高三练习题二（全国卷II）数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精百师联盟2020届高三练习题二全国卷理科数学一､选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知实数集，集合，则（）A。 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合中的不等式即可【详解】因为或所以故选：C【点睛】本题考查是集合的运算，较简单。2。已知函数的导函数为，且满足,则（）A。 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，然后令求出,然后即可求出【详解】因为所以令时有，所以所以所以故选：A【点睛】本题考查的是导数的运算，较简单.3.如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是、,则下列判断正确的是（）A.，甲比乙成绩稳定B。，乙比甲成绩稳定C。，甲比乙成绩稳定D。，乙比甲成绩稳定【答案】D【解析】【分析】由茎叶图分别求出，从而得到,由茎叶图知甲数据较分散，乙的数据较集中，从而得到乙比甲成绩稳定。【详解】由茎叶图知:所以由茎叶图知甲的数据较分散,乙的数据较集中所以乙比甲成绩稳定故选:D【点睛】本题考查的是茎叶图的知识,较简单.4.设,则的值为(）A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】先求出，然后即可求出【详解】因为所以所以故选：B【点睛】本题考查的是分段函数的知识，较简单。5.设表示平面，是两条不同的直线，给出下列四个命题,其中正确命题的序号是（)①若，,则②若，，则③若,,则④若，，则A。①② B。②③ C.③④ D。①④【答案】B【解析】【分析】根据空间中直线与平面的相关定理逐一判断即可【详解】若，，则或,故①错误若，，则，故②正确若，，则,故③正确若,，则可以相交、平行、异面，故④错误故选：B【点睛】本题考查的是运用空间中直线与平面的相关定理判断命题的真假，较简单。6.某居民小区要建一个容积为，高为的无盖长方体蓄水池,已知该蓄水池的底面造价师每平方米元，当最低造价为元时，则侧面每平方米的造价为（)A。元 B。元 C。元 D.元【答案】C【解析】【分析】设长方体容器的长为，宽为，侧面每平方米的造价为元,则可得到，然后该容器的造价为：，用基本不等式求出最小值，然后即可解出【详解】设长方体容器的长为,宽为，侧面每平方米的造价为元则，即则该容器的造价为：当且仅当时取得最小值所以,解得故选：C【点睛】本题考查的是利用基本不等式求解实际问题中的最值问题,较简单。7.已知,，则(）A. B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】由条件先算出,然后再求出即可【详解】因为，所以即，即，所以所以因为，所以所以所以故选：A【点睛】要熟悉与的关系，即.8.已知向量，,则向量在向量方向上的投影为(）A. B。 C。 D。【答案】C【解析】【分析】先算出和的坐标,然后即可求出答案.【详解】因为，所以所以向量在向量方向上的投影为故选：C【点睛】本题考查的是坐标形式下向量的相关计算，较简单。9.函数的图象大致是（）A B。C。 D.【答案】A【解析】【分析】根据函数为偶函数，可排除选项，再根据函数值的情况排除,得到答案.【详解】由,即函数为偶函数,其图像关于轴对称，可排除选项.又当时，，可排除。故选：A【点睛】本题考查根据表达式选择图像,这类题主要从函数的定义域、值域、对称性（奇偶性）、单调性、特殊点处的函数值等方面着手分析，属于中档题.10.《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事,告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图所示,乌鸦想喝水,发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体,下面部分是圆台，瓶口直径为厘米，瓶底直径为厘米，瓶口距瓶颈为厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为厘米，现将颗石子投入瓶中,发现水位线上移厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水,则乌鸦共需要投入的石子数量至少是(）A。颗 B.颗 C。颗 D。颗【答案】C【解析】【分析】利用图形中的数据,分别算出石子的体积和空瓶的体积即可。【详解】如图,所以，原水位线直径，投入石子后，水位线直径则由圆台的体积公式可得石子的体积为：空瓶的体积为：所以需要石子的个数为:所以至少需要4颗石子故选：C【点睛】本题考查的是圆台和圆柱体积的算法,掌握其公式是解题的关键.11.已知函数，对，都有，则实数的取值范围是（）A。 B。 C。 D。【答案】D【解析】【分析】由得，然后利用导数求出右边的最小值即可。【详解】由得令,则令，则所以在上单调递增所以，所以所以在上单调递增所以，所以故选：D【点睛】恒成立问题或者存在性问题，首选的方法是分离变量法,通过分离变量然后转化为最值问题.12。已知数列的前项和为，且，又当时，恒成立，则使得成立的正整数的最小值为（）A. B。 C。 D。【答案】B【解析】【分析】由得，两式相减得，即，然后得,然后得，然后，然后解出不等式即可。【详解】因为当时，所以当时，两式相减得：所以所以是等差数列因为,所以所以所以所以所以解得或（舍）所以正整数的最小值为5故选：B【点睛】本题考查的知识点有：数列与的关系，累加法求通项公式、裂项相消法求和，属于比较综合的题。二､填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)13。