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文档简介

[知识与技能]了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率，知道函数的瞬时速度的概念，理解导数的概念，能利用导数的定义求导数．本节重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．本节难点：导数的概念．对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限值．因此它是一个常数而不是变数．4．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x)，称这个函数f′(x)为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的

，简称

．导函数导数[例1]过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．[解析]

∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝Δx3＋3Δx2＋3Δx，某质点沿曲线运动的方程为y＝－2x2＋1(x表示时间，y表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为(

)A．－4

B．－8C．6 D．－6[解析]

令f(x)＝y＝－2x2＋1，则质点从x＝1到x＝2时的平均速度为[说明]瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．因此，要求瞬时速度应先求出平均速度．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解析]

由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，[例3]求y＝x2在点x＝1处的导数．[解析]

因为Δy＝(x＋Δx)2－x2＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，[例4]已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x)，f′(0)，f′(2)．[分析]求导数的步骤一般是先求导函数，再求导函数在各点的导数．[解析]

因为Δf＝(x＋Δx－1)2－(x－1)2＝2xΔx－2Δx＋(Δx)2，利用导数定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．[辨析]

求导数要与代数式的变形结合起来，利用分子有理化的方法，最终约去分子上的根号．[答案]

C2．如果质点A按规律s＝2t3运动，则在t＝3秒时的瞬时速度为 (

)A．6 B．18C．54 D．81[答案]

C[解析]

s(t)＝2t3，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，A．与x0，Δx有关B．仅与x0有关，而与Δx无关C．仅与Δx有关，而与x0无关D．与x0，Δx均无关[答案]

B[解析]

f(x)在x0处的导数与x0有关，与Δx无关．[答案]

1[解析]

根据导数的定义，[答案]

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