信号与系统习题附答案

习题一

一、完成下列各题。

(1)设连续时间系统的输入一输出关系为y(，)=/(3，)，试判定该系

统是否为线性的、时不变的、因果的。

(2)判定以下离散信号是否是周期性的，如果是周期性的，试确定

其周期。

/(%)=Acos(?左一1)

)(—k——)

f?(k)=e65

(3)试计算积分

(4)若/⑺―/行助，试求才(。=b7•⑵一4)的傅里叶变换。

k-2

(5)试求离散信号/(幻=Z(T)’的单边z变换。

/=0

(6)求离散卷积和［(2)7(-协*£伏)。

(7)已知/(-；r+3)的波形，试画出了⑺的波形，并求其频谱厂(j0。

1/(一｝+3)

1__________

04t

(8)因果信号/⑴的单边拉氏变换尸(S)=吗＞,试求了⑴。

S+71

(9)若信号/⑺为最高频率/.nZkHz的带限信号，则信号

/(3/)•/(5。的奈奎斯特抽样率人为多少？

(10)若复函数7•⑺傅里叶变换为尸。⑷，试用厂(j3表示/Q)的共

辗函数/*«)的频谱G(jG)。

二、已知某连续系统微分方程为

y〃⑺+4火力+3y(t)=2f'(t)+2/(/)

(1)若y(0_)=0,y'(0_)=i，求系统零输入响应；

(2)若/QXeZQ),求其零状态响应。

(3)若/QhV^sinQ+g),求响应y⑺。

三、已知某离散系统系统框图为

(1)画出系统的直接形式的信号流图；

(2)当输入/(Q=e(Q,y(0)=2,y(—1)=1时的响应y(A);

(3)该系统是否稳定？

四、图示电路，元件参数£=0.5H,C=1F,K=0.2Q,H2=l。，初

始状态%(。-)=1V,以。一)=2A,

（1）写出图示电路的状态方程和以"c⑺乙⑺为输出的输出方程，要

求写成矩阵标准型；

（2）求出其状态转移矩阵/和传递函数矩阵〃（s）；

（3）求后0时的零输入响应气⑺，枢，）。

五、如图（a）所示系统，激励/«）=缢Sa（利/）,系统H（jo）的

71

8

频率特性如图（b）所示，已知心⑺=^3。一〃7）。

〃=—8

（1）画出工⑺的频谱图；

（2）欲从人⑺中无失真地恢复/Q）,求最大抽样周期T；

（3）画出当抽样频率为奈奎斯特频率时，力⑺的频谱图；

（4）欲使响应信号y⑺=工（力，试问团（j。）应具有什么样的特

性？（画出其幅度响应）

〃(j⑼

习题一答案

(1)设连续时间系统的输入一输出关系为y(，)=/(3，)，试判定该系

统是否为线性的、时不变的、因果的。

解：线性、时变、非因果。

(2)判定以下离散信号是否是周期性的，如果是周期性的，试确定

其周期。

/(Zc)=Acos(|z：-|-)

.,57C/TC.

1(——K——)

启%)=e65

解：力非周期。及周期，周期为12。

(3)试计算积分

解：j：[1+2/+sin(^r)]^(l-2/)dr=j"[1+2t2+sin(^)]|^-1)dr=l

(4)若f⑴cF(W),试求工(，)=eT37>⑵-4)的傅里叶变换。

j3z

解：工⑺=e-/(2r-4)°!^^丁、72(。+3)

2t2y

k-2

(5)试求离散信号〃左)=Z(T)’的单边z变换。

z=0

kk

解：g/)工(-i)z(i)=H(-iy

Z=-oo/=0

F(z)=z-2G(z)=z-2-------------------=——

z-lz+1z2-l

（6）求离散卷积和y伏）=［（2）^（-初*e（6。

解：出乩忖>。5

J）M—左）=（2）%（一左）》/I?=三|z|<2

y2yL'Z—1/2z—2

-2z2z-2z

丫⑶二三---=-----1-----1<|z|<2

z—1z—1z—2.

y(k)=2^(k)+2(2)^(-k-l)

（7）已知，（-?+3）的波形，试画出了⑺的波形，并求其频谱尸（j@。

解：/(，)=£”1)—£”3)

