考研数学基础班概率统计讲义

考研数学基础班概率统计讲义第一章 随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念1、随机试验—具备如下三个条件的试验：（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。（二）事件的运算1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件B的积，记为AB。2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件B的和事件，记为AB。3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件B的差事件，记为AB。（三）事件的关系1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为AB。若AB且BA，称两事件相等，记AB。2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB，称事件B不相容或互斥。3、对立事件—若AB且AB称事件B为对立事件。A(AB)AB，且AB与AB互斥。（2）AB(AB)(BAB，且AB,BAB两两互斥。（四）事件运算的性质ABA(或B)AB； （2）ABABBA；AAAAA；（2）A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)；A(AB)A； （2）(AB)AAB；（3）AB(AB)AB(B。AA； （2）AA。二、概率的定义与性质（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为，满足如下条件的随机事件的函数P()称为所对应事件的概率：1、对事件A，有P(A)02、P() 3、设,,L,,L为不相容的随机事件，则有P(U)P()（二）概率的基本性质1、P()0。

n1

n1n n2、设,,L,为互不相容的有限个随机事件列，则P(U)P()。k

k3、P(A)1P(A)。P(AB)P(A)P(AB)。（三）概率基本公式1、加法公式（1）P(AB)P(A)P(B)P(AB)。（2）P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)。2、条件概率公式：设B是两个事件，且P(0，则P(B|A)P(AB)。P(A)3、乘法公式（1）设P(A)0，则P(AB)P(A)P(B|A)。（2）P(L)P()P(|)P(|)LP(|L)。三、事件的独立性1、两个事件的独立—设B是两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，称事件B相互独立。⎪⎧P(AB)P()P(B);⎪⎨2、三个事的独立—设,B,C是三个事件，若⎪P(AC)P()PC);⎨⎪P(BC)P(B)PC);⎩P(ABC)P()P(B)PC),

，称事件B,C相互独立。【注解】（1）B相互独立的充分必要条件是B

、B、B任何一对相互独立。（2）设P(A)0或P(A)1，则A与任何事件B独立。（3）设P(A)P(B)0，若B独立，则B不互斥；若B互斥，则B不独立。四、全概率公式与Bayes公式1、完备事件组—设事件组,,L,Aj(i,jn,i

j)；n（2）U，则称事件组,,L,为一个完备事件组。i12、全概率公式：设,,L,是一个完备事件组，且P()0(in)，B为事件，则nP(B)P()P(B|)。i13、贝叶斯公式：设,,L,为一个完备事件组，且P()0(in)，B为任一随机事件，P(B)0，则P(A|B)P()P(B|)。i P(B)例题选讲一、填空题1、设P(0.4,P(AB)0.7，（1）若B不相容，则P(B) B相互独立，则P(B) 。2、设P(P(B)P(C)。

1,P(AB)P(AC)P(BC)14 6

，则事件B,C全不发生的概率为3、设两两相互独立的事件B,C满足：ABC,P(P(B)P(C)1P(ABC)9，2 16则P( 。4、设事件B满足P(AB)P(AB)，且P(p，则P(B) 。BB都不发生的概率为1发生B不发生的概率与A不发生B9发生的概率相等，则P( 。二、选择题：1、设B是两个随机事件，且0P(P(B)P(B|P(B|，则[ ](A)P(A|B)P(A|B)；

(B)P(A|B)P(A|B)；(C)P(AB)P(A)P(B)；

(D)P(AB)P(A)P(B)。2、设事件B满足0P(P(B)1，且P(A|B)P(A|B)1，则[ ](事件B对立；

(B)事件B相互独立；(C)事件B不相互独立；

(D)事件B不相容。三、解答题10个正品和22次品的的概率。2、设工厂A与工厂B的次品率分别为1%和2%，现从由A和B生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是A生产的概率。A在每次试验中的概率为p，三次独立重复试验中事件A至少出现一次的概率为19A27发生的概率p。4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。第二章 一维随机变量及其分布一、基本概念1、随机变量—设为随机试验E的样本空间，为定义在上的函数，对任意的，总存在唯一确定的()与之对应，称为随机变量，若的可能取值为有限个或可列个，称为离散型随机变量，若在某可区间上连续取值，称为连续型随机变量。2、分布函数—设为一个随机变量，称函数F(x)x}(x)为随机变量的分布函数。【注解1】分布函数的四个特征为（1）0F(x)1。 （2）F(x)单调不减。（3）F(x)右连续。 （4）F()0,F()1。【注解2】分布函数的性质（1）P{XF(a0)。 （2）P{X

