数学模拟试卷 参考答案详解

数学模拟试卷

参考答案详解

一、选择题(1〜10小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)B

(,sin

x(2

【详解】然需=吧cosx・ln(l+sirrx)

Jo心,hm----------------------卜

x1+tan4x3厂+4tanx•sec~x

(sinJCY

sin2xI,xJ1

=lim­：--------z---------T—=hm--------------7-i-------=--一--丰1

33L+4tarrx-secrx*一。(tanxY3

3+4l------Itanxsecx

所以选B.

【重点提示】要善于利用等价无穷小的替换，如当XT0+时，x,sinx,In(1+6,

Y

e*-1等都是等价无穷小，1-cos尤，二也是比较常用的等价无穷小.

2

(2)D

r+codxX+0°

【详解】=ln」—=ln2,积分收敛,

4X(X+1)x+11

X

°=0-(-℃)=+℃,积分发散.

bx(x+l)X+1

【重点提示】直接计算相应积分，判定其敛散性即可。广义积分敛散性的判断，一

般只要求掌握通过计算能判定的情形。

(3)B

【详解】把/(x,2x)=x两边对x求导，有/：(%,2x)+2/；(x,2x)=1,再求导,有

加(羽2x)+2/(x,2x)+2G(x,2x)+4力(x,2x)=5£：(x,2x)+4£.(x,2x)=0a

再把/；(x,2x)=%2两边对x求导，有了二(x,2x)+2&.(x,2x)=2xb

由a与b得f“(x,2x)=--x

【重点提示】本题的重难点是对多元函数求偏导，计算时要仔细，要注意当f(x,y)

具有连续二阶偏导数时，o

(4)A

【详解】在区域D={(X,y)k2+y2<1}上，有0«/+丁2«1,从而有

~>l-+V>x2+y2>(x2+y2)2>0

由于COSX在(04)上为单调减函数，于是

0<cos7-v2+y2cos(x2+y2)<cos(x2+y2)2

因此JJcosJx2+y2de<jjcos(x2+y2)d(y<jjcos(x2+y2)2d(y,故应选(A).

DDD

【重点提示】本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数

的单调性进行分析讨论，关键在于比较斤衣、好+〉2与(/+)2)2在区域

。={(乂丁),2+y2<1}上的大小一

(5)A

【详解】因为/(x)可微，所以/(尤)连续，则

=f(0)=0,尸(O)=lim70'响=0

Z°X。X-0

因为=」>'〃"人

所以加―一I(叽11msM.”(…皿

3X-03X2

(sinxYJo"')".1./(x)

=lim-----lim—~~-——=1-lim=1>0

x)sox2-02x

所以/(o)是/(x)的极小值

【重点提示】注意当/'(%)=0时，/是/(x)的驻点，此时，若/"(%)>0,则

/(x)在/处取得极小值，反之则/(X)在与处取得极大值.若/〃(/)=0,则X。

不是极值点.

(6)A

【详解】设/x)=「/(rW,/(x)是连续函数，所以F(x)可导，且/'(x)=/(x).若/Q)

为奇函数，则尸(一x)=//1)力=(/(—“)加=(/(“卜〃=E(x),此时F(x)为偶函

数.

【重点提示】直接利用定义求出原函数，本题也可通过举反例来-一排除，如

/(X)=1,,f(x)=X等.

(7)A

【详解】：把454。=石两边同时转置，得CZWA，=。7次44)=七，则C，与

互为逆矩阵,则ATBTArCT=E.

【重点提示】本题属于基本题型，直接利用概率基本公式求解即可.

(8)A

【详解】初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，对于变换后的矩阵

(£]£2£3%)，显然有％=£|+J+^3，所以。4=%+&2+&3.

【重点提示】初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，初等列变换不改

变矩阵的行向量之间的线性关系，这是矩阵变换的基本性质.

(9)B

【详解】由题设，知〃+人=0.5,又事件{X=0}与{x+y=i}相互独立，于是有

尸{x=o,x+y=i}=p{x=o}P{x+y=i}

即a=(0.4+d)(a+b),由此可解得a=0.4,b=0A.

【重点提示】首先所有概率求和为1，可得a+8=().5,其次，利用事件的独立性

又可得相关等式.

