新教材适用2023-2024学年高中数学第8章立体几何初步8.4空间点直线平面之间的位置关系8.4.2空间点直线平面之间的位置关系学案新人教A版必修第二册

8．4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．会用符号语言表示空间点、直线、平面的位置关系．3．根据有关概念，学会判断(证明)空间点、直线、平面的位置关系．素养要求在学习空间点、直线、平面之间的位置关系及定义的过程中，发展学生的数学抽象素养、直观想象和逻辑推理素养．知识点1点与线和面的位置关系(1)点与直线的位置关系：点在直线上和点在直线外．(2)点与平面的位置关系：点在平面内和点在平面外．知识点2空间中直线与直线的位置关系1．异面直线的定义和画法(1)定义：_不同在任何一个平面内__的两条直线叫做异面直线．(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个_平面__衬托．2．空间中直线与直线的位置关系位置关系是否在同一平面内公共点个数共面直线相交直线_是__1平行直线是0异面直线_否__0想一想：如何判断异面直线？提示：(1)定义法；(2)两直线既不平行也不相交．练一练：1．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条(C)A．相交 B．异面C．相交或异面 D．平行2．在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是(C)A．SB B．SCC．BC D．AB3．平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是_相交或异面__.知识点3空间中直线与平面的位置关系位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有_无数__个公共点a⊂α直线与平面相交_有且只有一个__公共点_a∩α＝A__直线与平面平行没有公共点_a∥α__想一想：直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b有怎样的位置关系？提示：a与b平行或异面，如图所示．练一练：直线l与平面α有两个公共点，则(D)A．l∈α B．l∥αC．l与α相交 D．l⊂α知识点4空间中平面与平面的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点两个平面平行_α∥β__没有公共点两个平面相交_α∩β＝l__有一条公共直线想一想：平面平行有传递性吗？提示：有．若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.练一练：正方体的六个面中互相平行的平面有(C)A．1对 B．2对C．3对 D．4对[解析]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故六个面中互相平行的平面有3对．题|型|探|究题型一直线与直线位置关系的判断典例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_平行__；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_异面__；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_相交__；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_异面__.[解析](1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綉BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．[归纳提升]判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．对点练习❶(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(D)A．平行 B．异面C．相交 D．平行、相交或异面(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(2)(4)__.[解析](1)在如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D1C1＝a，BB1＝b，则a，b是异面直线，若取DC＝c，则b，c是异面直线，但a，c平行；若取A1D1＝c，则b，c是异面直线，但a，c相交；若取AD＝c，则b，c是异面直线，a，c也是异面直线．(2)如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；图(4)中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，所以GH与MN异面，所以图(2)、(4)中GH与MN异面.题型二直线与平面的位置关系典例2下列五个结论中正确结论的个数是(B)①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1C．2 D．3[解析]如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′⊄平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′⊂平面ABB′A′，故⑤错误，故选B.[归纳提升]直线与平面位置关系的判断：(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．对点练习❷如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．[解析]B1C⊂平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交．BD1与6个面都相交.题型三平面与平面的位置关系典例3观察下面的两个图：(1)一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么？(2)房顶所在平面的位置关系是什么？(3)怎样用图形表示两平面的位置关系？[解析](1)平行．(2)相交．(3)①两平行平面的画法：画两平行的平面时要注意把表示平面的两个平行四边形画成对应边平行．②两相交平面的画法：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1)．再画表示两平面交线的线段，如图(2)．再过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于(2)表示交线的线段，如图(3)．再画表示平面的平行四边形的其他边，如图(4)．[归纳提升]平面与平面的位置关系的判断方法：(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点．对点练习❸(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(C)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．以上都不对(2)已知平面α，β，且α∥β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？画出图形．(3)已知平面α，β，直线a，b，且a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？画出图形．[解析](1)如图，平面α与β的关系可以平行，也可以相交．(2)直线a与直线b平行或异面．(3)直线a与直线b平行，相交或异面．易|错|警|示对空间线面位置关系考虑不全面致误典例4设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面(C)A．有且只有一个 B．恰有两个C．没有或只有一个 D．有无数个[错解]如右图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．故选A.[错因分析]错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在了．[正解]C[误区警示]对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析所有可能的情形，才能避免判断失误．对点练习❹过平面外一点，可作这个平面的平行线条数为(C)A．1条 B．2条C．无数条 D．不确定[解析]如图，过P点可以作无数条直线与平面α平行．1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b(D)A．共面 B．平行C．异面 D．平行或异面[解析]直线a、b没有公共点时，a、b可能平行，也可能异面．2．(2022·无锡高一检测)用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是(D)A．A∈l，l∉α B．A⊂l，l⊄αC．A⊂l，l∈α D．A∈l，l⊂α[解析]点与线的位置关系用“∈”或“∉”表示，线与面的位置关系用“⊂”或“⊄”表示，则“点A在直线l上，l在平面α内”可用A∈l，l⊂α表示．3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(B)A．3条 B．4条C．5条 D．6条[解析]EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.4．直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(C)A