F(a)F(a0)。（3）xF(b)F(a)。 （4）XF(b0)F(a)。3、离散型随机变量的分布律—称P{Xxi}piin)称为随机变量X的分布律。piin)。 （2）p2Lpn1。4、连续型随机变量的密度函数—设X的分布函数为F(x)，若存在非负可积函数f(x)，使得xF(x)ft)dt，称f(x)为X的密度函数。【注解）f(x)0。 （2）f(x)dx1。二、常见随机变量及其分布（一）离散型n1、二项分布—若随机变量X的分布律为P{Xk}Ckpkp)nk(0kn)，称随机变量X服从二项分布，记为X~B(n,p)。nk2、Poisson分布—若随机变量X的分布律为P{Xk}k

e(k，称随机变量X服从泊松分k!布，记为X~()。3、几何分布—若随机变量X的分布律为P{Xk}p)k(k，称随机变量X服从几何分布，记为X~G(p)。（二）连续型

⎧1,axb⎨1、均匀分布—若随机变量的密度函数为f(x)⎪ba⎨,

，称随机变量服从均匀分布，记为⎪,x0⎪⎨~U(a,b)，其分布函数为F(x)⎪xa,axb。⎨⎪ba,xb2、正态分布—若随机变量的密度函数为f(x)1e2

(x)222

(x)，称随机变量服从正态~N(,2)0,1，称随机变量服从标准正态分布，记为~Nx2x为(x)1e2(x)，其分布函数为x(x)t)dt。

exx3、指数分布—若随机变量的密度为f(x)⎨

, 0(0)，称随机变量服从指数分布，记为,x0,x0~E()，其分布函数为F(x)⎨1e

x

。,x0(0)1,(a)1(a)。2（2）若~N(,2)，则}}1。2（3）若~N(,2)，则~N。（4）若~N(,2)，则F(b)F(a)(b)(a)。 例题选讲一、选择题1、设X1,X2的密度为f1(x),f2(x)，分布函数为(x),(x)，下列结论正确的是[ ]((x)(x)为某随机变量的分布函数；(B)f1(x)f2(x)为某随机变量的密度函数；(C)F1(x)F2(x)为某随机变量的分布函数；(D)f1(x)f2(x)为某随机变量的密度函数。2、设随机变量X的密度函数f(x)为偶函数，其分布函数为F(x)，则 [ ](A)F(x)为偶函数；

(B)F(a)2F(a)1；a 1 aC)F(a)10

f(x)dx；

(D)F(a) 2 0

f(x)dx。3、设X~N(,42),Y~N(,52)，令pP{Xq5}，则 [ ](对任意实数都有pq；

(B)对任意实数都有pq；(C)对个别，才有pq；

(D)对任意实数，都有pq。4、设X~N(,2)，则随的增大，概率X} [ ](单调增大；

(B)单调减少； `(C)保持不变；

(D)增减不确定。二、填空题1、设X~N(,2),方程y24yX0无实根的概率为1,则 。22、设X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X5 。9三、解答题1、有3个盒子，第1个盒子有4个红球1个黑球，第2个盒子有3个红球2个黑球，第3个盒子有2球3个黑球，若任取一个盒子，从中任取3个求，以X表示红球个数。（1）写处X的分布律； （2）求红球个数不少于2个的概率。⎪,x1⎪⎨2、设离散随机变量X的分布函数为F(x),1x1，求X的分布律。⎨1x2,x2⎧Aex,x0⎨⎪3、设X的分布函数为F(x)⎪B0x1 ，⎨⎪1Ae

(x1)

