(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习3.3《导数与函数的极值、最值》(原卷版)

第第页§3.3导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．()(2)函数的极小值一定是函数的最小值．()(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．()(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．()教材改编题1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．42．函数f(x)＝x3﹣ax2＋2x﹣1有极值，则实数a的取值范围是()A．(﹣∞，﹣eq\r(6)]∪[eq\r(6)，＋∞)B．(﹣∞，﹣eq\r(6))∪(eq\r(6)，＋∞)C．(﹣eq\r(6)，eq\r(6))D．[﹣eq\r(6)，eq\r(6)]3．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3﹣4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.题型一利用导数求函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x﹣1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)有极大值f(﹣3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(﹣3)和f(3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(﹣3)D．函数f(x)有极小值f(﹣3)和极大值f(3)命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x﹣1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A．﹣7 B．0C．﹣7或0 D．﹣15或6(2)已知函数f(x)＝x(lnx﹣ax)在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为()A．(0，e) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))教师备选1．设函数f(x)＝xcosx的一个极值点为m，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(m－1,m＋1)B.eq\f(m＋1,m－1)C.eq\f(1－m,m＋1)D.eq\f(m＋1,1－m)2．已知a，b∈R，若x＝a不是函数f(x)＝(x﹣a)2(x﹣b)·(ex﹣1﹣1)的极小值点，则下列选项符合的是()A．1≤b<a B．b<a≤1C．a<1≤b D．a<b≤1思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1(1)若x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex﹣1的极值点，则f(x)的极大值为()A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．1(2)函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2﹣ax(x>0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))题型二利用导数求函数最值例4已知函数g(x)＝alnx＋x2﹣(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．教师备选已知函数f(x)＝lnx﹣ax﹣2(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有最大值M，且M>a﹣4，求实数a的取值范围．思维升华(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．跟踪训练2某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.课时精练1．若函数f(x)＝eq\f(x2＋2x,ex)的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b等于()A．﹣4B.eq\r(2)C．0D．22．如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是()A．f(x)在[﹣2，﹣1]上单调递增B．当x＝3时，f(x)取得最小值C．当x＝﹣1时，f(x)取得极大值D．f(x)在[﹣1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减3．已知函数f(x)＝2lnx＋ax2﹣3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为()A．2 B．﹣eq\f(5,2)C．3＋ln2 D．﹣2＋2ln24．函数f(x)＝x＋2cosx在[0，π]上的最大值为()A．π﹣2 B.eq\f(π,6)C．2 D.eq\f(π,6)＋eq\r(3)5．(多选)已知x＝1和x＝3是函数f(x)＝ax3＋bx2﹣3x＋k(a，b∈R)的两个极值点，且函数f(x)有且仅有两个不同零点，则k值为()A．﹣eq\f(4,3) B.eq\f(4,3)C．﹣1 D．06．(多选)已知函数f(x)＝x＋sinx﹣xcosx的定义域为[﹣2π，2π)，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)在[0，π)上单调递增C．f(x)恰有4个极大值点D．f(x)有且仅有4个极值点7．写出一个存在极值的奇函数f(x)＝________.8．函数f(x)＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为________．9．已知函数f(x)＝lnx﹣eq\f(2x－2,x＋1).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝f(x)﹣eq\f(4＋a,x＋1)＋2(a∈R)，若x1，x2是函数g(x)的两个极值点，求实数a的取值范围．10．已知函数f(x)＝lnx﹣ax，x∈(0，e]，其中e为自然对数的底数．(1)若x＝1为f(x)的极值点，求f(x)的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a，使得f(x)的最大值是﹣3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．11．若函数f(x)＝(x2﹣a)ex的两个极值点之积为﹣3，则f(x)的极大值为()A.eq\f(6,e3) B．﹣eq\f(2,e)C．﹣2e D.eq\f(4,e2)12．函数f(x)＝ax3﹣6ax2＋b在区间[﹣1,2]上的最大值为3，最小值为﹣29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝﹣29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对13．设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x﹣a)2(x﹣b)的极大值点，则()A．a<b B．a>bC．ab<a2 D．ab>a214．已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝x＋2，若f(x1)＝g(x2)，则x1﹣x2的最小值为______．15．(多