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文档简介
第第页§1.3等式性质与不等式性质考试要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.知识梳理1.两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-b>0⇔a>b,,a-b=0⇔a=b,,a-b<0⇔a<b.))(a,b∈R)2.等式的性质性质1对称性:如果a=b,那么b=a;性质2传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;性质3可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5可除性:如果a=b,c≠0,那么eq\f(a,c)=eq\f(b,c).3.不等式的性质性质1对称性:a>b⇔b<a;性质2传递性:a>b,b>c⇒a>c;性质3可加性:a>b⇔a+c>b+c;性质4可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;性质5同向可加性:a>b,c>d⇒a+c>b+d;性质6同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;性质7同正可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2).常用结论1.若ab>0,且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2.若a>b>0,m>0⇒eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m);若b>a>0,m>0⇒eq\f(b,a)>eq\f(b+m,a+m).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.()(2)若eq\f(b,a)>1,则b>a.()(3)若x>y,则x2>y2.()(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b),则b<a.()教材改编题1.(多选)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确的是()A.SKIPIF1<0B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C.eq\f(a+2,b+2)>eq\f(a,b)D.ac3<bc32.已知M=x2﹣3x,N=﹣3x2+x﹣3,则M,N的大小关系是________.3.已知﹣1<a<2,﹣3<b<5,则a+2b的取值范围是______.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a<0,b<0,则p=eq\f(b2,a)+eq\f(a2,b)与q=a+b的大小关系为()A.p<qB.p≤qC.p>qD.p≥q(2)已知a,b,c∈(0,3),且a5=5a,b4=4b,c3=3c,下列不等式正确的是()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b教师备选已知M=eq\f(e2021+1,e2022+1),N=eq\f(e2022+1,e2023+1),则M,N的大小关系为________.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.跟踪训练1(1)已知0<a<eq\f(1,b),且M=eq\f(1,1+a)+eq\f(1,1+b),N=eq\f(a,1+a)+eq\f(b,1+b),则M,N的大小关系是()A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.题型二不等式的性质例2(1)下列命题为真命题的是()A.若a>b,则ac2>bc2B.若a<b<0,则a2<ab<b2C.若c>a>b>0,则eq\f(a,c-a)<eq\f(b,c-b)D.若a>b>c>0,则eq\f(a,b)>eq\f(a+c,b+c)(2)(多选)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a+b)<eq\f(1,ab)B.|a|+b>0C.a﹣eq\f(1,a)>b﹣eq\f(1,b)D.lna2>lnb2教师备选若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B.a2>b2C.a|c|>b|c|D.eq\f(a,c2+1)>eq\f(b,c2+1)思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证.(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数,利用函数的单调性.跟踪训练2(1)已知a,b∈R,满足ab<0,a+b>0,a>b,则()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B.eq\f(b,a)+eq\f(a,b)>0C.a2>b2D.a<|b|(2)(多选)设a>b>1>c>0,下列四个结论正确的是()A.eq\f(1,ac)>eq\f(1,bc)B.bac>abcC.(1﹣c)a<(1﹣c)bD.logb(a+c)>loga(b+c)题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知﹣1<x<4,2<y<3,则x﹣y的取值范围是______,3x+2y的取值范围是______.延伸探究若将本例(1)中条件改为﹣1<x+y<4,2<x﹣y<3,求3x+2y的取值范围.(2)已知3<a<8,4<b<9,则eq\f(a,b)的取值范围是________.教师备选已知0<β<α<eq\f(π,2),则α﹣β的取值范围是________.思维升华求代数式的取值范围,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.跟踪训练3(1)已知a>b>c,2a+b+c=0,则eq\f(c,a)的取值范围是()A.﹣3<eq\f(c,a)<﹣1B.﹣1<eq\f(c,a)<﹣eq\f(1,3)C.﹣2<eq\f(c,a)<﹣1D.﹣1<eq\f(c,a)<﹣eq\f(1,2)(2)已知1<a<b<3,则a﹣b的取值范围是________,eq\f(a,b)的取值范围是________.课时精练1.已知a>0,b>0,M=eq\r(a+b),N=eq\r(a)+eq\r(b),则M与N的大小关系为()A.M>NB.M<NC.M≤ND.M,N大小关系不确定2.已知非零实数a,b满足a<b,则下列命题成立的是()A.a2<b2B.ab2<a2bC.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D.eq\f(b,a)<eq\f(a,b)3.已知﹣3<a<﹣2,3<b<4,则eq\f(a2,b)的取值范围为()A.(1,3)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),\f(9,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),\f(3,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))4.若a>1,m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系是()A.n>m>pB.m>p>nC.m>n>pD.p>m>n5.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b<1,则下列各式中一定成立的是()A.ln(a﹣b)>0B.2b﹣a>1C.﹣eq\f(1,a)>﹣eq\f(1,b)D.logca>logcb(c>0且c≠1)6.(多选)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是()A.xy>yzB.xy>xzC.xz>yzD.x|y|>|y|z7.(多选)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有()A.c2<cdB.a﹣c<b﹣dC.ac<bdD.eq\f(c,a)﹣eq\f(d,b)>08.(多选)若0<a<1,b>c>1,则()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))a>1B.eq\f(c-a,b-a)>eq\f(c,b)C.ca﹣1<ba﹣1D.logca<logba9.已知M=x2+y2+z2,N=2x+2y+2z﹣π,则M________N.(填“>”“<”或“=”)10.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,已知下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④eq\f(b,a)+eq\f(a,b)>2.其中正确的不等式的序号为________.11.若0<a<b,且a+b=1,则将a,b,eq\f(1,2),2ab,a2+b2从小到大排列为________________.12.设实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9,则eq\f(x3,y4)的最大值是________.13.(多选)设实数a,b,c满足b+c=6﹣4a+3a2,c﹣b=4﹣4a+a2,则下列不等式成立的是()A.c<bB.b≥1C.b≤aD.a<c14.实数a,b,c,d满足下列三个条件:①d>c;②a+b=c+d;③a+
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