9-3希尔伯特空间中的规范正交系课件

§3希尔伯特空间中的规范正交系一主要内容二傅里叶系数三完全规范正交系四Hilbert的同构9-3希尔伯特空间中的规范正交系一规范正交系元素的正交性在内积空间和Hilbert空间中扮演着十分重要的角色.在维欧氏空间,选定个相互正交的向量,则形成维空间中的一组正交基,也就是说在空间中建立了一组坐标系,空间中的任何一个元素都可以由这组坐标的线性组合表示出来.9-3希尔伯特空间中的规范正交系其中,并且向量的长度在一般的内积空间中也可以类似地引入正交基、投影和坐标系等十分重要的概念,建立起一套完整的空间坐标理论.9-3希尔伯特空间中的规范正交系定义1设是内积空间的一个不含零子集,若中向量两两正交,则称为中的正交系,又若中向量的范数都为1,则称为中的规范正交系.例1为维欧氏空间,则向量集为中规范正交系,其中9-3希尔伯特空间中的规范正交系例2在空间中,定义内积为则三角函数系为中规范正交系.所以内积空间中规范正交系是正交函数系概念的推广.9-3希尔伯特空间中的规范正交系正交系的基本性质.(1)对正交系中任意有限个向量,有事实上,由于中向量两两正交,所以9-3希尔伯特空间中的规范正交系(2)正交系是中线性无关子集.事实上,设,而且,其中为个数,则对任何,有由于,因此,所以线性无关.从而说明是中线性无关子集.9-3希尔伯特空间中的规范正交系定义2

设是赋范线性空间,是中的一列向量,是一列数,作级数称为级数(3)的项部分和,若存在,使,则称级数(3)收敛,并称为级数的和,记为9-3希尔伯特空间中的规范正交系若为中规范正交系,是中有限或可数个向量,且,则对每个自然数,由内积连续性,可得所以9-3希尔伯特空间中的规范正交系定义3

设为内积空间中的规范正交系,,称数集为向量关于规范正交系的傅里叶系数集,而称为关于傅里叶系数.例3

设为例2中三角函数系,记二傅里叶系数9-3希尔伯特空间中的规范正交系对任何关于的傅里叶系数集即为9-3希尔伯特空间中的规范正交系所以内积空间中向量关于规范正交系的傅里叶系数实际上是数学分析中傅里叶系数概念的推广.9-3希尔伯特空间中的规范正交系傅里叶系数的性质引理1设是内积空间,是中规范正交系,任取中有限个向量,则有其中为任意个数.9-3希尔伯特空间中的规范正交系证明因对任意个数,有9-3希尔伯特空间中的规范正交系令,代入上式即得(1).另一方面,由上式及结论(1)又有由此知(2)成立.9-3希尔伯特空间中的规范正交系定理1(Bessel不等式)设是内积空间中的有限或可数规范正交系,则对,有证明如果中只有有限个向量,则由引理1的(1)立即可得.当可数时,只要在引理1的(1)中令,则可得(4)式.如果Bessel不等式中等号成立,则称此等式为Parseval等式.9-3希尔伯特空间中的规范正交系引理2设为Hilbert空间中可数规范正交系,则(1)级数收敛的充要条件为级数收敛;(2)若,则,故(3)对任何,级数收敛.9-3希尔伯特空间中的规范正交系证明(1)设,由于为规范正交系,所以对任何正整数和,且,有所以是中柯西点列的充要条件为是柯西点列,由和数域的完备性知,(1)成立.9-3希尔伯特空间中的规范正交系(2)前已证明.(3)由Bessel不等式知,级数收敛,由(1)及(2),知级数收敛.推论1设是中可数规范正交系,则对任何,证明因对,级数收敛,所以.9-3希尔伯特空间中的规范正交系下面讨论一般规范正交系的Bessel不等式.设是中规范正交系,其中为一指标集,则对任一,中使的指标至多只有可数个.不等式,易知对任何正整数,使的指标至多只有有限个,所以集事实上,由Bessel至多为可数集.9-3希尔伯特空间中的规范正交系由此可以形式地作级数其中和式理解成对所有使的指标相加,因此Bessel不等式可以写成9-3希尔伯特空间中的规范正交系三完全规范正交系定义4设是内积空间中的规范正交系,如果则称是中的完全规范正交系.交系,则完全的充要条件为.定理2设是Hilbert空间中的规范正完全规范正交系类似于维欧式空间中的标准正交基.9-3希尔伯特空间中的规范正交系定理3是Hilbert空间中完全规范正交系的充要条件为对所有,成立Parseval等式.证明充分性设Parseval等式对所有成立,假设不完全,由定理2,存在.所以对任何,有,由于对该有Parseval等式所以,即,这与矛盾.9-3希尔伯特空间中的规范正交系必要性设是中完全规范正交系,对任何,设其非零傅里叶系数为由引理2,级数收敛,设其和为,则对任何正整数,有9-3希尔伯特空间中的规范正交系又对中一切使的向量,有因此.由的完全性,得到,即,所以,由此得到即Parseval等式成立.9-3希尔伯特空间中的规范正交系由定理3的证明可以看出,当是Hilbert空间中完全规范正交系时,则中每个向量都可以展开成级数(9)式称为向量关于完全规范正交系的傅里叶展开式.它类似于维欧式空间中的任一向量关于标准正交基的线性组合表示.9-3希尔伯特空间中的规范正交系推论2是Hilbert空间中规范正交系，若Parseval等式在的某个稠密子集上成立,则完全.证明设,则是中闭线性子空间,因在上Parseval等式成立,由定理3,易知对中每个向量,都有所以,从而,由于是闭线性子空间,9-3希尔伯特空间中的规范正交系故有,但因,所以,即是中完全规范正交系.证毕.利用推论2可证明三角函数系是中完全规范正交系,从而,有其中等号右端级数是指在中平方平均收敛,分别为例3中关于三角函数系的傅里叶系数.9-3希尔伯特空间中的规范正交系引理3

设是内积空间中有限或可数个线性无关向量,则必有中规范正交系,使对任何正整数,有证明令,则,且令,因为线性无关,所以,且.9-3希尔伯特空间中的规范正交系令,则.且.显然,.如果已作了,其中,并且两两正交,满足现令由线性无关,知,9-3希尔伯特空间中的规范正交系令,则.且.其中.又显然满足如此一直作下去,即可得所要的规范正交系.在引理3的证明中,构造规范正交系的过程称为正交化过程.并且可知是向量在空间上的投影.9-3希尔伯特空间中的规范正交系定理4

非零Hilbert空间必有完全规范正交系.证明设为可分的Hilbert空间,则存在有限或可数个向量,使,不妨设为中的线性无关子集,否则可取中的线性无关子集.由引理3,存在有限或可数的规范正交系,使对任何自然数,有9-3希尔伯特空间中的规范正交系所以,由张成的线性空间包含,因此即是中完全规范正交系.证毕.性质若和都是Hilbert空间的完全规范正交系,则和具有相同的基数.上述性质中的基数称为的Hilbert维数.若,则规定的Hilbert维数为0;当是有限维空间时,

维数与线性维数相同.9-3希尔伯特空间中的规范正交系定义5设和是内积空间,若存在到上的映射,使对任何及数,满足则称和同构,并称为到上