,x1（1）求B； （2）求密度函数f(x)； （3）求P{X1}。34、设X~U(0,2)，求随机变量YX2的概率密度。5、设X~N，且YX2，求随机变量Y的概率密度。第三章 二维随机变量及其分布一、基本概念1、联合分布函数—设(X,Y)为二维随机变量，称F(x,y)P{Xx,Yy}为(X,Y)的联合分布函数。2、二维离散型随机变量的联合分布律—设(X,Y)为二维离散型随机变量，称P{Xxi,Yyj}pij(im,jn)为(X,Y)的联合分布律，称n mP{Xxi}pijpi(im),yj}pijpj(jn)j

i1分别为随机变量X,Y的边际分布律。3、连续型随机变量的联合密度函数—设(X,Y)为二维连续型随机变量，若存在f(x,y)0，使得xduF(x,y){Xx,Y}du

yfu,v)dv，称f(x,y)为随机变量(X,Y)的联合密度函数，称 fX(x)f(x,y)dy,fY(y)f(x,y)dx分别为随机变量X,Y的边际密度函数。【注解】联合分布函数的特征有（1）0F(x,y)1。（2）F(x,y)关于x,y为单调不减函数。（3）F(x,y)关于x或者y都是右连续。（4）F(,)0,F(,)0,F(,)0,F(,)1。二、常见的二维连续型随机变量1、均匀分布—设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y)

⎧1,(x,y)D⎪⎨A⎪

，其中A为区域D的面积，称(X,Y)在区域D上服从均匀分布。,(x,y)D2、正态分布—设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为1f(x,y) 1 1 [(x)22(x)(y2)(y2)2]}则称(X,Y)服1212

122)

12 2从二维正态分布，记为(X,Y)~N(,

,2,2,)，其中

0,

0。1 2 1 2 1 2【注解】若(X,Y)~N(,

,2,2,)，则X~N(,2),Y~N(

,2)。1 2 1 2

1 1 2 2二、随机变量的条件分布与随机变量的独立性（一）二维离散型随机变量的条件分布1、设yj}0，在事件{Yyj}发生的情况下，事件{Xxi}发生的条件概率为P{Xxi|Yyj}

pijpj

(i；2、设P{Xxi}0，在事件{Xxi}发生的情况下，事件{Yyj}发生的条件概率为yj|Xxi}（二）二维连续型随机变量的条件密度

pijpi

(j。

f(x,y)1、设fY(y)0，则在“Yy”的条件下，X的条件概率密度为fX(x|y) 。fY(y)f(x,y)2、设fX(x)0，则在“Xx”的条件下，Y的条件概率密度为fY|X(y|x) 。fX(x)（三）随机变量的独立性1、定义—设(X,Y)为二维随机变量，若对任意的x,y都有F(x,y)FX(x)FY(y)，称随机变量X,Y相互独立。2、独立的充分必要条件（1）离散型随机变量—设(X,Y)为二维离散型随机变量，则X,Y相互独立的充要条件是pijpi.p.j(ij。（2）连续型随机变量—设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X,Y相互独立的充要条件是f(x,y)

fX(x)fY(y)【注解】若(X,Y)为二维连续型随机变量，求(X,Y)的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数f(x,y)，一般有如下三种情况：（1）题中直接给出f(x,y)（2）X,Y服从的分布已知且X,Y独立，则f(x,y)

fX(x)fY(y)。（3）X的边缘分布已知，且Y的条件密度已知，则f(x,y)

fX(x)fY|X(y|x)。三、随机变量函数的分布已知(X,Y)的分布，Z(X,Y)，关于Z的分布有以下几种情形：情形一：设(X,Y)为离散型随机变量，Z(X,Y)，则Z为离散型随机变量，求出其可能取值及对应的概率即可。情形二：(X,Y)为连续型随机变量，Z(X,Y)，其中为连续函数，则Z为连续型随机变量，可用分布函数定义求Z的分布。情形三：X,Y中一个为连续型随机变量，一个为离散型随机变量，求Z(X,Y)的分布例题选讲一、选择题1、设相互独立的随机变量X,Y分别服从N及N，则[ ](A)P{XY1；2

