(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习1.3《等式性质与不等式性质》(原卷版)

第第页§1.3等式性质与不等式性质考试要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(a，b∈R)2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a>b>0，m>0⇒eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；若b>a>0，m>0⇒eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()(2)若eq\f(b,a)>1，则b>a.()(3)若x>y，则x2>y2.()(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则b<a.()教材改编题1．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是()A．SKIPIF1<0B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C.eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b)D．ac3<bc32．已知M＝x2﹣3x，N＝﹣3x2＋x﹣3，则M，N的大小关系是________．3．已知﹣1<a<2，﹣3<b<5，则a＋2b的取值范围是______．题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()A．p<qB．p≤qC．p>qD．p≥q(2)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是()A．a>b>cB．c>a>bC．c>b>aD．a>c>b教师备选已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，则M，N的大小关系为________．思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1(1)已知0<a<eq\f(1,b)，且M＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，N＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)，则M，N的大小关系是()A．M>NB．M<NC．M＝ND．不能确定(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．题型二不等式的性质例2(1)下列命题为真命题的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若a<b<0，则a2<ab<b2C．若c>a>b>0，则eq\f(a,c－a)<eq\f(b,c－b)D．若a>b>c>0，则eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)(2)(多选)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)B．|a|＋b>0C．a﹣eq\f(1,a)>b﹣eq\f(1,b)D．lna2>lnb2教师备选若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．a2>b2C．a|c|>b|c|D.eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2(1)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>0C．a2>b2D．a<|b|(2)(多选)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是()A.eq\f(1,ac)>eq\f(1,bc)B．bac>abcC．(1﹣c)a<(1﹣c)bD．logb(a＋c)>loga(b＋c)题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知﹣1<x<4,2<y<3，则x﹣y的取值范围是______，3x＋2y的取值范围是______．延伸探究若将本例(1)中条件改为﹣1<x＋y<4,2<x﹣y<3，求3x＋2y的取值范围．(2)已知3<a<8,4<b<9，则eq\f(a,b)的取值范围是________．教师备选已知0<β<α<eq\f(π,2)，则α﹣β的取值范围是________．思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则eq\f(c,a)的取值范围是()A．﹣3<eq\f(c,a)<﹣1B．﹣1<eq\f(c,a)<﹣eq\f(1,3)C．﹣2<eq\f(c,a)<﹣1D．﹣1<eq\f(c,a)<﹣eq\f(1,2)(2)已知1<a<b<3，则a﹣b的取值范围是________，eq\f(a,b)的取值范围是________．课时精练1．已知a>0，b>0，M＝eq\r(a＋b)，N＝eq\r(a)＋eq\r(b)，则M与N的大小关系为()A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小关系不确定2．已知非零实数a，b满足a<b，则下列命题成立的是()A．a2<b2B．ab2<a2bC.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D.eq\f(b,a)<eq\f(a,b)3．已知﹣3<a<﹣2,3<b<4，则eq\f(a2,b)的取值范围为()A．(1,3)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(9,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))4．若a>1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是()A．n>m>pB．m>p>nC．m>n>pD．p>m>n5．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b<1，则下列各式中一定成立的是()A．ln(a﹣b)>0B．2b﹣a>1C．﹣eq\f(1,a)>﹣eq\f(1,b)D．logca>logcb(c>0且c≠1)6．(多选)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是()A．xy>yzB．xy>xzC．xz>yzD．x|y|>|y|z7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的有()A．c2＜cdB．a﹣c＜b﹣dC．ac＜bdD.eq\f(c,a)﹣eq\f(d,b)＞08．(多选)若0<a<1，b>c>1，则()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))a>1B.eq\f(c－a,b－a)>eq\f(c,b)C．ca﹣1<ba﹣1D．logca<logba9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z﹣π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)10．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，已知下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2.其中正确的不等式的序号为________．11．若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，eq\f(1,2)，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________．12．设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是________．13．(多选)设实数a，b，c满足b＋c＝6﹣4a＋3a2，c﹣b＝4﹣4a＋a2，则下列不等式成立的是()A．c<bB．b≥1C．b≤aD．a<c14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