(Y)同理故D(X)>0,D(Y)>0,X和Y的相关系数为:因此,X和Y是不相关的.习题29设X~N(m,s2),Y~N(m,s2),且设X,Y互相独立,