(B)P{XY1；2(C)P{XY1；2

(D)P{XY1。2二、填空题1、设

X,Y

为两个随机变量，且

P{X0,Y3,P{X4，则7 7P{max(X,Y) 。三、解答题10个大小相同的球，其中6个红球421个，定义如下两个随机,次抽到红球

,次抽到红球变量：X⎨

,Y⎨,

，,第2次抽到白球0 0就下列两种情况，求(X,Y)的联合分布律：⎧Ae(x2y),x,y02、设(X,Y)的联合密度为f(x,y)⎨ ，求,（1）常数A； （2）(X,Y)的分布函数； （3）ZX的分布函数；（4）P{XY}。3、设随机变量X~E()，求随机变量Ymin{X的分布函数。4、设X

~E(1),Y~E(2)且X,Y独立。（1）设Zmax{X,Y}，求Z的密度函数。（2）Zmin{X,Y}，求Z的密度函数。第四章 随机变量的数字特征一、数学期望及其性质（一）数学期望的定义1、离散型数学期望—设X的分布律为P{Xxk}pk(k，则EXxkpk。k2、连续型数学期望—设X的概率密度为f(x)，则其数学期望为

EXxf(x)dx。3、二维离散型随机变量的数学期望—设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P{Xxi,Yyj}pij(ij，Z(X,Y)，则EZxi,yj)pij。i1

j4、二维连续型随机变量的数学期望—设二维连续型随机变量(X,Y)的密度为f(x,y)，Z(X,Y)，则 EZdx(x,y)f(x,y)dy。（二）数学期望的性质1、E(C)C。 2、E(kX)kEX。 3、E(XY)EXEY。4、E(aXbY)aEXbEY。5、若随机变量X,Y相互独立，则E(XY)EXEY。二、方差的定义及性质（一）方差的定义—DXE(XEX)2。（二）方差的计算公式—DXEX2(EX)2。（三）方差的性质1、D(C)0。 2、D(kX)k2DX。3、设随机变量X,Y相互独立，则D(XY)DXDY，D(aXbY)a2DXb2DY。三、常见随机变量的数学期望和方差1、二项分布：X~B(n,p),EXnp,DXnpq。2、泊松分布：X~(),EXDX。3、均匀分布：X~U(a,b),EX

ab2

,DX

(ba)2。124、正态分布：X~N(,2),EX,DX2。四、协方差与相关系数（一）定义1、协方差—Cov(X,Y)E(XEXEY)。 DX DY2、相关系数— DX DY

cov(X,Y)

，若XY

0，称随机变量X,Y不相关。（二）协方差的计算公式：Cov(X,Y)E(XY)EXEY（二）性质1、Cov(X,X)DX。 2、若X,Y独立，则Cov(X,Y)0。3、Cov(X,Y)Cov(Y,X)， 4、Cov(aX,bY)abCov(X,Y)。5、Cov(aXbY,Z)aCov(X,Z)bCov(Y,Z)。6、D(XY)DXDY2Cov(X,Y)。例题选讲一、填空题1、设随机变量X,Y相互独立，且DXDY2，则D(3X) 。2、随机变量X~E()，则P{X DX} 。3、设X,Y独立同分布，且都服从N(0,1)，则E|XY| ,D|XY| 。24、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为0.4，则EX2 。1 25、设随机变量X的密度为f(x) ex2x1，则EX

,DX 。6、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且E[(X1)(X2)]1，则 。二、解答题

,Yk1、设Y~，Xk⎨,Yk

(k，（1）求(X1,X2)的联合分布律； （2）E(X1X2)。⎡1 0 1⎤

⎡0 1⎤2、设X与Y的概率分布为X~⎢1

1 1⎥,Y~⎢1

1⎥，且P{XY1，4

2 42

2（1）求X,Y的联合分布律； （2）问X,Y是否相互独立？为什么？⎧,U1

⎧,U13、设U~U[2,2],X⎨,U1

,Y⎨ ，求,U1（1）X,Y的联合分布律； （2）D(XY)。

3，失败的概率为1，独立重复试验直到成功2X表示所需要进行的试4 4验次数，求X的概率分布与数学期望。⎧1cosx0x ⎨X的密度函数为f(x)⎪2 2⎨X独立重复观察4表示观察值大于

