小学六年级上册数学奥数知识点讲解第12课《棋盘中的数学3》试题附答案

小学六年级上册数学奥数知识点讲解第12课《棋盘中的数学3》试题附答案

第十二讲棋盘中的数学（三）

——棋盘对弈的数学问题

我们看这样一个比输赢的问题.

例1在8X8的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子“王”（如右图），

甲、乙两人轮流移动“王”子，每次只能横向或竖向移动一格.凡“王''子己

经占据过的格都不得再进入.谁先遇到无法移动“王”子时，谁就算输方.试

证明，先走者存在必胜的策略.

例2下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国象棋的规则

办事，将对方憋死或无怯走子时算取得胜利.如果轮到乙方走，问乙怎样走法

才能取胜？

乙方

例4在8X8的国际象棋盘中（如下页图）有三枚棋子，两个人轮流移动棋

子，每一次可将一枚棋子移动任意多格（允许两枚或三枚棋子在同一格），但

只能按箭头所表示的方向移动.在所有棋子都移到A点时，游戏结束，并且走

最后一步的算赢，问哪一个人能够获胜？

答案

第十二讲棋盘中的数学（三）

一—棋盘对弈的数学问题

我们看这样一个比输赢的问题.

例1在8义8的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子“王”（如右图），

甲、乙两人轮流移动"王'’子，每次只能横向或竖向移动一格.凡“王'’子己

经占据过的格都不得再进入.谁先遇到无法移动“王”子时，谁就算输方.试

证明，先走者存在必胜的策略.

分析“王''子己占一个格，还剩下8X8-1=63个格，比如甲先走一个

格，还剩下62个格.若能将62个格分成31对，每对都是相邻的两小格，这时该

乙走，乙领先进入一格，甲就随之进入与其配对的格，这样就造成了甲必取胜

的态势.因此，将64个格两两配对成为32个IX2的小矩形是解决本题的关键.

证明：设甲为先走的一方，在甲的心目中如上图将64个方格两两配对分成

32个1X2的小矩形，“王”子必在某个IX2的小矩形的一个格子中.甲先走，

将“王”子走入这个IX2的小矩形的另一个格子中.这时还有31个1X2的小矩

形，每个小矩形中都有两个小方格.这时该乙走，乙总是领先进入某个IX2小

矩形的第一个格，甲就可以随之进入这个小矩形的第二个格.由于不能重复进

入“王”已经进过的格子，所以乙总处于领先进入新的小矩形的第一格的地

位，甲就总可随之进入这个小矩形的第二个格.最后必然乙先无法移动“王”

子，乙输.甲必取胜.

例2下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国象棋的规则

办事，将对方憋死或无法走子时算取得胜利.如果轮到乙方走，问乙怎样走法

才能取胜？

分析在上图中，双方的将（帅）均无法移动，双方的士（仕）也无法移

动，底炮也不能在横线上移动（否则对方可将炮沉底打闷将）.底线兵（卒）

只能横向移动.谁先移动底线兵（卒）打将，会造成对方将（帅）移出，从而

出现移兵（卒）方自己必输的态势.因而只有底炮、中炮和边卒（兵）可以在

纵线上移动，兵（卒）只能前移1步，中炮只能前移4步，底炮只能前移8步.

现在的问题是：乙先走，轮流走完这三对子的13步，问乙怎样走才能取胜？

解：我们把乙的获胜策略及甲的各种走法列表于下（其中，“甲1,乙1”

分别表示，“甲第一步走棋''与"乙第二步走棋”，其余类同；“中炮2,相

炮3,卒1”分别表示“中路炮进2步”,“相位炮进3步”和“卒进1步其

余类同；“结果”栏表明乙1,甲1,乙1之后的态势，其中的“距”以步为单

位）：

乙1相炮3

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨©

Mi卒1相相中炮2相炮3中炮1相炮4中炮4相炮5中

炮1炮2炮3

乙2相兵1中相炮2中炮1相炮3中炮4相炮4中炮3相

烟1炮2炮5

结兵卒距01111

果中炮距42301

相炮距43210

其中，情形⑦〜⑪显然为乙胜.情形①，②中，如甲2进炮几步，则乙3就

将另一路炮进同样步数，…，这样，终将乙胜.情形③，④与⑤，⑥是类似

的.以③为例，甲的各种走法及乙的策略见下表：

甲2卒1相炮1相炮2中炮2相炮3中炮1

乙3相炮1兵］中炮2相炮2中炮1相炮3

结兵卒距011

果中炮距201

相炮距210

显然，各种情形中也是乙胜.

注意，若甲某次退炮几步，则乙接着将同一路炮进相同步数（这样，这两

只炮之间的间隔没有改变）.

