(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习1.2《常用逻辑用语》(教师版)

第第页§1.2常用逻辑用语考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则AB；③若p是q的必要不充分条件，则BA；④若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(√)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)(4)命题“∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．(×)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．使﹣2<x<2成立的一个充分条件是()A．x<2 B．0<x<2C．﹣2≤x≤2 D．x>0答案B3．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________．答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形题型一充分、必要条件的判定例1(1)已知p：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1，q：log2x<0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，由log2x<0知0<x<1，所以q对应的x的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p是q的必要不充分条件．(2)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1<0，q>1时，an＝a1qn﹣1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1﹣Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选1．在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．2．设a，b∈R，p：log2(a﹣1)＋log2(b﹣1)>0，q：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由题意得，p：log2(a﹣1)＋log2(b﹣1)＝log2(a﹣1)(b﹣1)>0＝log21，所以(a﹣1)(b﹣1)>1，即a＋b<ab，因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1>0，,b－1>0，))所以a>1，b>1，则ab>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1，所以p是q的充分条件；因为eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1，所以eq\f(a＋b,ab)<1，若ab>0，则a＋b<ab，若ab<0，则a＋b>ab，所以p是q的非必要条件，所以p是q的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型二充分、必要条件的应用例2已知集合A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，非空集合B＝{x|1﹣m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．解由x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10，∴A＝{x|﹣2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围．解∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴A⫋B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，故m的取值范围是[9，＋∞)．教师备选已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣∞，﹣1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因为q：|x＋2a|<3，所以q：﹣2a﹣3<x<﹣2a＋3，记A＝{x|﹣2a﹣3<x<﹣2a＋3}，p：x≥a，记为B＝{x|x≥a}．因为p是q的必要不充分条件，所以A⫋B，所以a≤﹣2a﹣3，解得a≤﹣1.思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2(1)若不等式(x﹣a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是________．答案[1,2]解析由(x﹣a)2<1得a﹣1<x<a＋1，因为1<x<2是不等式(x﹣a)2<1成立的充分不必要条件，所以满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤1，,a＋1≥2))且等号不能同时取得，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a≥1，))解得1≤a≤2.(2)已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,8)))解析由2﹣m>m﹣1>0，得1<m<eq\f(3,2)，即q：1<m<eq\f(3,2).因为p是q的充分条件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥1，,4a≤\f(3,2)，))解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,8).题型三全称量词与存在量词命题点1含量词命题的否定例3(1)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则¬p为()A．∀n∈N，n2≥2n＋5B．∃n∈N，n2≤2n＋5C．∀n∈N，n2<2n＋5D．∃n∈N，n2＝2n＋5答案C解析由存在量词命题的否定可知，¬p为∀n∈N，n2<2n＋5.所以C正确，A，B，D错误．(2)命题：“奇数的立方是奇数”的否定是________．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数命题点2含量词命题的真假判定例4(多选)下列命题是真命题的是()A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2﹣x在R上为偶函数B．∀x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒为正数C．∃x∈R，2x<x2D．∀x∈(﹣10，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x>SKIPIF1<0答案AC解析当a＝1时，y＝2x＋2﹣x为偶函数，故A为真命题；y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝﹣1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x<x2，故C为真命题；当x＝eq\f(1,3)时，SKIPIF1<0∈(0,1)，SKIPIF1<0eq\f(1,3)＝1，∴SKIPIF1<0<SKIPIF1<0eq\f(1,3)，故D为假命题．命题点3含量词命题的应用例5已知命题“∃x∈R，使ax2﹣x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．答案a>eq\f(1,8)解析因为命题“∃x∈R，使ax2﹣x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，使得ax2﹣x＋2>0”是真命题，当a＝0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2﹣x＋2>0”是假命题，不符合题意；当a≠0时，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－8a<0，))解得a>eq\f(1,8).教师备选1．下列命题中假命题是()A．∀x∈R，2x﹣1>0B．∀x∈N*，(x﹣1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2答案B解析∵指数函数y＝2x的值域为(0，＋∞)，∴∀x∈R，均可得到2x﹣1>0成立，故A项为真命题；∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得(x﹣1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，∴∃x∈N*，使(x﹣1)2>0不成立，故B项为假命题；∵当x＝1时，lg1＝0<1，∴∃x∈R，使得lgx<1成立，故C项为真命题；∵正切函数y＝tanx的值域为R，∴存在锐角x，使得tanx＝2成立，故D项为真命题．综上所述，只有B项是假命题．2．若命题“∀x∈[1,4]，x2﹣4x﹣m≠0”是假命题，则m的取值范围是()A．﹣4≤m≤﹣3 B．m<﹣4C．m≥﹣4 D．﹣4≤m≤0答案D解析若命题“∀x∈[1,4]，x2﹣4x﹣m≠0”是假命题，则命题“∃x∈[1,4]，x2﹣4x﹣m＝0”是真命题，则m＝x2﹣4x，设y＝x2﹣4x＝(x﹣2)2﹣4，因为函数y＝x2﹣4x在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以当x＝2时，ymin＝﹣4；当x＝4时，ymax＝0，故当1≤x≤4时，﹣4≤y≤0，则﹣4≤m≤0.