概率论与数理统计 第2版 课件 1.2 事件的概率及其性质

一、频率二、概率的公理化定义第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质随机事件发生的概率是刻画该事件在一次试验中发生的可能性大小的数值.一、频率1.定义1在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA

称为事件A发生的频数,称为事A发生的频率.记为第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质(1)非负性:对任意事件A,有0

fn(A)

1;(2)规范性:

fn(Ω)=1;(3)可加性:对任意两两互不相容的事件A1,A2,

,An,有

fn

(A1∪A2∪

∪An)=fn

(A1)+

fn

(A2)+

+

fn

(An).2.频率的基本性质第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质试验者

投掷次数（n）正面次数（

）正面频率德

莫根204810610.5181浦丰404020480.5069费勒1000049790.4979K

皮尔森24000120120.5005历史上统计学家们所作的抛硬币试验记录如下表:第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.3.频率的稳定性

在实际中,当随机事件的概率不易求出时,人们常取试验次数很大时事件发生的频率作为概率的估计值,并称此概率为统计概率,这种确定概率的方法称为频率方法.

在足够多次试验中,事件发生的频率总在一个定值附近摆动,而且试验次数越多,一般来说摆动幅度越小,这个性质叫做频率的稳定性.

第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质4.概率的统计定义

定义2

在相同条件下,独立重复进行n次试验,则事件A在n次试验中发生的次数称为A发生的频数,记为nA,比值fn(A)=称为A发生的频率.当试验次数n增大时,频率fn(A)呈现出某种稳定性,即它在某一常数p附近波动,且n越大,波动的幅度一般越小,则称p为事件A发生的概率.第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质公理2(规范性)

公理1(非负性)二、概率的公理化定义

对任意事件A,有P(A)0,公理3(可列可加性)对任意两两互不相容的事件列A1,A2,A3,

,有1.概率的定义

定义3设随机试验E的样本空间为

,

对E的任意一个事件A,

规定一个实数P(A)与之对应,若集合函数P(·)满足下列述公理:P(

)=1,则称P(A)为事件A的概率.第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质2.概率的基本性质Ａ性质1对不可能事件

,P(

)=0.性质2(有限可加性)若A1,A2,

,An

,两两互斥,则有P(A1∪A2∪

∪An)

=P(A1)+P(A2)+

+P(An).性质3(求逆公式)第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质性质4(减法公式)

设A,B是任意两个事件,则

P(A

B)=P(A)

P(AB).特别地,当B

A时,P(B)≤P(A).A

BP(A

B)=P(A)

P(B),第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质例1

(P13例1)设事件A,B满足P(A)=0.7,P(A−B)=0.3,求解由

P(A

B)=P(A)

P(AB),得

P(AB)=P(A)

P(A

B)=0.70.3

=0.4.于是=10.4

=0.6.第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质

性质6(加法公式)

对任意两个事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)

P(AB).性质7(广义加法公式,也称多除少补原理)(1)对任意三个事件A,B,C,有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC).(2)对任意n个事件A1,A2,…,An

,有第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质解例2(P14例4)若事件A,B,C

满足

则A,B,C三个事件中至少发生一个的概率为________.P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC)第一章随机事件与概率§1.2事件的概率及其性质例3(P14