说明：本题的深刻道理和规律在于自然数的二进制表示，将1步，4步，8

步分别用二进制表示为1,100,1000.

当乙从8步中走了3步后，变为还有5步即1,100,101.

我们把这三个数写成竖式

1

100

101

容易看出每一个数位上的数字之和都是偶数.（这里均勿进位）.无论甲

/羊走，所走的那一行的步数（用二进制表示）至少有一个数位上的数字发生

r变化，从而破坏了上面的规律，即不是每一个数位上的数字之和都是偶数

r,比如说，甲在中路炮进一步，三路的步数变为：

1

11

101

这时三个数位上的数字之和1+1+1,1+0,1都不是偶数.

乙再接着走，他的办法是恢复上面的规律.这是能办到的.首先，他看一

下数字和不是偶数的最高数位，三路步数二进制表示中至少有一路在这数位上

的数字是1,然后，他就在这一路上走若干步，使得上述数位上的数字和为0,

而较低数位上的数字为1或0以保证这些数位上的数字之和为偶数，其它数位上

的数字不变.比如，对于上面的情形，乙应当在“相”位炮所在的路线上走3

步，将三路步数变为：

1

11

10

这样继续下去，步数逐渐减少，必有结束的时候，由于甲走后，不是每个

数位上的数字之和都是偶数，所以甲不可能走到最后一步.走最后一步的是

乙，所以乙必然取胜.

例4在8X8的国际象棋盘中(如下贝图)有三枚棋子，两个人轮流移动棋

子，每一次可将一枚棋子移动任意多格(允许两枚或三枚棋子在同一格)，但

只能按箭头所表示的方向移动.在所有棋子都移到A点时，游戏结束，并且走

最后一步的算赢，问哪一个人能够获胜？

O

O

O

A

解：由三枚棋子到A的格数分别要走59步，50步和30步，这样就与例2在三

条路线上走步本质上一样的，我们不妨把59,50,30这三个数写成2进制.

59=(111011)2,50=(110010)2,30=(11110)2

排在一起：

111011

110010

11110

第一个人应当将第一行的111011改为101100,也就是减少1111,这样就使各

个数位上的数字和为偶数.这时无论第二个人如何走都将破坏这个特性，第一

个人接着可以采取使各个数位上的数字和为偶数的方法，稳步地走向胜利.

这就是说，第一个人应当将最外面的棋子移动15步(即(1111)2=1X2'

+1X22+1X2+1=15),即可按例2的规则稳步取胜.

习题十二

1.如下页图是一个3X101的棋盘，甲每次可走一个黑子，乙每次可走一

个白子.每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移动，走步数不限，但不能越

过对方棋子，谁不能走子谁算输.若甲先走，请指出甲必取胜的着法.

2.对8X8的棋盘，讨论“皇后登山”问题.

3.在普通围棋盘上（共18X18=324个格）讨论“皇后登山”游戏.

4.图a是一个彩色激光棋盘，上面有红（打X）黄（空白格），蓝（斜线

格）三种颜色的方格.游戏人可以随意地通过按电钮将某一行或某一列的小方

格同时改变颜色，红变黄，黄变蓝，蓝变红，如果按不多于10次电钮将图a变为

图b,便可得奖.问游戏人能否得奖？

X7X力力XX夕力X

夕X力X夕力力

XXXX不多于次夕XXX

XX7/X7/X

变为

XXX力X%X

XXXXX力

力XX力力X力X7/

b

5.由甲在2X19的棋盘格上任放两个皇后Q1与Q2（如图）于两行中，然后

乙开始先走棋：如果走一个皇后，则可把任一皇后向右（向E方向）走任意多

少格；如果同时走两个皇后，则必须向右同时走相同的格数，不得不走棋，也

不可倒走；这样轮流走棋，谁使得另一方无棋可走时即获胜，试讨论乙取胜的

策略.

Qi

Q2

六年级奥数上册:第十二讲棋盘中的数学（三）习题

习题十二

1.如下页图是一个3X101的棋盘，甲每次可走一个黑子，乙每次可走一

个白子.每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移动，走步数不限，但不能越

过对方棋子，谁不能走子谁算输.若甲先走，请指出甲必取胜的着法.

2.对8X8的棋盘，讨论“皇后登山”问题.

3.在普通围棋盘上（共18X18=324个格）讨论“皇后登山”游戏.

4.图a是一个彩色激光棋盘，上面有红（打X）黄（空白格），蓝（斜线

格）三种颜色的方格.游戏人可以随意地通过按电钮将某一行或某一列的小方

格同时改变颜色