(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习5.4《平面向量中的综合问题培优课》(原卷版)

第第页§5.4平面向量中的综合问题题型一平面向量在几何中的应用例1(1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，AD＝eq\r(37)，则BC的长为()A．3eq\r(7) B．3eq\r(6)C．3eq\r(3) D．6(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题eq\o(→,\s\up7(设向量))向量问题eq\o(→,\s\up7(计算))解决向量问题eq\o(→,\s\up7(还原))解决几何问题．跟踪训练1(1)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，则点C的轨迹为()A．圆 B．椭圆C．抛物线 D．直线(2)(多选)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，则下列结论成立的是()A．四边形ABCD为菱形B．∠BAD＝120°C．|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝10eq\r(3)D．|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝10eq\r(3)题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则eq\f(2－3x,4y2＋1)的最大值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C．1 D．2命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范围是()A．(﹣2,6) B．(﹣6,2)C．(﹣2,4) D．(﹣4,6)命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(﹣eq\r(3)，1)，则|2a﹣b|的最大值为________．思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq\o(AP,\s\up6(→))﹣eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最小值为()A.eq\r(3)﹣1B．2eq\r(2)﹣1C．2eq\r(3)﹣1D.eq\r(7)﹣1(2)如图，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，点E在线段AD上移动(不含端点)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(λ,μ)＝________，λ2﹣2μ的最小值是________．课时精练1．边长为2的正△ABC内一点M(包括边界)满足：eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))(λ∈R)，则eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(4,3))) D．[﹣2,2]2．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的()A．内心 B．外心C．垂心 D．重心3．已知△ABC是顶角A为120°，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．﹣eq\f(1,2)B．﹣eq\f(3,2)C．﹣eq\f(1,4)D．﹣14.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为eq\r(3)，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最大值为()A．18B．24C．36D．485．P为双曲线x2﹣y2＝1左支上任意一点，EF为圆C：(x﹣2)2＋y2＝4的任意一条直径，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的最小值为()A．3B．4C．5D．96．已知在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的动点，点Q在以D为圆心、以1为半径的圆上运动，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))的取值范围为()A．[0,2] B．[1﹣eq\r(2)，2]C．[0，eq\r(2)＋1] D．[1﹣eq\r(2)，1＋eq\r(2)]7．(多选)如图，点A，B在圆C上，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值()A．与圆C的半径有关B．与圆C的半径无关C．与弦AB的长度有关D．与点A，B的位置有关8．(多选)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心．下列四个选项中结论正确的是()A.eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(OG,\s\up6(→))B.eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0C．设BC边的中点为D，则有eq\o(AH,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))D.eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))9．已知正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|＝________.10．已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(﹣2,0)，O为原点，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值为________．11．已知在面积为eq\r(3)的△ABC中，sin2C＝sin2A＋sin2B﹣sinAsinB，eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，P为AD上一点，且满足eq\o(CP,\s\up6(→))