(10)C

【详解】因为不相关，所以相关系数卬=0,

从而COV(£,力=Q卬JD(£)DS)=0,

E(印)=£(£)£)(〃)，£>(〃+〃)=。(£)+。(1)+2cov(£,")=£>®+D(〃).

【重点提示】注意不论如何都得不到。(切)=。(£)。你)，这个等式绝对不成立.

二、填空题(11〜16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)

【详解】

sin5x-(l-cosx2)sin—

2

___________________x「1x(5sin5x1-cosx3.1।

lim=lim-------x―彳-----rx--------------------------xsin—

xO(l+cosx)ln(l+x)x->°cosxln(l+x)[5xcosxx)

5

2

【重点提示】本题属于基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可，若在

某变化过程下，窈»〜历(x),则limf(x)a(x)=lim/(x)N(x).如当xf0十时，

x,sinx,ln(l+x),

(12)xy=2

【详解】原方程可化为(个)'=0,积分得孙=。，代入初始条件得。=2,故所求特解为

xy=2

【重点提示】直接积分即可.本题虽属于基本题型，也可先变形虫=-如，再积

y%

分求解.

(13)y=

【详解】原方程可写为电=2(l+ln2].令z=),则办=Rx+xdz,代入原方程,

axxyx)x

,口dzi分离变量得，^=虫.两边积分得:

得z+x—=z+zlnzIn|lnz|=ln|^|-+-C

dxzlnzx

即〉=泥&(其中C为任意常数).

【重点提示】这是微分方程中比较常见的题型，是齐次方程与可分离变量方程的复

合形式，解分离变量方程的方法必须掌握.

(14)-

2

2111

21aa=(a—1)(2。-1)=0,得a=l,a=,，但题设aHl,

【详解】由题设，有

321a2

4321

故a=L

2

【重点提示】4个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.

当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性.

（15）0

2-2-21

【详解】|/IE—A|=02-1-x=（/l-l）2（/l-2）=0,

002-1

解得：4=%=L4=2

又因为A可对角化，所以A的属于特征值义=1的线性无关的特征向量有2个,

即（E—A）X=O有非零解.

'-1-21、

所以/'(E—A)=l,而E-A=00—x,所以x=0.

[0。0J

【重点提示】容易先求出A的特征值，然后根据可对角化方阵的性质，得到£-A

的秩不是满秩，再通过行列式为0来求解x的值.

（16）-

2

【详解】因为2》=（）,所以x与y相互独立，又x~N（i,4）,y~N（o,i）,

则x+y~N（i,5）,所以P{X+Y<I}=；.

【重点提示】如果。盯=0,所以x与丫相互独立，这是判断独立的•种方法。相

互独立的正态变量的线性运算仍是正态变量，要注意运算后的正态变量的数学特征

的变化.

三、解答题（17~24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（17）

【详解】由已知条件可得

答=.―，(马+/，心,

oxxxy

e2g

x'xxyyy

oyxxyyy

ff=4/ff（2）-4/x-）+4/x-）+4n-）

oyxxyyyyyy

所以

„2e2g2整=型r（马+4/w（-）+—/*（-）-4/ff（2）--/7-）

8yxxyyyxxyy

=益尸（与

XX

【重点提示】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可，但在求偏导数的过程中

应注意计算的准确性.

（18）

【证明】⑴设F（x）=/（x）—x,则F（x）在1,1上连续，且尸（g）=g>0.

F（l）=-l<0,由介值定理可知存在使/仿）=0,即/（〃）=7.

（II）设G（x）=e一叫—则G（x）在［0,〃］上连续，在（0,〃）内可导,且

G（x）=e”{:⑴-6（x）-x］-1}

又6（0）=0,6（力=0由罗尔定理可知，存在£e（0,〃），使得G'®=0

即广（£）—»/（£）—司=1.

【重点提示】先构造函数，再根据连续与可导的性质，利用中值定理证明问题，其

中关键在于构造函数，这就需要经验，要掌握一些比较常见的函数的构造.