的次数，, 3求EY2。第五章 大数定律与中心极限定理一、车比雪夫不等式设随机变量X的方差存在，则对任意的0，有XEX}DX，或者XEX}1DX。2 2二、大数定律X1,X2,L,Xn,L相互独立，DXi存在且DXiM0(i，则1n对任意的0，有limXin

n1EXi1}1。 ni1

ni1X1,X2,L,XnEXi,DXi

2(i0，1n有limXin

}1。 ni13、（贝努利大数定律）设X1,X2,L,Xn,L独立同分布于参数为p的01分布，则对任意的0，有1nlimXin

p}1。 ni1X1,X2,L,Xn,L独立同分布，且EXi，则对任意的0，有1nlimXin

}1。三、中心极限定理

ni11Levy-Lindberg中心极限定理）设随机变量序列X1,X2,L,Xn,L

独立同分布，且EXi

,DXi

2(i，则对任意实数x，有nXinlimi1

1

t2xe2dt。n

Xn~B(n,p)(0p，则对任意实数x，有limn

Xnnpnp(1p)

1

t2xe2dt。例题选讲1、设随机变量X~E(5)，用车比雪夫不等式估计P|X5 。X~N(0,42),Y~(2,52)X,YXY2 。第六章 数理统计基本概念一、基本概念1、总体—被研究对象某指标的所有可能结果称为总体。2、简单样本及样本观察值—设总体为X，则来自总体X的n个相互独立且与总体X同分布的随机变量X1,X2,L,Xn称为简单随机样本，样本X1,X2,L,Xn的观察值,x2,L,xn称为样本观察值。3、统计量—样本的无参函数称为统计量。二、样本常用数字特征设X1,X2,L,Xn为来自总体X的简单样本，则1n1、样本均值—X Xi。ni12、样本方差—S2

n 11n2 (XiX)11n2i11n k3、样本的k阶原点矩— Xi,k。ni11n 24、样本的k阶中心矩—Bk (XiX)ni1

,k。三、常用的抽样分布1、2—分布（1）定义—设随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且都服从标准正态分布，则称随机变量2 2 2 2

2 2 2X1

X2LXn为服从自由度为n的分布，记为

~(n)。（2）性质：1）设X~2(n)，则EXn,DX2n；2）设X~2(m),Y~2(n)，且X,Y相互独立，则XY~2(mn)。2、t—分布设随机变量X~N~2(n)，且X,Y相互独立，则称随机变量tX为服从自由度为n的t分Y/n布，记为t~t(n)。3、F—分布（1）定义—设随机变量X~2(m),Y~2(n)，且X,Y相互独立，则称随机变量FX/m为服从自由Y/n度为m,n的F分布，记为F~F(m,n)。（2）性质设F~F(m,n)，则1F

~F(n,m)。四、一个正态总体下几个常用的统计分布设总体X~N(,2)，X

1,X

2,L,Xn

是来自正态总体X的简单样本，则2 X

X1、X~N(,

), ~N。 2、

~t(n1)。n / n

s/ nn 2 n1 3、

(XX)2(n1)S~2(n1)。 4、1

(X)2~2(n)。2 i 2i1

2 ii15、ES22。 6、X与S2独立。例题选讲1、设X1,X2,L,Xn是来自正态总体N(,

2)的简单样本，记1 n

1n 2S2221 (XiX)2S222n1i1

,S2

(XiX)，ni11 n 1nS2422S2423 n

(Xi)1i11

,S2

(Xi)，ni1则服从自由度为n1的t分布的统计量是(X；

(B)X；

(C)X；

(D)X。2S1/2

n1

S2/

n1

S3/ n

S4/ n22、设X1,X2,X3,X4是来自正态总体X~N(0,4)的简单样本，且Ua(X12X2)2

b(3X34X4)服从2分布，求a,b及自由度。X,Y独立同分布且都服从正态分布N(0,9)，X1,L,X9与,L,Y9是分别来自总体X