思维升华含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题．跟踪训练3(1)命题“∀x>0，xsinx<2x﹣1”的否定是()A．∀x>0，xsinx≥2x﹣1B．∃x>0，xsinx≥2x﹣1C．∀x≤0，xsinx<2x﹣1D．∃x≤0，xsinx≥2x﹣1答案B解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x>0，xsinx<2x﹣1”的否定是：∃x>0，xsinx≥2x﹣1.(2)下列命题为真命题的是()A．∀x∈R，x2﹣|x|＋1≤0B．∀x∈R，﹣1≤eq\f(1,cosx)≤1C．∃x∈R，(lnx)2≤0D．∃x∈R，sinx＝3答案C解析对于A，因为x2﹣|x|＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，所以∀x∈R，x2﹣|x|＋1≤0是假命题；对于B，当x＝eq\f(π,3)时，eq\f(1,cosx)＝2，所以∀x∈R，﹣1≤eq\f(1,cosx)≤1是假命题；对于C，当x＝1时，lnx＝0，所以∃x∈R，(lnx)2≤0是真命题；对于D，因为﹣1≤sinx≤1，所以∃x∈R，sinx＝3是假命题．(3)若命题“∃x∈R，x2﹣mx﹣m<0”为真命题，则实数m的取值范围是________．答案(﹣∞，﹣4)∪(0，＋∞)解析依题意，Δ＝m2＋4m>0，∴m>0或m<﹣4.课时精练1．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A．有些三角形不是等腰三角形B．有些三角形可能是等腰三角形C．所有三角形不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形答案C解析命题p：“∃x∈A，使P(x)成立”，¬p为“对∀x∈A，有P(x)不成立”．故命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则¬p是“所有三角形不是等腰三角形”．2．已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a﹣b)·c＝0，所以(a﹣b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2答案B解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为eq\r(2)＋(﹣eq\r(2))＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，不满足eq\f(1,x)>2，所以D是假命题．4．在空间中，设m，n是两条直线，α，β表示两个平面，如果m⊂α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当m⊥n时，∵m⊂α，α∥β，则n与β可能平行，∴充分性不成立；当n⊥β时，∵α∥β，∴n⊥α，∵m⊂α，∴m⊥n，∴必要性成立，∴“m⊥n”是“n⊥β”的必要不充分条件．5．若命题“∃x∈(0，＋∞)，使得ax>x2＋4成立”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．(﹣∞，4)C．[4，＋∞) D．(﹣∞，4]答案D解析若命题“∃x∈(0，＋∞)，使得ax>x2＋4成立”是假命题，则有“∀x∈(0，＋∞)，使得ax≤x2＋4成立”是真命题．即a≤x＋eq\f(4,x)，则a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))min，又x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(4)＝4，当且仅当x＝2时取等号，故a≤4.6．已知集合M＝[﹣1,1]，那么“a≥﹣eq\f(2,3)”是“∃x∈M,4x﹣2x＋1﹣a≤0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件答案A解析∵∃x∈M,4x﹣2x＋1﹣a≤0，∴a≥(4x﹣2x＋1)min，x∈[﹣1,1]，设t＝2x，则f(t)＝t2﹣2t＝(t﹣1)2﹣1，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴f(t)min＝f(1)＝﹣1，∴a≥﹣1，∵eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，＋∞))[﹣1，＋∞)，∴“a≥﹣eq\f(2,3)”是“∃x∈M,4x﹣2x＋1﹣a≤0”的充分不必要条件．7．(多选)下列四个命题中是真命题的有()A．∀x∈R，3x>0B．∀x∈R，x2＋x＋1≤0C．∀x∈R，sinx<2xD．∃x∈R，cosx>x2＋x＋1答案AD解析∀x∈R,3x>0恒成立，A是真命题；∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴B是假命题；由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)π))＝1>SKIPIF1<0，知C是假命题；取x＝﹣eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)，但x2＋x＋1＝eq\f(3,4)<eq\f(\r(3),2)，则D是真命题．8．(多选)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是()A．xc2>yc2 B.eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0C．|x|>|y| D．lnx>lny答案ABD解析对于A选项，若xc2>yc2，则c2≠0，则x>y，反之x>y，当c＝0时得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0可得y<x<0，即能推出x>y；但x>y不能推出eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0(因为x，y的正负不确定)，所以“eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0”是“x>y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由|x|>|y|可得x2>y2，则(x＋y)(x﹣y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝﹣2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若lnx>lny，则x>y，反之x>y得不出lnx>lny，所以“lnx>lny”是“x>y”的充分不必要条件，故D正确．9．若命题p：∀x∈(0，＋∞)，eq\r(x)>x＋1，则命题p的否定为________．答案∃x∈(0，＋∞)，eq\r(x)≤x＋110．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．答案x<﹣1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．答案a∈[1，＋∞)解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．已知命题p：“∀x∈[1，＋∞)，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2﹣a＝0”，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围为____________________．答案{a|a≤﹣2或a＝1}解析由题意可知p和q均为真命题，由命题p为真命题，得∀x∈[1，＋∞)，x2≥a恒成立，(x2)min＝1，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2﹣4(2﹣a)≥0成立，得a≤﹣2或a≥1，所以实数a的取值范围为{a|a≤﹣2或a＝1}．13．在△ABC中，“A>B”是“cosA<cosB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为A，B是△ABC的内角，且A>B，所以0<B<A<π，因为y＝cosx在(0，π)上单调递减，所以cosA<cosB，故充分性成立；反之，y＝cosx在(0，π)上单调递减，0<A<π，0<B<π，若cosA<cosB，则A>B，故必要性成立，所以在△ABC中，“A>B”是“cosA<cosB”的充要条件．14．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(﹣x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.答案0解析“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(﹣x)≠0”的否定是∀x∈(a，b)，f(x)＋f(﹣x)＝0，依题意得，命题∀x∈(a，b)，f(x)＋f(﹣x)＝0为真命题，故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，∴a＋b＝0，∴f(a＋b)＝f(0)＝0.15．(多选)已知a∈R，则使命题“∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，x2﹣sinx﹣a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是(