（19）

【详解】⑴由题意可知总利润函数Q（x,y）=80x+100y-/-2盯一2y2-700,令

12；=80-2x-2y=0

,解得x=30,y=10。

'Q：=100-2x-4y=0

又产量X和y不受限制，所以计算表明当x=30,y=10时可获得最大利润，且最大

利润为

2,naxUy)=2(30,10)=1000,即为所求.

(II)由题意得x+y=30.

此时可引入拉格朗日函数F(x,y,力=Q(x,y)+X(x+y—30),令

-F；=80-2x-2y+/l=0

<F；=100-2x-4^+/l=0,解得x=20,y=10,2=—20。

F[=x+y-30=0

所以当x=20,y=10时可获得最大利润，且最大利润为

Qmax(x，y)=0(20,10)=900,

【重点提示】先求出总利润函数，再通过导数为0来求极值，求出最大利润。在第

(U)问中，由于总产量固定为30不变，故通过构造拉格朗日函数来求极值.

(20)

【证明】设F(x)=]：g⑺/⑺川+工/•⑺g'⑺力—/(x)g(l),

则F(x)在[0,1]上的导数连续，

并且F\x)=g(x)/'(x)-f\x)g(l)=f'(x)[g(x)-g⑴],

由于XG[0,1]时，/'(x)20,g'(x)N0,因此E'(x)<0,即尸(x)在[0,1]上单调递减.

又F(l)=£g(t)fV)dt+f/(/)g'a)”—/⑴g⑴，

[g(t)r(t)dt=£g(t)研⑺=g⑺：—£f(t)g()dt

=/■⑴g⑴⑺力，

所以F(l)=0.

因此xe[0,1]时，F(x)>0,由此可得对任何ae[0,1],有

(g(x)/'(x)dx+£f(x)g'(x)dx>/(a)g⑴.

【重点提示】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通

过分部积分讨论.对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不等

式，二是通过恒等变形，如变量代换、分部积分等，再用积分的不等式性质

进行讨论.

(21)

【详解】因为线性方程组(i)、(ii)有公共的非零解，所以它们的联立方程组(iii)有

非零解，即(iii)系数矩阵A的秩小于4。对矩阵A进行初等行变换，得

’121-1、'1000、

231-3010-2

110a0013

A=->,所以a=—2,〃=3

352-4000a+2

11110002b—6

]b20,,0000,

且"4)=3.

X[=0

此时可解方程组《%2-2尤4=0,得£=(02-31)7,即为(iii)的一个非零解.

x3+3X4=0

又H(4)=3,所以£构成(iii)的基础解系。因此，(i)和(ii)的全部公共解为

k(p2-3l)r(其中k为任意常数)

【重点提示】若方程组有非零解，系数矩阵的秩小于为未知数的个数),

求解线性方程组是非常重要的一个知识点.

(22)

100

【详解】(I)A(ai,a2,aJ)=(a,,122

113

(II)因为%，%是线性无关的三维列向量，可知矩阵。=[%,%,%]可逆，所以

C-'AC^B,即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值.

2-100

\AE-B\=-1A-2-2=(/l-l)2(/l-4)=0,得矩阵B的特征值,

-1-12-3

也即矩阵A的特征值为4=丸2=1，4=4.

(Ill)对应于4=4=1,解齐次线性方程组(E-B)X=0,得基础解系

4=(-1,1,0)"殳=(-2,0,1儿

对应于4=4,解齐次线性方程组(4E-B)X=0,得基础解系刍=(0,1,1)，

-I-20"-100

令矩阵。=巳G&3]=101,则。一切。=010

011_004

又因为QPQ=Q'C'ACQ=(CQ『A(CQ),

令矩阵

-1-20

P=CQ=[a,a2a、.101=[-%+a,,—2tZ]+Uy,ot2+%]，

011

则P即为所求的可逆矩阵.

【重点提示】利用⑴的结果相当于确定了A的相似矩阵，求矩阵A的特征值转化

为求A的相似矩阵的特征值，这是问题的关键.

(23)

【详解】因为x,y相互独立，所以x,丫的联合密度函数为:

0<^<1,0<y<4-00

f(x,y)=<

其它

当zK()时，F^(Z)=O,/z(Z)=0

当0<zWl时，C(z)=P{ZWz}=