已知数列，是数列的前项和，满足，通过计算,可以猜想__________。【答案】【解析】【分析】由算出即可猜想出答案【详解】因为所以，，所以猜想故答案为：【点睛】本题考查数列与的关系，较简单。14.已知圆,过圆外一点作圆的两条切线，,切点分别为，则直线的方程为__________。【答案】【解析】【分析】设，则切线的方程为：,由P点在直线上，得，同理可得，然后即可得出答案.【详解】设，则切线的方程为：因为点在切线上，所以切线的方程为：同理，切线的方程为：所以直线的方程为:故答案为：【点睛】过圆外一点作圆：的切线方程为：15.下列五个命题：(1）的否定是;(2）函数的图象可以由的图象向左平移个单位而得到;(3)若,则与的夹角为钝角；（4）若,则函数的最小值为；（5）是的充分不必要条件;其中正确命题的序号是（只填序号）__________.【答案】（1)（2）(5）【解析】【分析】利用相关知识逐一判断即可。【详解】根据全称命题的否定是特称命题知（1)正确函数的图象可以由的图象向左平移个单位而得到；故（2)正确若，则与的夹角为钝角或，故(3）错误，当且仅当时等号成立，故（4）错误是充分不必要条件，故(5）正确故答案为：（1）（2)（5）【点睛】本题考查的知识点有：全称命题的否定，三角函数图象的平移变换,向量的数量积，基本不等式及充分不必要条件的判断，属于综合题。16。已知函数（，,是常数)的图象的一条对称轴方程为,与其相邻的一个对称中心为，则函数的单调区间递减区间为__________.【答案】【解析】【分析】由条件可得出，然后即可得到，由图象过点可得，然后解出不等式即可【详解】因为图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为所以，所以，即，所以所以因为图象过点，所以所以所以由得所以函数的单调区间递减区间为故答案为：【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，较为综合.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22､23题为选考题，考生根据要求作答。17.已知数列满足，为数列的前项和（1）求证：是等比数列,并求数列的通项公式；（2)设,求数列的前项和【答案】（1）证明见解析，.（2）【解析】【分析】（1）由得，两式相减得，然后即可证明是等比数列,并求出的通项公式，（2),然后即可算出.【详解】（1）当时，，所以因为①,②，②—①得得所以所以数列是以为首项，为公比的等比数列所以所以（2）所以【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18。在某公司的一次招聘初试笔试中,随机抽取了名应聘者的成绩(单位:分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：组别频数（1)求抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2)已知样本中成绩在中的名考生中，有名男生,名女生，现从中选人进行谈话,记选出的男生人数为，求的分布列与期望.【答案】（1）.（2）分布列答案见解析,【解析】【分析】(1）由频数分布表直接算出答案即可；（2）的可能取值为，然后求出对应的概率即可.【详解】（1）由频数分布表，得样本平均数为（2)由已知得的可能取值为，,所以的分布列为【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列及期望，把每个概率算正确是解题的关键。19.在中,角的对边分别为，且（1）求角；（2）若,求周长的取值范围.【答案】（1）。（2)【解析】【分析】(1）由得，然后变形推出即可（2）由正弦定理，,然后利用求出范围即可.【详解】（1）由,由正弦定理得，所以因为所以因为所以所以所以（2)由正弦定理,所以，所因为所以所以所以所以【点睛】本题考查的是利用正弦定理进行边角互化和利用三角函数求三角形周长的范围,属于典型题.20.已知函数是定义在上的奇函数,,（1）判断函数的单调性;(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。【答案】(1）是上的增函数.（2）【解析】【分析】（1）由是上的奇函数求出,,然后，即可判断出其单调性（2)由得，然后得出即可【详解】（1）因为是上的奇函数所以所以，所以所以又所以所以所以因为所以是上的增函数(2)因为是上的增函数且是奇函数，由所以所以即对任意恒成立只需，所以解之得，或所以实数的取值范围是【点睛】解抽象函数的不等式时，怎么利用函数的单调性和奇偶性将去掉是解题的关键.21.已知动点到直线的距离比到点的距离大（1）求动点的轨迹的方程；（2)为上两点，为坐标原点，,过分别作的两条切线，相交于点，求面积的最小值.【答案】（1)轨迹为抛物线，其方程为.（2)【解析】【分析】（1）设点的坐标为，根据条件列出方程，然后化简即可;（2）设直线的方程为,，联立直线与抛物线的方程得出，然后用表示出和点到直线的距离，然后可得到,即可求出其最小值。【详解】（1）设点的坐标为因为动点到定直线的距离比到点的距离大所以，且,化简得所以轨迹为抛物线,其方程为（2）依题意，设直线的方程为由，得因为直线与抛物线交于两点所以设，又因为所以所以所以所以所以由过点的切线方程为，即①过点的切线方程为，即②由①②得，，所以过的两条抛物线的切线相交于点所以点到直线的距离当时，的面积最小，最小值为【点睛】涉及抛物线弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.22。已知函数（1）若在时取得极小值，求的解析式；（2）当时,判断函数在上的零点个数。【答案】（1）。（2）一个零点【解析】【分析】（1）由解出，