-j2w

F(j⑼=-1(er。-e-叫r=2-i1e__sin(⑼

JGW

(8)因果信号/Q)的单边拉氏变换/⑸=吗£2,试求/Q)。

S+7T

解：于Q)=sin(兀。囱。一s(t-2)

(9)若信号/⑺为最高频率盘L2kHz的带限信号，则信号

/⑶)"(5。的奈奎斯特抽样率/为多少？

解：/⑶)带宽为6kHz,/(5。带宽为10kHz,/(3。"(5，)带宽为

16kHz,则£=32kHz。

(10)若复函数/⑺傅里叶变换为E(j@,试用网jG)表示了⑺的共

辗函数/*«)的频谱G(jM。

解：G(j6y)=r(-j6y)o

二、已知某连续系统微分方程为

y〃⑺+4y⑺+3M=2f'(t)+2/(0

(1)若兴0_)=0,y'(0.)=1,求系统零输入响应；

(2)若/⑺=e-2⑺，求其零状态响应。

(3)若/0)=后sin(3/+§),求响应》⑺。

解：(1)%Q)=；(eT—eB)£«)(4分)

2s+2

(2)H(s)F(5)

s~+4s+3s+35+1

2111

匕(s)=H(s)/(s)

s+3s+l5+1s+3

,3，

y2S(r)=(e--e-W)(4分)

(3)系统稳定，则

2

j<y+3

2

H(j3)

/、2./c71兀、2./c71、

y(0=-Sin(3r+-sin(3r+—)(4分)

JJJJL乙

三、已知某离散系统框图为

(1)画出系统的直接形式的信号流图；

(2)当输入/伏)=£(女),y(0)=2,y(-1)=1时的响应M%);

(3)该系统是否稳定？

解:(1)y(k)-0.7y(k-1)+0.ly(k-2)=f(k)-2f(k-1)

l-0.7z^+0.1z-2Z2-0.7Z+0.1

l-2z-']l-2z-'

级联：H(z)(2分)

1—0.7ZT+0.1Z-2(l-0.2z-1)(l-0.5z-1)

并联

l-2z-1_l-2z_16-5

H(z)

l-0.7z-1+0.1z-2-(l-0.2z_1)(l-0.5z-1)-l-0.2z-1l-0.5z-1

(2分)

(2)%(左)=[一(0.2)、+3(0.5力£(%)(2分)

z?——2z

H⑦=———-—F(k)=

Z2-0.7Z+0.1

z*2-2zz

匕(z)=H(z)万(z)

Z2-0.7Z+0.1z-1

<-2.5-1.55、

=z----1------1-----

—1z—0.2z—0.5)

%/)=[_2.5-1.5(0.2P+5(0.5力£(幻(2分)

y(k)=yzi(k)+yzs(k)=[-2.5-2.5(02/+8(0.5)/(Q(2分)

(3)系统极点位于单位圆内，系统稳定。(2分)

四、图示电路，元件参数L=0.5H,C=1F,4=0.2。,&=1。，初

始状态uc(0_)=1V,枢0_)=2A,

(1)写出图示电路的状态方程和以乙⑺4⑺为输出的输出方程，要

求写成矩阵标准型;

(2)求出其状态转移矩阵小和传递函数矩阵”⑸；

(3)求1N0时的零输入响应七⑺%⑺。

+

%⑺

解：(1)选气⑺从⑺为状态变量，则

氏乙

Cuc=~~--iL,LIL=UC-

整理得状态方程：

iic=e(：--^iL=-5uc-iL+5eQ)

<

1L=1"c—7勿=2〃c_2a

输出方程：

LLQ—4c

h=h

矩阵形式：

-1

s+511s+2—1

(2)0(S)=(S/-A)T

-25+252+75+122s+5

s+2—1-12-11

----------1--------------------1----------

(5+3)(5+4)(s+3)(5+4)s+35+4s+35+4

25+52-22-1

----------1--------------------1----------

(s+3)(s+4)(s+3)(5+4)s+35+4s+35+4

_e』+2e』

v

e'二夕⑺=£(t)（3分）

2e-3,-2e-4'

5(s+2)

(s+3)(s+4)

H(s)=C(p(s)B+D=

（3分）

(5+3)(5+4)

-e^+2e-4z-e^+e^1

(3)=*)X(0)=eQ)一

2e-3/-2e-4z2e-3,-e-4z

-3e-3,+4e-4z

£（，）