新教材适用2023-2024学年高中数学第8章立体几何初步8.4空间点直线平面之间的位置关系8.4.1平面学案新人教A版必修第二册

8．4.1平面课标要求1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．素养要求1．通过引导解决共线、共面问题，培养逻辑推理核心素养．2．通过画或找立体图形中平面与平面的交线，培养直观想象核心素养．3．利用判断点、线、面的位置关系判断命题的真假，培养数学建模核心素养.知识点1平面1．平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周_无限延展__的．2．平面的画法我们常用矩形的直观图，即_平行四边形__表示平面，它的锐角通常画成_45°__，且横边长等于其邻边长的_2__倍，如图①.如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用_虚线__画出来，如图②.3．平面的表示法平面通常用希腊字母α，β，γ等表示，如平面α、平面β、平面γ等，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如平面ABCD、平面AC或者平面BD，还可以用平面内不共线的三点的字母表示，如平面ABC.[拓展]平面的几个特点(1)平面是平的．(2)平面是没有厚度的．(3)平面是无限延展而没有边界的．练一练：1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)书桌面是平面．(×)(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．(×)(3)一个平面的面积是16cm2.(×)(4)所有的平面都是无限延展的．(√)2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(A)A．平面MN B．平面MPC．平面α D．平面MNPQ[解析]表示平面不能用一条边的两个端点表示，但可以表示为平面MP.故选A.知识点2用符号语言表示点、线、面之间的位置关系1．直线在平面内的概念如果直线l上的_所有点__都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2．一些文字语言与符号语言的对应关系：文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点A在直线l上_A∈l__点A在直线l外_A∉l__点A在平面α内_A∈α__点A在平面α外_A∉α__直线l在平面α内_l⊂α__直线l在平面α外_l⊄α__直线l，m相交于点Al∩m＝A平面α，β相交于直线lα∩β＝l[拓展]从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．练一练：如图，点A_∈__平面ABC；点A_∉__平面BCD；BD_⊂__平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝_BC__.知识点3平面的基本性质及应用1．三个基本事实及其表示基本事实内容图形符号作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，_有且只有__一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据基本事实2如果一条直线上的_两个点__在一个平面内，那么这条直线在_这个平面内__A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒_l⊂α__既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_公共直线__P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上2.基本事实1,2的推论推论1_经过一条直线和这条直线外一点__，有且只有一个平面．推论2_经过两条相交直线__，有且只有一个平面．推论3_经过两条平行直线__，有且只有一个平面．[拓展]准确认识三个基本事实的意义和作用(1)基本事实1意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．作用：①确定平面；②证明点、线共面．(2)基本事实2意义：说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”．作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法．利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可推出不共线的三点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面．(3)基本事实3意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．作用：①判断两个平面是否相交；②确定两个平面的交线；③证明若干点共线问题．练一练：1．若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在_α与β的交线上__.[解析]设α∩β＝l，因为A，B∈α，且A，B∈β，所以A，B∈l.2．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定_3__个平面．[解析]三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．题|型|探|究题型一三种语言的相互转化典例1根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解析](1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.[归纳提升]三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．对点练习❶(1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为M∈a，a⊂α，M∈α；(2)根据右图，填入相应的符号：A∈平面ABC，A∉平面BCD，BD⊄平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝直线AC；(3)用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC.[解析](3)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示：如图所示．题型二点共线问题典例2已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．[分析](1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上？(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？[证明]证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.又∵Q∈平面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．[归纳提升]点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．对点练习❷如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．试作出直线AB与平面α的交点P，并说明理由．[解析]延长AB交平面α于点P，如图所示．因为D∈AC，AC⊂平面ABC，所以D∈平面ABC，同理有E∈平面ABC，又D∈α，E∈α，所以平面ABC∩平面α＝DE，又AB⊂平面ABC，由图可知AB与平面α相交，且交点在交线DE上，所以延长AB与DE，两线交点即为所求点P.题型三线共面问题典例3已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．[证明]如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．[归纳提升]在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．对点练习❸已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．[证明]证法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．证法二(同证法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.题型四线共点问题典例4如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．[分析]先证AB、CD交于一点，再证这一点在直线l上．[证明]因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点，如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，且M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点．[归纳提升]三线共点的证明方法：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．对点练习❹在空间四边形ABCD中，H，G分别是边AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且eq\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3).求证：(1)点E，F，G，H四点共面；(2)直线EH，BD，FG相交于一点．[证明](1)由题意，作图如下：连接EF、HG，空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，∴HG∥AC.又eq\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)，∴EF∥AC，∴EF∥HG，E，F，G，H四点共面．(2)因为H，G分别是AD，CD的中点，所以HG∥AC，且HG＝eq\f(1,2)AC，又因为eq\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)，所以EF∥AC，且EF＝eq\f(3,4)AC，所以HG∥AC，且HG≠EF，故四边形EFGH为梯形，且EH，FG是梯形的两腰，所以EH，FG相交于一点．设交点为P，因为EH⊂平面ABD，所以P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，故点P是直线EH，BD，FG的公共点，即直线EH，BD，FG相交于一点．易|错|警|示对条件所给的点的位置关系考虑不全面典例5已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？[错解]因为A、B、C、D共面，所以点A在B、C、D所确定的平面内，因为B、C、D、E共面，所以点E也在B、C、D所确定的平面内，所以点A、E都在B、C、D所确定的平面内，即A、B、C、D、E五点一定共面．[错因分析]错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B、C、D三点还可能共线．[正解]根据B，C，D三点共线与不共线分类．(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面．(2)如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面．对点练习❺如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(B)A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行[解析]两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．1．下列叙述中，一定是平面的是(B)A．一条直线平行移动形成的面B．三角形经过延展得到的面C．组成圆锥的面D．正方形围绕一条边旋转形成的面[解析]直线平行移动可以形成平面或曲面，只有在方向不